%I#49 2018年5月16日20:00:46

%S 1,1,342971513559149670844665319835342429389528215，

%电话：367889422530425564188856449033364228360862147523250910055785，

%电话：110264570238241604072673394244397290937585028603794409434965299405687292890318033117852067551365311605314534204007110331476946356229327642038684826270670955447

%N广义贝尔数。

%C a（n）发生在玻色子产生和玻色子湮灭算符立方乘积的n次方的正常排序过程中。

%Ca（11）=110264570238241604072673394=约10^26。

%C发件人_Peter Luschny_，2011年3月27日：（开始）

%设B_｛m｝（x）=sum_｛j>=0｝（exp（j！/（j-m）*x-1）/j！）那么a（n）=n！[x^n]taylor（B_{3}（x）），其中[x^n]表示B_{3（x）的taylor级数中x^n的系数。

%C a（n）是A090210的方形数组表示的第3行。（结束）

%H P.Blasiak、K.A.Penson和A.I.Solomon，<A href=“http://arXiv.org/abs/quant-ph/0212072“>玻色子正规序问题与广义贝尔数</a>，arXiv:quant-ph/02120722002。

%H P.Blasiak、K.A.Penson和A.I.Solomon，<A href=“http://www.arXiv.org/abs/quant-ph/0402027“>一般玻色子正态排序问题，arXiv:quant-ph/04020272004。

%H P.Blasiak、K.A.Penson和A.I.Solomon，<A href=“http://dx.doi.org/10.1016/S0375-9601（03）00194-4“>一般玻色子正态排序问题</a>，《物理学报》309（2003）198-205。

%H P.Codara、O.M.D'Antona、P.Hell，<a href=“http://arxiv.org/abs/1208.1700“>某些广义Bell和Stirling数的简单组合解释，arXiv预印本arXiv:1308.1700[cs.DM]，2013。

%H P.Codara、O.M.D'Antona、P.Hell，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2013.11.010“>某些广义贝尔数和斯特林数的简单组合解释，《离散数学》318（2014），53-57。3141626号MR

%H S.-M.Ma，T.Mansour，M.Schork.<a href=“http://arxiv.org/abs/1308.0169“>正常排序问题和Stirling语法的扩展，arXiv预印本arXiv:1308.0169[math.CO]，2013。

%H Toufik Mansour、Matthias Schork和Mark Shattuck，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Schork/schork2.html“>The Generalized Stirling and Bell Numbers Revieved</a>，Journal of Integer Sequences，Vol.15（2012），#12.8.3。

%H K.A.Penson、P.Blasiak、A.Horzela、A.I.Solomon和G.H.E.Duchamp，<A href=“网址：http://arxiv.org/abs/0904.0369“>Laguerre型导数：Dobinski关系和组合恒等式。

%H M.Riedel，<a href=“http://math.stackexchange.com/questions/2165093/“>从n-by-m矩阵中设置唯一元素的分区，其中来自同一行的元素可能不在同一分区中</a>

%H M.Schork，<a href=“http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/36/16/314“>关于正规序玻色算子的组合及其变形，J.Phys.a 36（2003）4651-4665。

%F a（n）=经验（-1）*和{k>=0}（（k+3）！）^n/（（k+3）*（k！）^n），n>=1。这是一个Dobinski型求和公式。

%F a（n）=exp（-1）*Sum_{k>=3}（k*（k-1）*（k-2））^n）/k！，n> =1。通常a（0）：=1。（根据Schork参考的等式（26），r=3；重写了Blasiak等人参考文献中的原始等式（25），r=3。）

%F例如，a（0）：=1：（总和（（exp（k*（k-1）*（k-2）*x））/k！，k=3..无穷大）+5/2）/exp（1）。第4656页顶部，Schork参考文献中r=3。

%p A069223:=进程（n）局部r，s，i；

%p如果n=0，则1其他r:=[seq（4，i=1..n-1）]；s：=[seq（1，i=1..n-1）]；

%p exp（-x）*6^（n-1）*hypergeom（r，s，x）；圆形（evalf（subs（x=1，%），99））fi结束：

%p序列（A069223（n），n=1..15）；#_Peter Luschny_，2011年3月30日

%tf[n_]：=f[n]=和[（k+3）！^n/（（k+3）！*（k！^n）*E），{k，0，无穷}]；表[f[n]，{n，1，9}]

%t a[n_]：=（*A078741*的行和）sum[（-1）^k*sum[（-1）^p*（（p-2）*（p-1）*p）^n*二项[k，p]，{p，3，k}]/k！，{k，3，3n}]；阵列[a，15]（*_Jean-François Alcover_，2015年9月1日*）

%o（PARI）默认值（realprecision，500）；对于（n=0，20，print1）（如果（n=0，1，round（exp（-1）*sum（k=0，500，（（k+3）！）^无（（k+3）*（k！）^n）），“，”））\\_G.C.Greubel_，2018年5月15日

%Y如果k+3分别被k+1或k+2取代，请参考A000110和A020556。

%Y参考A090210。

%K nonn，简单

%0、3

%A _Karol A.Penson，2002年4月12日

%E编辑：Robert G.Wilson v_，2002年4月30日

%E a（0）=1，由_Alois P.Heinz于2016年8月1日编制