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这些是形式为Sum[（x_i）^2，i:1 to k]=Sum[。
将LHS和RHS与Sum[（+/-）（x_i）^2，i:1到50]=0中的正负项对齐（或反之亦然）后的解，其中正负号计数为p和m
50个变量（Mink50）的Minkowski签名，其中考虑了所有可能性。这个想法很有用，因为下面给出的示例将各种x^2上的关联方程表示为零，因此度量告诉我们，点和平凡变换是原点。由此，我们可以将单位50球体定义为返回1而不是0的点。
序列可以向前或向后读取-如果解相反，则50-k/k的解就是k/50-k的解。
非标准条目为2、3、20、23、24、26、27、30、47和48。
包含1个以上解决方案的条目有2、5、6、7、9、10、12、13、16、34、37、38、40、41、43、44、45和48。
溶液的LHS与RHS溶液没有共同元素的条目为1、2、3、5、9、41、45、47、48和49。
猜想：如果一个向量（x1，…，x50）对签名S是零，那么它对签名S'也是零，没有其他签名T。{S'是S的补码签名-所有的符号都颠倒了，所以如果S=（+，-，-，+，-），那么S'是（-，+、-，+）}。
这是一个微不足道的错误-例如考虑Mink10上的1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,1,2-满足这两个条件++++-++++-
和+++-----+，但它们不是互补的。然而，我们认为它们是局部互补的，因此是微不足道的反例。
因此，我们修改了这个猜想，即如果我们将Z_S定义为S的整数零点集，将Z_t定义为所有非S或S'（即属于t）的签名t的整数零点集合，则Z_S不是Z_t的子集。相反，对于某些S，Z_S是Z_t子集，则意味着S没有函数。
对于k=1，这个猜想显然是正确的，而且对于k+1，也没有“共享零”。对于k=2，选择2个正方形中的一个，这样它就不能被其他48个正方形的某些组合所等于，因此它必须与其配对正方形组合，因此S（2）必须是唯一的整数零。对于k=3，我们要求3个可用平方中的2个不匹配，它们的和也不匹配。这个方法可以推广到更高的k，但是这样一个零的基本存在性在最初变得越来越不可证明。
有三个具有平凡解的空间，即25/25、40/10和45/5。25/25取任意25个整数，放在+上。同样的25个整数放在-上，结果为零。对于其他2个，分别考虑10个和5个正方形。然后在LHS上复制4个副本，并将每个RHS条目乘以4（9乘以45/5），即可得到所需的结果。请注意，这些远不是所有的解决方案，而是容易生成的解决方案。
k=25、40和45的第一个非平凡解是40、40和45。
其他空间（但不是所有空间）都有可简化或缩短的解决方案。这些也不包括所有解决方案，但确实提供了一种“简单的方法”。例如，a^2+b^2+c^2=d^2+e^2的任何解（例如，4+4+9=1+16）都可以用来为48/2和30/20空格寻找零。对于48/2，复制16份LHS，并将RHS元素乘以16（表示为“Cx16”）。对于30/20，制作10份LHS和RHS副本（表示为“CC10”）。示例部分中列出了缩短的解决方案的完整列表。如果运算是Cx或xC，则数字必须是正方形-如果运算是CC，则可以是任何数字。
另一个例子是1平方成6平方（1:6）。这有两种解决方案，分别是48/2和30/20。对于48/2，我们首先得到CC2（2:12）和xC乘以4。对于30/20，CC乘以5，xC乘以4。（2:3）和（1:6）是仅有的两个不同签名的简短解决方案。
包含至少一个缩短解决方案的条目为2、4、5、6、8、10、12、14、15、16、18、20、22、23、24、26、27、28、30、32、34、35、36、38、40、42、44、45、46和48。
这些值的缩短解的数量是4、1、1、2、3、2、三、1、3、6、5、2、1、三、3、1、二、五、六、三、一、三、三、二、三、四。
请参阅“链接”以获取缩短的解决方案列表。
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