%I#59 2024年5月2日10:06:23

%S 1,2,2,3,6,9,15,30,54,97189360675130425224835935819335269，

%电话：6856813373726080250913299580119489313816904748363614683721，

%电话：2882779856637969111347879219019294431043814848764585167205652532953908006497536449

%N长度为N的二进制字符串的数量，其中包含相同数量的00和01子字符串。

%C《美国数学月刊》第11424题的变体。使用Maple 10对术语进行了强制计算。

%C于2011年12月上午提出问题11610。

%C来自Gus Wiseman_，2021年7月27日：（开始）

%C也是按长度和交替和计算整数组成的矩阵的反对角线和（A345197）。因此，a（n）是长度为（n-s+3）/2的n+1的整数合成数，其中s是合成的交替和。例如，a（0）=1到a（6）=7的组合为：

%C（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）

%C（11）（21）（31）（41）（51）（61）

%C（121）（122）（123）（124）

%C（221）（222）（223）

%C（1112）（321）（322）

%C（1211）（1122）（421）

%C（1221）（1132）

%C（2112）（1231）

%C（2211）（2122）

%丙（2221）

%C（3112）

%丙（3211）

%C（11131）

%C（12121）

%丙（13111）

%C对于具有主（二进制字符串）解释的双射，取满足条件且从1开始的每个长度为n+1的二进制字符串的运行长度。

%C（结束）

%H Alois P.Heinz，n表，n=0..3328的a（n）（前501个术语来自R.H.Hardin）

%H Shalosh B.Ekhad和Doron Zeilberger，<a href=“http://arxiv.org/abs/1112.6207“>Richard Stanley的Amer.Math.Monthly Problem#11610和任何此类问题的自动解决方案，arXiv-print arXiv:1112.6207[Math.CO]，2011。关于该序列的g.f.、递归和渐近的严格推导，请参见分页。【摘自N.J.A.Sloane，2012年4月7日】

%H R.Stanley，<a href=“https://www.jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.118.10.936“>问题11610，美国数学月刊，118（2011），937；120（2013），943-944。

%总建筑面积：1/2/（1-x）+（1+2*x）/2/sqrt（（1-x）*（1-2*x）*（1+x+2*x^2））_理查德·斯坦利（Richard Stanley），2011年4月29日更正

%总建筑面积：（1+平方米（1+4*x/（1-x）*（1-2*x）*_Michael Somos，2012年1月30日

%F a（n）=总和（二项式（2*k-1，k）*二项式_Joel B.Lewis，2011年5月21日

%F猜想：-n*a（n）+（2+n）*a（n-1）+（3n-12）*a_R.J.Mathar，2011年11月28日

%F G.F.y=A（x）满足x=（1-x）*（1-2*x）*_Michael Somos，2012年1月30日

%F序列a（n）满足0=a（n”）*（n^2-2*n）+a（n-1）*（-3*n^2+8*n-2）+a_Michael Somos，2012年1月30日

%对于n>0_Stefano Spezia，2024年4月26日

%F a（n）~2^n/sqrt（Pi*n）.-_瓦茨拉夫·科特索维奇，2024年4月26日

%e 1+2*x+2*x^2+3*x^3+6*x^4+9*x^5+15*x^6+30*x^7+54*x^8+97*x^9+。。。

%e来自Gus Wiseman2021年7月27日：（开始）

%e a（0）=1到a（6）=15个二进制字符串：

%e（）（0）（1,0）（0,0,1）（0,0,1,0）（0,0,1,1,0）（0,0,0,1,0,1,0）

%e（1）（1,1）（1.1,0）（0,0,1,1）（0,1,0,1,1,1）

%e（1,1,1）（0,1,0,0）（0,1,1,0,0

%e（1,0,0,1）（1,0,1,0）（0,0,1,1,1）

%e（1,1,0）（1,0,0,1,1）（0,1,0,0,1）

%e（1,1,1,1）（1,0,1,0）（0,1,1,0,0）

%e（1,1,0,0,1）（1,0,0，1,0）

%e（1,1,1,1,0）（1,0,0,1,1,1）

%e（1,1,1,1）（1,0,1,1,0）

%e（1,1,0,0,1,0）

%e（1,1,0,0,1,1）

%e（1,1,0,1,0,0）

%e（1,1,0,0,1）

%e（1,1,1,1,0）

%e（1,1,1,1,1）

%e（结束）

%p with（组合）：count:=proc（n）local S，matches，A，k，i；S:=子集（\{seq（i，i=1..n）\}）：匹配：=0:当不是S[完成]时做A:=S[下一个值]（）：k:=0:对于i从1到n-1做：如果不是（i在A中）并且不是（i+1在A中；返回（匹配项）；结束进程：

%p#第二个Maple程序：

%p b:=proc（n，l，t）选项记忆`如果`（n-abs（t）<0，0，`如果`（n=0，1，

%p加（b（n-1，i，t+`如果`（l=0，（-1）^i，0）），i=0..1））

%p端：

%pa:=n->b（n，1，0）：

%p序列（a（n），n=0..36）；#_阿洛伊斯·海因茨，2024年3月20日

%ta[0]=1；a[n]：=和[二项式[2*k-1，k]*二项式[n-2*k，k]+二项式[2]，k]*Binominal[n-2xk-1，k]，{k，0，n/3}]；

%t表[a[n]，{n，0，40}]（*_Jean-François Alcover_，2017年11月28日，在_Joel B.Lewis_*之后）

%t表[Length[Select[Tuples[{0,1}，n]，Count[Partition[#，2,1]，{0,0}]==Count[Partition[#，2,1]，{0，1}]&]]，{n，0,10}]（*_Gus Wiseman_，2021年7月27日*）

%ta[0]：=1；a[n]：=（1+3*HypergeometricPFQ[{1/2，1-3*n/8，（1-n）/3，（2-n）/3；数组[a，37,0]（*_Stefano Spezia_，2024年4月26日*）

%o（Python）

%o来自数学导入梳

%o def A163493（n）：如果n为1#_Chai Wah Wu_，2024年5月1日

%Y矩阵的反对角和A345197。

%A345907的Y行总和。

%Y取对角线而不是反对角线和，得到A345908。

%Y A011782统计成分（或二进制字符串）。

%Y A097805通过交替（或反向交替）求和对组合物进行计数。

%Y A103919按总和和交替总和计算分区数（反面：A344612）。

%Y A316524给出了基本指数的交替总和（反面：A344616）。

%Y n、2n或2n+1与交替/反向交替和k的组合：

%Y-k=0：按A088218统计，按A344619/A344619排名。

%Y-k=1：按A000984统计，按A345909/A345911排名。

%Y-k=-1：按A001791统计，按A345910/A345912排名。

%Y-k=2：按A088218计数，按A345925/A345922排序。

%Y-k=-2：按A002054统计，按A345924/A345923排名。

%Y-k>=0：按A116406计算，按A345913/A345914排名。

%Y-k≤0：按A058622（n-1）计算，按A345915/A345916排名。

%Y-k>0：按A027306统计，按A345917/A345918排名。

%Y-k<0：按A294175计算，按A345919/A345920排名。

%Y-k！=0：按A058622统计，按A345921/A345921排名。

%Y-k偶数：按A081294统计，按A053754/A053754排名。

%Y-k奇数：按A000302统计，按A053738/A053738排名。

%Y参见A000041、A000070、A000096、A000097、A000124、A000346、A007318、A008549、A025047、A131577、A238279。

%K nonn公司

%0、2

%A _克里斯托弗·卡尔·赫克曼，2009年7月29日