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A120972号
G.f.满足:A(x/A(x)^3)=1+x;因此A(x)=1+系列_版本(x/A(x)^3)。
8
1, 1, 3, 21, 217, 2814, 42510, 718647, 13270944, 263532276, 5567092665, 124143735663, 2905528740060, 71058906460091, 1809695198254281, 47861102278428198, 1311488806252697283, 37164457324943708739
抵消
0,3
评论
更一般地说,如果g.f.A(x)满足:A(x/A(x)^k)=1+x*A(x)^m,那么
A(x)=1+x*G(x)^(m+k),其中G(x;
因此a(n)=[x^(n-1)]((m+k)/(m+k*n))*a(x)^(m+k*n)对于n>=1,a(0)=1。
配方奶粉
G.f.满足:A(x)=1+x*A(A(x)-1)^3。
a(n)=[x^(n-1)]a(x)^(3*n)/n,其中n>=1,a(0)=1;即,当n>=1时,a(n)等于a(x)^(3*n)/n中的x^(n-1)系数(见注释)。
设B(x)是A120973号,则B(x)和g.f.A(x)由以下公式关联:
(a) B(x)=a(a(x)-1),
(b) b(x)=A(x*b(x(x)^3),
(c) A(x)=B(x/A(x)^3),
(d) A(x)=1+x*B(x)^3,
(e) B(x)=1+x*B(x)^3*B(A(x)-1)^3,
(f) A(B(x)-1)=B(A(x)-1)=B。
例子
通用公式:A(x)=1+x+3*x^2+21*x^3+217*x^4+2814*x^5+42510*x^6+。。。
相关扩展。
A(x)^3=1+3*x+12*x^2+82*x^3+813*x^4+10212*x^5+150699*x^6+。。。
A(A(x)-1)=1+x+6*x^2+60*x^3+776*x^4+11802*x^5+201465*x^6+。。。
A(A(x)-1)^3=1+3*x+21*x^2+217*x^3+2814*x^4+42510*x^5+。。。
x/A(x)^3=x-3*x^2-3*x ^3-37*x ^4-420*x ^5-5823*x ^6-。。。
系列_反转(x/A(x)^3)=x+3*x^2+21*x^3+217*x^4+2814*x^5+42510*x^6+。。。
为了说明公式a(n)=[x^(n-1)]3*a(x)^(3*n)/(3*n),
形成a(x)^(3*n)中的系数表如下:
A^3:[(1),3,12,82,813,10212,150699,2503233,…];
A^6:[1,(6),33,236,2262,27270,388906,6289080,…];
A^9:[1,9,(63),489,4671,54684,756012,11904813,…];
A^12:[1,12,102,(868),8445,97260,1310040,20112516,…];
A^15:[1,15,150,1400,(14070),161343,2130505,31961175,…];
A^18:[1,18,207,2112,22113,(255060),3324003,48876264,…];
A^21:[1,21,273,3031,33222,388563,(5030529),72769014,…]。。。
其中主对角线形成该序列的初始项:
[3/3*(1), 3/6*(6), 3/9*(63), 3/12*(868), 3/15*(14070), 3/18*(255060), ...].
数学
条款=18;A[_]=1;做[A[x_]=1+x*A[A[x]-1]^3+O[x]^j//正常,{j,项}];系数列表[A[x],x](*Jean-François Alcover公司2018年1月15日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=局部(a=[1,1]);对于(i=2,n,a=concat(a,0);a[#a]=-Vec(subst(Ser(a),x,x/Ser(a)^3))[#a]);a[1]}
(PARI){a(n)=局部(a=1+x+x*O(x^n))
(PARI)/*当k=3,m=0:A(x/A(x)^k)=1+x*A(x)*/
{a(n,k=3,m=0)=局部(a=和(i=0,n-1,a(i,k,m)*x^i));如果(n==0,1,polceoff((m+k)/(m+k*n)*a^(m+k*n),n-1))}
对于(n=0,25,print1(a(n),“,”)
关键字
非n
作者
保罗·D·汉纳2006年7月20日
状态
经核准的

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年9月21日11:40。包含376084个序列。(在oeis4上运行。)