这些是非关联循环，其中每个元素都有唯一的逆，包括IP、Moufang和Bol循环[Cawagas]。这些数据由一台由48个奔腾II 400处理器组成的超级计算机生成，并在大约三天内进行了检查，这些处理器是专门为自动推理而构建的。一般来说，环是一个具有单位元e的拟群，使得对于拟群中的任何x，xe=x和ex=x。所有组都是循环。拟群是群胚G，使得对于G中的所有A和b，G中存在唯一的c和d，使得ac＝b和da＝b。因此，拟群不需要有单位元素，也不需要是缔合的。等价地，可以说拟群正是群胚，其乘法表是拉丁方（可能为空）。
