%I#34 2020年4月7日23:12:53

%S 1,3,2,1,7,8,8,4,1,15,22,31,28,17,6,1,31,52,90112104,68,30,8,1,63，

%电话1142253444188388270136,47,10,1127240516908133115681464，

%电话：1064589240,68,12,1255494112321803663513859315560418124821137388,93,14,1

%N行读取的三角形：T（N，k）是N阶二项式树中距离k处的无序节点对数（1<=k<=2n-1；第N行中的项是对应的维纳多项式的系数）。

%C k阶二项式树b（k）为有序树，定义如下：

%C 1。b（0）由单个节点组成。

%C 2。对于k>=1，b（k）是从b（k-1）的两个副本中获得的，通过将它们链接在一起，使得其中一个的根是另一个根的最左边的子级。参见Iyer&Reddy参考。

%C行n包含2n-1个条目。

%C_Kevin Ryde，2019年9月14日：（开始）

%C在下面的公式中，深度处顶点数的生成函数是r（n，t）=（t+1）^n=Sum_{i=0..n}二项式（n，i）*t^i。重复应用的w（n，t）递归是这些函数的和，从中可以得到w（n、t）的有理函数。

%C T（n，k）作为j上的和，然后是二项式的放置位置，在g.f中有索引。或者，直接的解释是用通常的方法将顶点v=0到2^n-1（包括父节点（v）=A129760（v））编号，然后假设一对顶点u，v在位置j处具有最高的不同位，其中j=1为最低有效位。u或v中的一个在j处有一个1位。要使距离k相隔，需要在u和v中j以下的位中再增加k-1个1位，因此是二项式（2（j-1），k-1）。j上面的位在u和v中是相同的，可以是任何2^（n-j）（下面的位和0是u，v的共同祖先）。

%C（结束）

%D K.Viswanathan Iyer和K.R.Udaya Kumar Reddy，二叉树和斐波那契树的维纳指数，国际数学杂志。发动机。对于Comp。，2009年9月接受出版。

%D T.H.Cormen、C.E.Leiserson和R.L.Rivest：算法导论。麻省理工学院出版社/麦格劳-希尔（1990）。

%H B.E.Sagan、Y-N.Yeh和P.Zhang，<a href=“http://dx.doi.org/10.1002/（SICI）1097-461X（1996）60:5&lt；959:：AID-QUA2&gt；3.0.CO；2-W“>图的维纳多项式，量子化学国际期刊，60，1996，959-969。

%H K.Viswanathan Iyer和K.R.Udaya Kumar Reddy，<a href=“http://arxiv.org/abs/0910.4432“>Wiener二叉树和Fibonacci树指数</a>，arXiv:0910.4432[cs.DM]，2009。

%F T（n，1）=A000225（n）=2^n-1。

%F T（n，2）=A005803（n+1）=2^（n+1）-2*n-2。

%F和{k>=1}k*T（n，k）=A192021（n）（维纳指数）。

%F n阶二叉树的Wiener多项式w（n，t）满足递推关系w（n，t）=2*w（n-1，t）+t*（r（n-1，t））^2，w（0，t）=0，其中r（n，t）是二叉树b（n）的节点相对于节点级别的生成多项式（例如，对于单侧树b（1）=|，r（1，t）=1+t；参见Maple程序）。

%F T（n，k）=和{j=1..n}2^（n-j）*二项式（2*j-2，k-1）。

%F w（n，t）=和{i=0..n-1}2^（n-1-i）*t*（t+1）^（2i）=t*（（t+1_Kevin Ryde，2019年9月13日

%e T（2,1）=3，T（2,2）=2，T（2，3）=1，因为二项式树b（2）基本上是路径树A-b-R-C，我们在距离1、2和3处分别有3对（AB、BR、RC）、2对（AR、BC）和1对（AC）节点。

%e三角形开始：

%e 1；

%e 3、2、1；

%e第7、8、8、4、1条；

%e第15、22、31、28、17、6、1条；

%e第31、52、90、112、104、68、30、8、1条；

%p G：=1/（1-z-t*z）：Gser：=简化（级数（G，z=0，11））：对于从0到8的n do r[n]：=排序（coeff（Gser，z，n））end do：w[0]：=0：对于从n到8的do w[n]，=排序（展开（2*w[n-1]+t*r[n-1]^2））end-do：对于从n到8的d seq（coef（w[n]t，k），k=1。。2*n-1）结束do；#以三角形形式生成序列

%t最大值=8；g=1/（1-z-t*z）；r=系数列表[系列[g，{z，0，max}]，z]；w[0]=0；w[n]：=w[n]=2w[n-1]+t*r[[n]]^2；扁平[表[删除[系数列表[w[n]，t]，1]，{n，1，max}]]（*_Jean-François Alcover_，2011年10月6日，在Maple之后*）

%o（PARI）a（n）=我的（s=平方（n），r=n-s^2）；和（i=0，s，2^（s-i）*二项式（2*i，r））；\\_Kevin Ryde，2019年9月13日

%Y参考A000225、A005803、A192021。

%K nonn，标签

%0、2

%德国经济，2011年6月22日