%I#7 2017年6月13日22:34:21

%S 1,1,1,1,5,1,1,55,25,1,120551525125,1,129143031152538875625,1，

%电话：1165397680239305275403388756253125,1390075741430，

%电话：73592061777515705679200050774756252440937515625,1

%N按行读取的三角形P，对于N>=k>=0，满足[P^5]（N，k）=P（N+1，k+1），对于所有m，也满足[P^（5*m）]（N，k）=[P^m]（N+1，k+1），其中[P^m]（N，k）表示P的矩阵幂m的第N行第k列的元素，其中P（0，k）=1，并且对于所有k>=0，P（k，k）=1。

%C另外，P（n，k）=（5^n-5^（n-k））的分划为5的幂。

%F设q=5；P^m的k列的g.f.（忽略前导零）等于：1+Sum{n>=1}（m*q^k）^n/n！*乘积_｛j＝0..n-1}L（q^j*x），其中L（x）满足：x/（1-x）＝Sum_｛n>=1｝乘积_｛j＝0..n-1}L（q^j*x）/（j+1），并且L（x）等于P（A111824）的矩阵对数的第0列的g.f。

%e设q=5；矩阵幂P^m的第k列的g.f.为：

%e 1+（m*q^k）*L（x）+（m*q^k，^2/2*L（x）*L（q*x）+

%e（m*q^k）^3/3*长（x）*长（q*x）*L（q^2*x）+

%e（m*q^k）^4/4*L（x）*L（q*x）*L（q^2*x）*L（q^3*x）+。。。

%e其中L（x）满足：

%e x/（1-x）=L（x）+L（x”）*L（q*x）/2！+L（x）*L（q*x）*L（q^2*x）/3！+。。。

%e和L（x）=x-3/2*x^2+16/3*x^3+2814/4*x^4+。。。（A111824）。

%e因此，矩阵幂P^m第0列的g.f.为：

%e 1+m*L（x）+m^2/2*L（x）*L（5*x）+m^3/3*长（x）*长（5*x）*高（5^2*x）+

%e m^4/4*长（x）*长（5*x）*高（5^2*x）*L（5^3*x）+。。。

%e三角形P开始：

%e 1；

%e 1,1；

%e 1,5,1；

%e 1,55,25,1；

%e 120551525125,1；

%e 129143031152538875625,1；

%电子邮箱：1165397680239305275403388756253125.1。。。

%e其中P^5将列向左上移动一个位置：

%e 1；

%e 5.1；

%e 55,25,1；

%e 20551525125.1；

%e 291430311525388756251。。。

%o（PARI）P（n，k，q=5）=局部（A=Mat（1），B）；如果（n＜k | | k＜0,0，对于（m＝1，n＋1，B＝矩阵（m，m）；对于（i=1，m，对于（j=1，i，如果（j==i|j==1，B[i，j]=1，B[i，j]=（A^q）[i-1，j-1]）；）；A=B）；返回（A[n+1，k+1））

%Y参见A111821（第1列）、A111822（行总和）、A111123（矩阵对数）；三角形：A110503（q=-1）、A078121（q=2）、A07.8122（q=3）、AO78536（q=4）、A111825（q=6）、A111530（q=7）、A111135（q=8）。

%K nonn，表

%0、5

%A Gottfried Helms_和Paul D.Hanna，2005年8月22日