%I#125 2023年5月5日01:37:07

%S 1,0,1,0,1,2,0,1,5,0,1,1,9,21,14,0,14,56,84,42,0,120120300330，

%电话：132,0,1,2722582514851287429,0,1.353851925500570075051430，

%U 0,1,44616400414014280283203219448862,0,1,5493676443439891728

%N三角形，通过添加前导对角线1,0,0,0，。。。至A033282。

%C三角形A133336的镜像_Philippe Deléham，2008年12月10日

%C来自Tom Copeland_2011年10月9日：（开始）

%C带多项式

%C P（0，t）=0

%C P（1，t）=1

%C P（2，t）=t

%CP（3，t）=t+2 t^2

%CP（4，t）=t+5 t^2+5 t^3

%CP（5，t）=t+9 t^2+21 t^3+14 t^4

%C o.g.f.A（x，t）={1+x-sqrt[（1-x）^2-4xt]}/[2（1+t）]（见Drake等人）。

%C B（x，t）=x-tx^2/（1-x）=x-t（x^2+x^3+x^4+…）是比较。在x中求逆。

%C设h（x，t）=1/（dB/dx）=（1-x）^2/（1+（1+t）*x*（x-2））=1/（1-t（2x+3x^2+4x^3+…）），A181289中t的行多项式在x中的o.g.f。然后P（n，t）由（1/n！）（h（x，t）*d/dx）^n x给出，在x=0，A=exp（x*h（y，t）*d/dy）y，eval下计算。在y=0和dA/dx=h（A（x，t），t）时。这些结果是A133437的一个特例，其中u（x，t）=B（x，t），即u_1=1和（u_n）=-t表示n>1。t=1见A001003。（结束）

%C设U（x，t）=[A（x，t-）-x]/t，然后U（x、0）=-dB（x、t）/dt，U满足dU/dt=UdU/dx，即无粘Burgers方程（维基百科），也称为Hopf方程（见Buchstaber等人）。此外，由于U（x，0）=[x-B（x，t）]/t.-Tom Copeland_，2012年3月12日

%A132081的对角线基本上是该序列的行_汤姆·科普兰，2012年5月8日

%C T（r，s）是用s段覆盖[0，r]-层次结构的数量（参见Kreweras）_米歇尔·马库斯，2014年11月22日

%C发件人：Yu Hin Au_，2019年12月7日：（开始）

%C T（n，k）是小Schröder n路径（使用步骤U=（1,1），F=（2,0），D=（1，-1），x轴上没有F步骤，从（0,0）到（2n，0）的晶格路径）的数量，该路径正好有k个U步骤。

%C T（n，k）是具有n+1个叶子和k个内部节点的Schröder树（每个内部节点至少有两个子节点的平面根树）的数量。（结束）

%H Michael De Vlieger，n的表格，a（n）表示n=0..11475（第0行<=n<=150，展平）

%H Yu Hin（Gary）Au，<a href=“https://arxiv.org/abs/11912.00555“>加权小Schröder数的一些性质和组合含义</a>，arXiv:1912.00555[math.CO]，2019。

%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL16/Barry3/barry252.html“>关于Riordan数组定义的类Pascal矩阵族的逆</a>，整数序列杂志，16（2013），#13.5.6。

%H Paul Barry，<a href=“https://arxiv.org/abs/1803.06408“>序列转换管道上的三个纬度，arXiv:1803.06408[math.CO]，2018。

%H Paul Barry，<a href=“https://www.emis.de/journals/JIS/VOL22/Barry3/barry422.html“>与类帕斯卡三角形族相关的广义加泰罗尼亚数，J.Int.Seq.，Vol.22（2019），Article 19.5.8。

%H V.Buchstaber和E.Bunkova，<a href=“http://arxiv.org/abs/1010.0944“>椭圆形式群定律，积分Hirzebruch属和Kirchever属，</a>，arXiv:1010.0944[math-ph]，2010年（见第19页）。

%H V.Buchstaber和T.Panov，<a href=“http://arxiv.org/abs/102.1079“>环面拓扑。第1章：多面体的几何和组合学，</a>，arXiv:1102.1079[math.CO]，2011-2012（见第41页）。

%H G.Chatel，V.Pilaud，<a href=“http://arxiv.org/abs/1411.3704“>寒武纪Hopf代数，arXiv:1411.3704[math.CO]，2014-2015。

%H T.Copeland，<a href=“http://tcjpn.wordpress.com/2015/12/21/generators-inversion-and-matrix-binominal-and-integration-transforms/“>生成器、反演、矩阵、二项式和积分变换，2015年。

%H T.Copeland，<a href=“https://tcjpn.wordpress.com/2014/09/17/compositional-onverse-pairs-the-inviscid-burgers-hopf-equation-and-the-stashef-associahedra/“>合成逆对、Burgers-Hopf方程和Stasheff结合面体，2014年。

%H T.Copeland，<a href=“https://tcjpn.wordpress.com/2011/04/11/lagrange-a-la-lah/“>Lagrange a la Lah，2011年。

%H B.Drake、Ira M.Gessel和Guoce Xin，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL10/Gessel/gessel20.html“>关于代数几何中产生的序列的Goulden-Litsyn-Shevelev猜想的三个证明和推广，整数序列杂志，第10卷（2007年），第07.3.7条。

%H G.Kreweras，<a href=“http://www.numdam.org/item？id=BURO_1973__20__3_0“>Sur les hiérarchies de segments，Cahiers Bureau Universityaire Recherche Opérationnelle，Cahier 20，Inst.Statistiques，Univ.Paris，1973，第21-22页。

%H G.Kreweras，《细分市场研究》，巴黎大学统计研究所，第20期（1973年）。（带注释的扫描副本）

%H J.Zhou，<a href=“http://arxiv.org/abs/1405.5296“>艾里曲线的量子变形理论和点的镜像对称性，arXiv预印本arXiv:1405.5296[math.AG]，2014。

%F按行读取的三角形T（n，k）；由[0,1,0,1,0,1，0,1，…]DELTA[1,1,1,1,1，1,1，…]给出，其中DELTA是A084938中定义的Deléham算子。

%F对于k>0，T（n，k）=二项式（n-1，k-1）*二项式（n+k，k）/（n+1）；如果n>0，T（0，0）=1和T（n，0）=0。【由Marko Riedel修订，2023年5月4日】

%F总和_｛k>=0｝T（n，k）*2^k=A107841（n）.-_菲利普·德莱姆（Philippe Deléham），2005年5月26日

%F和{k>=0}T（n-k，k）=A005043（n）_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2005年5月30日

%F T（n，k）=A108263（n+k，k）。-_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2005年5月30日

%F和{k=0..n}T（n，k）*x^k=A000007（n），A001003（n）、A107841（n）和A131763（n）的值，A131765（n）与A131846（n）以及A131926（n_菲利普·德雷厄姆，2007年11月5日

%F和{k=0..n}T（n，k）*5^k*（-2）^（n-k）=A152601（n）.-_Philippe Deléham，2008年12月10日

%F和{k=0..n}T（n，k）*（-1）^k*3^（n-k）=A154825（n）.-_Philippe Deléham，2009年1月17日

%F Umbrally，P（n，t）=Lah[n-1，-t*a.]/n！=（1/n）*Sum_{k=1..n-1}二项式（n-2，k-1）a_k t^k/k！，其中（a.）^k=a_k=（n-1+k）/（n-1）！，上升阶乘，Lah（n，t）=n*拉盖尔（n，-1，t）是与-1阶拉盖尔多项式相关的拉赫多项式A008297_汤姆·科普兰，2014年10月4日

%F T（n，k）=二项（n，k）*二项（n+k，k-1）/n，对于k>=0；T（0，0）=1（见克雷韦拉斯，第21页）_Michel Marcus_，2014年11月22日

%F P（n，t）=Lah[n-1，-：Dt:]/n！t^（n-1）与（：Dt:）^k=（d/Dt）^k t^k=k！拉盖尔（k，0，-：tD:），其中（：tD：）^j=t^j D^j。A021009中给出了0阶规范化拉盖尔多项式_汤姆·科普兰，2016年8月22日

%e三角形开始：

%e 1；

%e 0，1；

%e 0、1、2；

%e 0、1、5、5；

%e 0、1、9、21、14；

%e。。。

%t表[Boole[n==2]+如果[#==-1，0，二项式[n-3，#]二项式[n+#-1，#]/（#+1）]&[k-1]，{n，2，12}，{k，0，n-2}]//展平（*在A033282的_Jean-François Alcover_之后，或*）

%t表[If[n==0，1，Binominal[n，k]Binominal[n+k，k-1]/n]，{n，0，10}，{k，0，n}]//Flatten（*_Michael De Vlieger_，2016年8月22日*）

%o（PARI）t（n，k）=如果（n==0，1，二项式（n，k）*二项式的（n+k，k-1）/n）；

%o tabl（nn）={表示（n=0，nn，表示（k=0，n，print1（t（n，k），“，”）；）；}\\米歇尔·马库斯，2014年11月22日

%Y对角线：A000007、A0000012、A0000096、A033275、A033276、A033277、A033278、A033279、A000108、A002054、A002055、A002056、A007160、A033280、A033281。

%Y对角线（A000007除外）也是A033282的对角线。

%Y行总和：A001003（施罗德数）。

%Y参考A033282、A084938。

%Y参见A001003、A008297、A021009、A132081、A133437、A181289。

%K轻松，不，tabl

%0、6

%2003年8月5日，菲律宾

%2019年11月21日，Michael De Vlieger_更正了a（60）中的E Typo