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| A120572号 |
| 具有整数边a<=b<=c和内径n的任何三角形的最小面积。 |
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7
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6, 24, 48, 84, 150, 192, 294, 336, 432, 540, 726, 756, 1014, 1134, 1170, 1344, 1734, 1710, 2166, 2100, 2310, 2640, 3174, 3000, 3750, 4056, 3888, 4116, 5046, 4680, 5766, 5376, 5808, 6936, 6510, 6804, 8214, 8664, 8112, 8400, 10086, 9240, 11094, 10164
(列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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a（n）==0（mod 6）。
经验上，3*sqrt（3）<a（n）/n^2<=6。下界可证明是紧的，上界似乎经常无限地达到，例如，对于素数n>=5。
边长为A、b和c的三角形的面积A由Heron公式给出：A=sqrt（s（s-A）（s-b）（s-c）），其中s=（A+b+c）/2。内切圆或内切圆的半径（也称为内半径r）由r=A/s给出。
从n=17开始，可以找到具有以下性质的三角形对：r1>r2和A1<A2，其中A1、A2是对应于内半径r1、r2的连续区域。例如，a（17）=1734，其中（a，b，c）=（51，68，85），a（18）=1710，其中（a，b，c）=（57，65，68）。
这个序列的另一个有趣的性质是，a（n）可以被6整除，除n=3外，如果n为素数，a（n）/6=n^2，因此命题：
在面积和边都是整数且内径r是除3以外的素数的三角形集合中，最小面积a由a=6r^2给出。
例如：如果r=5，三角形的面积是{150、210、270、330、390、510…}，它们的最小面积是A=6*5^2=150，因为5是素数。
证明：设r是一个数，使得三角形的边为a=3r，b=4r，c=5r。那么s=（a+b+c）/2=6r和a=sqrt（s（s-a）（s-b）（s-c）=sqrt（36r^4）=6r^2是一个可能的区域。6r^2是最小的面积吗？对于复合数，一般情况下的响应为“否”。
写a=（m+n）/2，b=（n+l）/2，c=（l+m）/2，并使用rs=a和a的Heron公式，我们发现lmn=4r^2（l+m+n）。由于m、n和l必须具有相同的奇偶性，a、b和c才能积分，因此它们必须是偶数。设置l=2u，m=2v，n=2w，我们得到a=v+w，b=w+u，c=u+v，uvw=r^2（u+v+w）。然后r^2=uvw/（u+v+w）。
第一种情况：如果r=p是素数，我们证明A=6p^2是内半径为p的所有三角形的最小面积。假设A'<A，内半径（A'）=p。面积A是三角形（u，v，w）=（1*p，2*p，3*p）的对应值，因为6p^3/6p=p^2。然而，内径（A'）=p=>u'v'w'/（u'+v'+w'）=p2=>（u'，v'，w'）=（u，v，w），A是最小的面积。
第二种情况：如果r=q是复合的，三角形（u，v，w）=（1*q，2*q，3*q；例如，如果q=10，面积为A=600的三角形（u，v，w）=（30，20，10）给出sqrt{（30*20*10）/（30+20+10）}=sqrt（6000/60）=10，而面积为A'=540的三角形（u'，v'，w'）=（24,15,15）给出squart{。
（结束）
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链接
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例子
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a（4）=84，因为对于（a，b，c）=（13，14，15）=>a=sqrt（21（21-13）（21-14）（21-15））=84和r=84/21=4。
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MAPLE公司
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T： =数组（1..500）：nn:=70：对于n从1到16 do:k:=0:ii:=0：对于a从1
到nn-do：对于b从a到nn-do:对于c从b到nn-do2:p:=（a+b+c）/2:x:=p*（p-a）*（p-b）*（p-c）：如果x>0，则s:=sqrt（x）：如果s=楼层并且s/p=n，则k:=k+1:T[k]：=s:否则fi:fi:od:od:L:=[seq（T[i]，i=1..k）]：a:=排序（L，`<`）：w:=a[1]:printf（“%d%d\n”，n，w）：od：#米歇尔·拉格诺2012年3月2日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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