%I#17 2021年2月14日13:03:32

%S 1,1,2,4,1,10,4,29,12,90,36,6290114,24,1960376,86,832461272，

%电话：303,40,11116443801074168，1038934152933838660，60,1137358，

%电话：54012138122528290,12489341192612501395841265,84,1

%N按行读取的三角形：T（N，k）是从级别1开始具有k个UDDU的半长N的Dyck路径数。

%C第0、1、2行中的每一行都有一个术语；第n行（n>=1）有上限（n/2）项。行总和是加泰罗尼亚数字（A000108）。柱0产生A135334_Emeric Deutsch，2007年12月14日

%H Alois P.Heinz，行数n=0..200，扁平</a>

%H A.Sapounakis、I.Tasoulas和P.Tsikouras，<A href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2007.03.005“>计算Dyck路径中的字符串</a>，《离散数学》，307（2007），2909-2924。

%F From _Emeric Deutsch_，2007年12月14日：（开始）

%F T（n，k）=2*（（k+1）/（n+1））*和{j=k.floor（（n-1）/2）}（-1）^（j-k）*二项式（j+1，k+1）*二项式（2n-2j-1，n）（n>=1）。

%F G.F.：1+z*C^2/（1+（1-t）*z^2*C^2），其中C=（1-sqrt（1-4z））/（2z）是加泰罗尼亚数字的G.F.（A000108）。（结束）

%e三角形开始：

%e 1；

%e 1；

%e 2；

%e 41；

%e 10 4；

%e 29 12 1；

%e 90 36 6；

%e 290 114 24 1；

%e 960 376 86 8；

%e 3246 1272 303 40 1；

%e。。。

%e T（4,1）=4，因为我们有UDU（UDDU）D、U（UDDU）DUD、U、UDDU和UUD（UDDUD）D（圆括号中显示了UDDU从级别1开始的位置）。

%p T:=proc（n，k）options操作符，箭头：（2*k+2）*（总和（（-1）^（j-k）*二项式（j+1，k+1）*二项式（2*n-2*j-1，n），j=k.floor（（1/2）*n-1/2）））/（n+1）end proc:1；对于n到13，do序列（T（n，k），k=0..ceil（（n-2）*1/2））结束do；#生成三角形序列_Emeric Deutsch，2007年12月14日

%pG:=1+z*C^2/（1+（1-t）*z^2*C^2）：C:=（（1-sqrt（1-4*z））*1/2）/z:Gser:=简化（级数（G，z=0,16））：对于从0到13的n，执行p[n]：=排序（系数（Gser，z，n））结束do:1；对于n到13，do seq（系数（P[n]，t，j），j=0..楼层（（n-1）*1/2））结束do；#生成三角形序列_Emeric Deutsch，2007年12月14日

%p#第三个Maple程序：

%p b:=proc（x，y，t）选项记忆`如果`（y<0或y>x，0，

%p`if`（x=0，1，展开（b（x-1，y+1，`if`）（y=1，1，0））*

%p`if`（t=3，z，1））+b（x-1，y-1，`if`

%p端：

%pT:=n->（p->seq（系数（p，z，i），i=0..度（p））（b（2*n，0$2））：

%p序列（T（n），n=0..14）；#_Alois P.Heinz，2019年11月16日

%tb[x_，y_，t_]：=b[x，y，t]=如果[y<0|y>x，0，

%t如果[x==0，1，展开[b[x-1，y+1，如果[y==1，1，0]]*

%t如果[t==3，z，1]]+b[x-1，y-1，如果[1<=t<=2，t+1，0]]]；

%t t[n_]：=系数列表[b[2n，0，0]，z]；

%t t/@Range[0，14]//Flatten（*_Jean-François Alcover_，2021年2月14日，在_Alois P.Heinz_*之后）

%Y参考A000108，A135334。

%K nonn，标签

%0、3

%A.N.J.A.Sloane_，2007年12月7日

%E德国电子公司编辑和扩展，2007年12月14日