%I#26 2021年7月11日02:56:04

%S-1,11181353981901220331967741129234616787990449857081，

%电话：38431071023391784680449466218994348275804891488964835817842021，

%电话：28523735794360301039177328098986675474408111781796160157713878247982791784655722546926265329

%常数e:a（N）=1/（N-1）的类Apéry数*求和{k=0..n+1}（-1）^k*C（n+1，k）*（2*n-k）！对于n>=1。

%这个序列满足递归（n-1）^2*a（n）-n^2*a（n-2）=（2*n-1）*（2*n^2-2*n+1）*a（n-1。

%注意到与Apéry数A（n）=A005258（n）的理论惊人的相似之处，它满足类似的递推关系n^2*A（n，n-1）^2*A（n-2）=（11*n^2-11*n+3）*A（n-1），出现在级数加速公式zeta（2）=5*Sum{n>=1}1/（n^2*A（n*147）+…]。

%H Seiichi Manyama，n的表，n的a（n）=0..365</a>

%H A.van der Poorten，<A href=“http://pracownicy.uksw.edu.pl/mwolf/Poorten_MI_195_0.pdf“>欧拉遗漏的证据……阿佩里对泽塔非理性的证明（3）。一份非正式报告。《数学智能1》（1978/79），第4期，195-203。

%F a（0）：=-1，a（n）=1/（n-1）*求和{k=0..n+1}（-1）^k*C（n+1，k）*（2*n-k）！对于n>=1。

%F除了初始项之外，这个序列是方阵A060475的第二个超对角线；等价地，方阵A086764的第二个子对角线。

%F递归关系：a（0）=-1，a（1）=1，（n-1）^2*a（n）-n^2*a（n-2）=（2*n-1）*（2*n^2-2*n+1）*a（n-1，n>=2。

%设b（n）表示初始条件b（0）=0，b（1）=2时该递推的解。那么b（n）=A143414（n）=1/（n-1）*和{k=0..n-1}C（n-1，k）*（2*n-k）！。有理数b（n）/a（n）等于Padé近似，在x=1和b（n，n）/a->e处快速计算次数（n-1，n+1）的exp（x）。

%F例如，b（100）/a（100）-e约为1.934*10^（-436）。恒等式b（n）*a（n-1）-b（n-1）*a（n）=（-1）^n*2*n^2导致e和1/e的快速收敛级数：e=2*Sum_{n>=1}（-1）^n*n^2/（a（n）*a（n-1））=2*[1+2^2/（1*11）-3^2/（11*181）+4^2/（181*3539）-…]；1/e=1/2-2*Sum_{n>=2}（-1）^n*n^2/（b（n）*b（n-1））=1/2-2*[2^2/。

%F猜想同余：对于r>=0和奇素数p，计算表明a（p^r*（p+1））+a（p*r）==0（mod p^（r+1））。

%F a（n）=（2*n）/（n-1）！）*n>=2.-的超几何（[-n-1]，[-2*n]，-1）_Peter Luschny_，2018年11月14日

%F a（n）~2^（2*n+1/2）*n^（n+1）/exp（n+1/2_瓦茨拉夫·科特索维奇，2021年7月11日

%p a:=n->1/（n-1）*加（（-1）^k*二项式（n+1，k）*（2*n-k）！，k=0..n+1）：

%p序列（a（n），n=1..19）；

%p#备选方案

%pa:=n->`如果`（n<2，2*n-1，（2*n）/（n-1）*浅层（[-n-1]，[-2*n]，-1）：

%p seq（简化（a（n）），n=0..17）；#_Peter Luschny_，2018年11月14日

%t连接[{-1}，表[（1/（n-1）！）*Sum[（-1）^k*二项式[n+1，k]*（2*n-k）！，{k，0，n+1}]，{n，1，50}]]（*_G.C.格鲁贝尔，2017年10月24日*）

%o（PARI）concat（[-1]，对于（n=1,25，打印1（（1/（n-1）！）*求和（k=0，n+1，（-1）^k*二项式（n+1，k）*（2*n-k）！），“，”））\\_G.C.Greubel_，2017年10月24日

%Y参考A005258、A060475、A086764、A143414、A143 415。

%Y类Apéry数[或类Apáry序列、类Apery numbers、类Aperry sequences]包括A000172、A000984、A002893、A00289、A005258、A00525、A005260、A006077、A036917、A063007、A081085、A093388、A125143（除符号外）、A143003、A143007、A143413、A14341、A14343415、A143583、A183204、A214262、A219692、A226535、A227216、A227454、，A229111（除标志外）、A260667、A260832、A262177、A264541、A26454、A279619、A290575、A29057。（术语“类人猿”没有明确定义。）

%K放松，签名

%0、3

%阿佩特·巴拉，2008年8月14日