%I#7 2017年6月13日22:36:40

%S 1,1,1,1,8,1232,64,13696816192512,13559383221928768，

%电话：1047040496，121937996349617837945921142494668867096576，

%电话：32768，11900369917801021692884034896720007480933662295045862250172416

%N三角形P，按行读取，对于N>=k>=0满足[P^8]（N，k）=P（N+1，k+1），对于所有m也满足[P^（8*m）]（N、k）=[P^m]（N+1、k+1）。其中[P^m][N，k]表示P的矩阵幂m的第N行、第k列的元素，其中P（0，k）=1，对于所有k>=0，P（k，k）=1。

%C同时P（n，k）=（8^n-8^（n-k））的分区为8<=8^。

%F设q=8；P^m的k列的g.f.（忽略前导零）等于：1+Sum{n>=1}（m*q^k）^n/n！*乘积_｛j＝0..n-1}L（q^j*x），其中L（x）满足：x/（1-x）＝Sum_｛n>=1｝乘积_｛j＝0..n-1}L（q^j*x）/（j+1），并且L（x）等于P（A111839）的矩阵对数的第0列的g.f。

%e设q=8；矩阵幂P^m的k列的g.f.为：

%e 1+（m*q^k）*L（x）+（m*q^k，^2/2*L（x）*L（q*x）+

%e（m*q^k）^3/3*长（x）*长（q*x）*L（q^2*x）+

%e（m*q^k）^4/4*L（x）*L（q*x）*L（q^2*x）*L（q^3*x）+。。。

%e其中L（x）满足：

%e x/（1-x）=L（x）+L（x”）*L（q*x）/2！+L（x）*L（q*x）*L（q^2*x）/3！+。。。

%e和L（x）=x-6/2*x^2+142/3*x^3+31800/4*x^4+。。。（A111839）。

%e因此，矩阵幂P^m第0列的g.f.为：

%e 1+m*L（x）+m^2/2*L（x）*L（8*x）+m^3/3*L（x）*L（8*x）*L（8^2*x）+m^4/4*长（x）*长（8*x）*高（8^2*x）*L（8^3*x）+。。。

%e三角形P开始：

%e 1；

%e 1,1；

%e 1,8,1；

%e 1232,64,1；

%e 13696816192512.1；

%e 13559383221928768104704096,1；

%电子邮箱：12193799634961783794592114249466886709657632768,1。。。

%e其中P^8将列向左上移动一个位置：

%e 1；

%e 8.1；

%e 232,64,1；

%e 3696816192512.1。。。

%o（PARI）P（n，k，q=8）=局部（A=Mat（1），B）；如果（n<k | | k<0,0，对于（m=1，n+1，B=矩阵（m，m））；对于（i=1，m，对于（j=1，i，如果（j==i|j==1，B[i，j]=1，B[i，j]=（A^q）[i-1，j-1]）；）；A=B）；返回（A[n+1，k+1））

%Y参考A111836（第1列）、A111837（行和）、A111838（矩阵对数）；三角形：A110503（q=-1）、A078121（q=2）、A078122（q=3）、A078536（q=4）、A111820（q=5）、A111825（q=6）、A111830（q=7）。

%K nonn，表

%0、5

%A Gottfried Helms_和Paul D.Hanna，2005年8月22日