%我#132 2024年3月29日06:44:20

%S 1,1,2,2,1,4,5,3,1,9,12,9,4,1,21,30,25,14,5,1,51,76,69,44,20,6,1，

%电话：127196189133,70,27,7,1323512518392230104,35,8,18351353，

%电话：14221140726369147,44,9,1218836103915328822351242560200,54,10,1

%N三角形T（N，k），0<=k<=N，按行读取，定义为：T（0,0）=1，如果N<k，T（N、k）=T（N-1，k-1）+T。

%C按相反顺序读取莫茨金三角形。

%C T（n，k）=从（0,0）到（n，k）的晶格路径数，弱位于x轴上方，由步骤U=（1,1），D=（1，-1）和H=（1,0）组成。例如：T（3,1）=5，因为我们有HHU、UDU、HUH、UHH和UUD。第0、1、2和3列分别给出A001006（莫茨金数）、A002026（莫茨金数的第一个差异）、A005322和A005323_Emeric Deutsch，2004年2月29日

%C Riordan数组（（1-x-sqrt（1-2x-3x^2））/（2x^2”，（1-x-sqlt（1-2x-3x^3））/“（2x）”）。反向是数组（1/（1+x+x^2），x/（1+x+x^2））（A104562）。-_Paul Barry_，2005年3月15日

%C应用于A039598的二项式逆矩阵_菲利普·德雷厄姆，2007年2月28日

%C三角形T（n，k），0<=k<=n，由以下给定的行读取：T（0,0）=1，如果k<0或如果k>n，T（n、0）=T（n-1,0）+T（n-1，1），T（k，n）=T_菲利普·德雷厄姆，2007年3月27日

%C该三角形属于定义为：T（0,0）=1，T（n，k）=0，如果k<0或如果k>n，T。为（x，y）选择不同的值时会产生其他三角形：（0,0）->A053121；（0,1）->A089942；（0,2）->A126093；（0,3）->A126970；（1,0）->A061554；（1，1）->A064189；（1、2）->A039599；（1,3）->A110877；（1,4）->A124576；（2,0）->A126075；（2,1）->A038622；（2,2）->A039598；（2,3）->A124733；（2，4）->A124575；（3,0）->A126953；（3,1）->A126954；（3,2）->A111418；（3,3）->A091965；（3,4）->A124574；（4,3）->A126791；（4,4）->A052179；（4,5）->A126331；（5,5）->A125906.-_菲利普·德雷厄姆，2007年9月25日

%C等于三角形A053121的二项式变换_Gary W.Adamson_，2008年10月25日

%C考虑一个半无限的棋盘，棋盘上有标记为（n，k）的正方形，列或列n>=0，文件或列k>=0；长度n从（0,0）到（n，k），0<=k<=n的主通道数为T（n，k）。上述循环关系与国王的运动有关。这基本上是哈里·格隆迪亚斯（Harrie Grondijs）对莫茨金三角A026300的评论_Johannes W.Meijer，2010年10月10日

%D更多参考和其他信息，请参见A026300。

%D E.Barccci、R.Pinzani和R.Sprugnoli，莫茨金家族，P.U.M.A.Ser。A、 第2卷，1991年，第3-4期，第249-279页。

%H G.C.Greubel，<a href=“/A064189/b064189.txt”>前50行的n，a（n）表，扁平化</a>

%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL26/Barry/barry601.html“>关于Motzkin-Schröder路径、Riordan阵列和Somos-4序列，J.Int.Seq.（2023）第26卷，第23.4.7条。

%H Paul Barry，<a href=“https://arxiv.org/abs/2307.00098“>矩序列、变换和蜘蛛网图，arXiv:2307.00098[math.CO]，2023。

%H I.Dolinka、J.East、A.Evangelou、D.FitzGerald和N.Ham，<A href=“http://arxiv.org/abs/1507.04838“>Motzkin和Jones Monoids的幂等统计</a>，arXiv预印本arXiv:1507.04838[math.CO]，2015。

%H I.Dolinka、J.East和R.D.Gray，<a href=“http://arxiv.org/abs/1512.02279“>Motzkin幺半群和部分Brauer幺半群，arXiv预印本arXiv:1512.02279[math.GR]，2015。

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%H IvanaĐur ddoev、Igor Dolinka和James East，<a href=“https://arxiv.org/abs/1910.10286“>图范畴中的三明治半群，arXiv:1910.10286[math.GR]，2019。

%H Samuele Giraudo，<a href=“https://arxiv.org/abs/1903.00677“>语法树中的树序列和模式避免</a>，arXiv:1903.00677[math.CO]，2019。

%H Tom Halverson和Theodore N.Jacobson，<a href=“https://arxiv.org/abs/1808.08118“>Set-partition tableaux and representations of diagram algebras，arXiv:1808.08118[math.RT]，2018年。

%H Donatella Merlini和Massimo Nocentini，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL21/Merlini/merlini5.html“>语言避免Riordan模式的代数生成函数</a>，整数序列杂志，第21卷（2018年），第18.1.3条。

%H R.Pemantle和M.C.Wilson，<a href=“http://dx.doi.org/10.1137/050643866“>20个从多元生成函数导出的渐近组合示例，SIAM Rev.，50（2008），no.2，199-272。见第265页。

%H Sheng Liang Yang、Yan Ni Dong和Tian Xiao He，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2017.07.006“>有色Motzkin路径上的一些矩阵恒等式</a>，《离散数学》340.12（2017）：3081-3091。

%H Sheng Liang Yang和Yuan Yuan Gao，<a href=“https://www.fq.math.ca/Papers1/56-4/yanggao1032018.pdf“>Pascal菱形和Riordan阵列，Fib.Q.，56:4（2018），337-347。见图3。

%F总和_｛k=0..n｝T（n，k）*（k+1）=3^n。

%F和{k=0..n}T（n，k）*T（n、n-k）=T（2*n，n）-T（2*m，n+2）

%F G.F.：M/（1-t*z*M），其中M=1+z*M+z^2*M^2是Motzkin数（A001006）的G.F_Emeric Deutsch，2004年2月29日

%F和{k>=0}T（m，k）*T（n，k）=A001006（m+n）_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2004年3月5日

%F和{k>=0}T（n-k，k）=A005043（n+2）_菲利普·德莱姆（Philippe Deléham），2005年5月31日

%F列k具有例如F.exp（x）*（贝塞尔I（k，2*x）-BesselI（k+2.2*x））_保罗·巴里（Paul Barry），2006年2月16日

%F T（n，k）=Sum_{j=0..n}C（n，j）*（C（n-j，j+k）-C（n-j，j+k+2））。-_保罗·巴里（Paul Barry），2006年2月16日

%F第n行由M^n*V生成，其中M=无限三对角矩阵，所有1都在上、主、次对角中；V=无限向量[1,0,0,0，…]。例如，第3行=（4，5，3，1），因为M^3*V=[4，5,3，1，0，0，…]_加里·亚当森，2006年11月4日

%F T（n，k）=A122896（n+1，k+1）_Philippe Deléham，2007年4月21日

%F T（n，k）=（k/n）*Sum_{j=0..n}二项式（n，j）*Binominal（j，2*j-n-k）.-_弗拉基米尔·克鲁奇宁，2011年2月12日

%F总和{k=0..n}T（n，k）*（-1）^k*（k+1）=（-1）

%F总和{k=0..n}T（n，k）*（k+1）^3=（2*n+1）*3^n.-Werner Schulte，2015年7月8日

%F G.F:2/（1-x+平方（1-2*x-3*x^2）-2*x*y）=Sum_{n>=k>=0}T（n，k）*x^n*y^k.-Michael Somos_，2016年6月6日

%F T（n，k）=二项式（n，k）*超几何（[（k-n）/2，（k-n+1）/2]，[k+2]，4）_Peter Luschny_，2021年5月19日

%函数（1-x^2）*（1+x+x^2_Peter Bala_，2022年9月6日

%e三角形开始：

%e[0]1；

%e[1]1，1；

%e[2]2，2，1；

%e[3]4，5，3，1；

%e[4]9，12，9，4，1；

%e[5]第21、30、25、14、5、1页；

%e[6]第51、76、69、44、20、6、1页；

%e[7]第127、196、189、133、70、27、7、1页；

%电子[8]323、512、518、392、230、104、35、8、1；

%电子[9]835、1353、1422、1140、726、369、147、44、9、1。

%e、。

%e摘自2011年11月4日的《菲利普·德雷厄姆》：（开始）

%e生产矩阵开始：

%e 1，1

%e 1、1、1

%e 0、1、1和1

%e 0，0，1，1，1

%e 0,0,0,1,1

%e 0,0,00,1,1（结束）

%p别名（C=二项式）：A064189:=（n，k）->add（C（n，j）*（C（n-j，j+k）-C（n-j、j+k+2）），j=0..n）：seq（seq（A064189（n，k），k=0..n），n=0..10）；#_Peter Luschny_，2019年12月31日

%p#使用A357368的函数PMatrix。在上面添加一行，在左边添加一列。

%p矩阵（10，n->简化（超几何（[1-n/2，-n/2+1/2]，[2]，4））；#_Peter Luschny_，2022年10月8日

%tT[0,0，x_，y_]：=1；T[n，0，x_，y]：=x*T[n-1，0，x，y]+T[n-1，1，x，y]；T[n_，k_，x_，y]：=T[n，k，x，y]=如果[k<0||k>n，0，T[n-1，k-1，x，y]+y*T[n-1，k，x，y]+T[n-l，k+1，x，y]]；表[T[n，k，1，1]，{n，0，10}，{k，0，n}]//扁平（*_G.C.Greubel_，2017年4月21日*）

%tT[n_，k_]：=二项式[n，k]超几何2F1[（k-n）/2，（k-n+1）/2，k+2，4]；

%t表[t[n，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//扁平（*_Peter Luschny_，2021年5月19日*）

%o（鼠尾草）

%o定义A064189_三角凝胶（dim）：

%o M=矩阵（ZZ，dim，dim）

%范围内n的o（dim）：M[n，n]=1

%o表示n in（1..dim-1）：

%对于k in（0..n-1）：

%o M[n，k]=M[n-1，k-1]+M[n-1，k]+M[n-1，k+1]

%o返回M

%o A064189_triangel（9）#_Peter Luschny_，2012年9月20日

%o（PARI）{T（n，k）=如果（k<0||k>n，0，polcoeff（polcoeff（2/（1-x+sqrt（1-2*x-3*x^2）-2*x*y）+x*o（x^n），n），k））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2016年6月6日*/

%Y A026300（此序列的主条目），行反转。

%Y参见A001006、A002026、A005322、A005312、A053121。

%Y行总和为：A005773（n+1）或A307789（n+2）。

%K nonn，简单，tabl

%0、4

%A _N.J.A.Sloane，2001年9月21日

%E更多条款摘自_Vladeta Jovovic，2001年9月23日