%I#76 2022年2月13日23:18:02

%S 1,3,1,6,4,1,10,10,5,1,15,20,15,6,1,21,35,21,7,1,28,56,70,56,28,8，

%电话：1,36,84126126,84,36,9,1,45120210210120,45,10,1,55165330，

%U 462462330165,55,11,1,66220495792924792495220,66,12,1,78286715

%N帕斯卡三角形，去掉前两列。

%C A000295（欧拉数）给出了行总和。

%C将A004736和Pascal三角形写成无限下三角矩阵A和B；那么A*B就是这个三角形。

%C来自_Peter Luschny_，2011年4月10日：（开始）

%C一个微小的变化有一个组合解释：从帕斯卡三角形中删除最后一列和第二列。设P（m，k）表示{1,2，..，n}的集合分区，其性质如下：

%C（a）每个分区至少有一个单块；

%C（C）k是分区最大块的大小；

%C（b）m=n-k+1是分区的部分数。

%C然后A000295（n）=和{k=1..n}卡（P（n-k+1，k））。

%C例如，A000295（4）=P（4,1）+P（3,2）+P。

%C通过将偏移量更改为1并在前面加上值1，可以将此解释叠加到序列上。然后三角形开始

%C1类；

%C 1、3；

%C 1、6、4；

%C1、10、10、5；

%C1、15、20、15、6；

%C。。。

%C（结束）

%C对角线和为A001924（n+1）_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2014年1月11日

%C与K-理论的关系：T作用于列向量（d，-d^2，d^3，…），生成CP^n中d次超曲面的Euler类。参见Dugger p.168、A111492、A238363和A135278_汤姆·科普兰，2014年4月11日

%H G.C.Greubel，<a href=“/A104712/b104712.txt”>行n=2..100的三角形，扁平</a>

%H D.Dugger，<a href=“http://math.uoregon.edu/~ddugger/kgeom.pdf“>K理论几何导论</a>

%H Candice A.Marshall，<A href=“https://mdshour.org/handle/11603/10353“>《Riordan Group中伪卷积的构建》，摩根州立大学论文，2017年。

%齐藤H T.，<a href=“http://arxiv.org/abs/1110.1717“>偶维超曲面的判别式和行列式（第4页），arXiv:1110.1717[math.AG]，2011-2012。

%F a（n，k）=二项式（n，k），对于2<=k<=n。

%F From _Peter Bala，2013年7月16日：（开始）

%F以下注释假设偏移量为0。

%F Riordan数组（1/（1-x）^3，x/（1-x））。

%财务报表：1/（1-t）^2*1/（1-（1+x）*t）=1+（3+x）*t+（6+4*x+x^2）*t^2+。。。。

%例如：（1/x*d/dt）^2（exp（t）*（exp。。。。

%这个三角形的无穷小生成器在主副对角上有序列[3,4,5，…]，在其他地方有0。（结束）

%F作为三角形T（n，k），0<=k<=n：T（n、k）=3*T（n-1，k）+T

%F来自Tom Copeland，2014年4月11日：（开始）

%F A）该矩阵的无穷小生成器在A132681中给出，m=2。有关微分算子和m=2阶拉盖尔多项式的众多关系，请参见该条目，即Lag（n，t，2）=Sum_{j=0..n}二项式（n+2，n-j）*（-t）^j/j！。

%F B）外径：1/{[1-t*x/（1-x）]*（1-x）^3}

%F C）行的O.g.F.例如F.s:exp[t*x/（1-x）]/（1-x）^3=[Sum_{n>=0}x^n*滞后（n，-t，2）]=1+（3+t）*x+（6+4t+t^2/2！）*x^2+（10+10t+5t^2/！+t^3/3！）*x^3+。。。。

%F D）o.g.F.s行的示例：[（1+t）*exp（（1+t）*x）-（1+t+t*x）exp（x）]/t^2。（结束）

%第m行（m=n-2）的F O.g.F:[（1+x）^（m+2）-（1+（m+2）*x）]/x^2.-_汤姆·科普兰，2014年4月16日

%F反向T=[St2]*dP*[St1]-dP=[St2]*（exp（x*M）-I）*[St1_]-（exp，x*M_汤姆·科普兰，2014年4月26日

%k列的F O.g.F.（带k个前导零）：（x^k）/（1-x）^（k+1），k>=2.-_Wolfdieter Lang，2015年3月20日

%e三角形a（n，k）开始于：

%电子邮箱2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

%e 2：1

%电子3:31

%电子4:6 4 1

%电子5:10 10 5 1

%电话6:15 20 15 6 1

%电子邮箱7:21 35 35 21 7 1

%电子邮箱8:28 56 70 56 28 8 1

%电话9：36 84 126 126 84 36 9 1

%电话10:45 120 210 252 210 120 45 10 1

%电子邮箱11:55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

%电子邮箱：66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1

%电话13:78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1

%e。。。重新格式化。-_Wolfdieter Lang，2015年3月20日

%t t[n_，k_]：=二项式[n，k]；表[t[n，k]，{n，2，13}，{k，2，n}]//扁平（*_Robert G.Wilson v_，2011年4月16日*）

%o（PARI）代表（n=2，10，代表（k=2，n，print1（二项式（n，k），“，”））

%o（Magma）/*作为三角形*/[[二项式（n，k）：[2.n]]中的k：[2.10]]中的n；//_G.C.Greubel，2018年5月15日

%Y参见A000295、A007318、A008292、A104713、A027641/A027642（第一个伯努利数B-）、A164555/A027644（第二个伯努里数B+）、A176327/A176289。

%K non，tabl，简单

%氧2,2

%A _加里·W·亚当森，2005年3月19日

%E由_David Wasserman编辑和扩展，2007年7月3日