%I#69 2023年10月23日06:54:33

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%N最大整数M，使得M^2和（M+1）^2之间不存在任何可能模式的素数N-元组，如果不存在这样的最大值M，则为-1。

%C所有术语都是推测性的。素数n-元组被定义为包含n个素数的最密集的允许素数星座。术语a（2）对应于孪生素数、a（3）对应于素数三联体、a（4）对应于素四联体等。大量的计算证据表明这些术语是有效的。然而，没有证据证明最大整数M的存在，即使是n的一个子集也是如此。如果能找到一个构造性的存在证明，那么孪生素数猜想和勒让德猜想只需要额外的一小步编辑：Hugo Pfoertner_，2021年9月15日

%注意，对于某些n，素数（n+1）元组必须包含素数n元组；例如，素数四元组包括素数三元组。因此，如果任何项为-1，则后续项也可能为-1_Franklin T.Adams-Waters_和_Alexei Kourbatov_，2011年7月14日

%然而，对于其他n，素数（n+1）元组不包括素数n元组；例如，7元组{p，p+2，p+6，p+8，p+12，p+18，p+20}不包含6元组{p-4，p，px2，p/6，p+8，p+12}；参见托尼·福布斯（Tony Forbes）的素数k-元组的所有可能模式列表。

%C假设Hardy-Littlewood k元组猜想，k元组之间的平均距离增长慢于连续方块之间的距离。这表明（但不是证明）对于所有n，这个序列中的最大整数M都存在。

%C a（6）>3005845357，因为在连续的六个格子之间有一个7191214380的间隙，在其内部封闭了两个正方形之间的间隔300584535.7^2和300584545358^2，这是通过马丁·拉布提供的快速筛分程序发现的，即：。， 9035106309825245467 < 3005845357^2 = 9035106310198457449 < 3005845358^2 = 9035106316210148164 < 9035106317016459847. 基于观察到的最大间隙尺寸散布的统计考虑（见A200503和N.Luhn链接提供的数据）表明范围为3*10^9<a（6）<6*10^9。在一次私人通信中，马丁·拉布（Martin Raab）对下一项的数量级提供了以下估计：a（7）~=1.1*10^11，a（8）~=1.6*10^12，a（9）~=6*10^13，a（10）~=3*10^16_雨果·普福尔特纳（Hugo Pfoertner），2023年7月31日，修正于2023年10月23日

%托尼·福布斯和诺曼·卢恩，<a href=“https://pzktupel.de/ktpatt_hl.php网址“>素k-元组和Hardy-Littlewood常数的模式</a>

%H G.H.Hardy和J.E.Littlewood，<a href=“https://dx.doi.org/10.1007/BF02403921“>“Partitio numerorum”的一些问题；III:关于将数字表示为素数之和的问题，《数学学报》，第44卷，第1-70页，1923年。

%H A.Kourbatov，<A href=“http://arxiv.org/abs/1301.2242“>素数k元组之间的最大差距：一种统计方法，arXiv-print-arXiv:1301.22422013和<a href=”https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL16/Kourbatov/Kourbatov 3.html“>J.Int.Seq.16（2013）#13.5.2</a>

%H Norman Luhn，<a href=“https://pzktupel.de/RecordGaps/GAP06.php“>记录素数六倍体之间的差距，最大为10^17</a>

%H Eric W.Weisstein，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/k-TupleConjecture.html“>k-元组猜想</a>

%e术语a（4）=719377意味着在719377^2和719378^2之间没有素数四元组，但对于m>719377，在m^2和（m+1）^2之间有素数四元组。

%Y Cf.A091592：数字n使得n^2和（n+1）^2之间没有孪生素数；A008407:素n-元组的最小宽度。

%Y参考A020497，A200503。

%K nonn，难，更多

%O 1,2号机组

%A _Alexei Kourbatov，2011年7月11日

%E 2011年7月11日，Zak Seidov增加并抵消了第一项，0

%E关于HHugo Pfoertner_于2021年9月15日添加的标题中图案的澄清