%I#83 2023年2月22日05:31:51

%S 0,1,1,2,3,5,6,10,13,19,25,35,45,62,80106136178225291366466，

%电话58373591211401407174321402634321439324776580770228495，

%电话1022512313147621762626211362300357224236750216593687013882665

%N具有正秩的N个分区的数目。

%分区的秩是最大和减去和数。

%C还有n个负秩分区的数量_Omar E.Pol_，2012年3月5日

%A208478第1列_Omar E.Pol_，2012年3月11日

%C分区数p of n，使得max（max（p），parts of p）不属于p的一部分。-Clark Kimberling_，2014年2月28日

%C序列枚举每个数n的正秩分区的半群。该半群是二元运算“*”下非负秩分区幺半群的子半群：设a是正秩分划（a1，…，ak），其中ak>k，设B=（b1，…bj），其中bj>j。然后让A*B是分区（a1b1，…，a1bj，…，akb1，..，akbj），它的akbj>kj，因此具有正秩。例如，9的分区（2,3,4）的秩为1，其与自身的乘积为81的（4,6,6,8,8,9,12,12,16），其秩为7。对于负秩划分，也存在类似的情况——它们是非正秩划分的幺半群的子半群_理查德·洛克·彼得森（Richard Locke Peterson），2018年7月15日

%H Alois P.Heinz，n的表格，n=1..10000的a（n）</a>

%H F.J.戴森，<a href=“https://archim.org.uk/eureka/archive/eureka-8.pdf“>分区理论中的一些猜测，Eureka（Cambridge）8（1944），10-15。

%H FindStat，<a href=“http://www.findstat.org/StatisticsDatabase/St000145“>St000145:分区的戴森秩</a>

%H Mircea Merca，<a href=“https://arxiv.org/abs/2006.07705“>秩配分函数和截断θ恒等式</a>，arXiv:2006.07705[math.CO]，2020。

%F a（n）=（A000041（n）-A047993（n））/2。

%F a（n）=p（n-2）-p（n-7）+p（n-15）-…-（-1）^k*p（n-（3*k^2+k）/2）+。。。，其中p（）是A000041（）_Vladeta Jovovic_，2004年8月4日

%F G.F.：乘积_｛k>=1｝（1/（1-q^k））*总和_｛k>=1｝（（-1）^k*（-q^（3*k^2/2+k/2））（推测）。-_Thomas Baruchel，2018年5月12日

%F G.F.：和{k>=1}x^k*积{j=1..k}（1-x^（k+j-2）/（1-x*j）.-_Seiichi Manyama，2022年1月25日

%F a（n）+A064174（n）=A000041（n）_R.J.Mathar，2023年2月22日

%e a（20）=p（18）-p（13）+p（5）=385-101+7=291。

%e来自Gus Wiseman2021年2月9日：（开始）

%e a（2）=1到a（9）=13个正秩分区：

%e（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）

%e（31）（32）（33）（43）（44）（54）

%e（41）（42）（52）（53）（63）

%e（51）（61）（62）（72）

%e（411）（421）（71）（81）

%e（511）（422）（432）

%e（431）（441）

%e（521）（522）

%e（611）（531）

%e（5111）（621）

%e（711）

%e（5211）

%e（6111）

%e（结束）

%p with（组合）：对于从1到30的n do p:=分区（n）：c:=0:对于从1至nops（p）的j do，如果p[j][nops（p[j]）]>nops（p[j]_Emeric Deutsch，2004年12月11日

%t表[Count[IntegerPartitions[n]，q_/；首个[q]>长度[q]]，{n，24}]（*_百灵鸟金伯利，2014年2月12日*）

%t表格[Count[Integer Partitions[n]，p_/！MemberQ[p，Max[Max[p]，Length[p]]]，{n，20}]（*_百灵鸟金伯利，2014年2月28日*）

%t P=分区P；

%t a[n]：=（P[n]-和[-（-1）^k（P[n-（3k^2-k）/2]-P[n-（3k^2+k）/2]），{k，1，楼层[（1+Sqrt[1+24n]）/6]}]）/2；

%t a/@Range[48]（*_Jean-François Alcover_，2020年1月11日，在A047993中的_Wouter Meeussen_之后*）

%o（PARI）我的（N=66，x='x+o（'x^N））；concat（0，Vec（总和（k=1，N，x^k*prod（j=1，k，（1-x^（k+j-2））/（1-x*j））））

%Y注：A-排名序列的数字在下面的括号中。

%Y负秩版本也是A064173（A340788）。

%Y奇数正秩的情况是A101707（A340604）。

%Y偶数正秩的情况是A101708（A340605）。

%Y这些分区按（A340787）排序。

%Y A063995/A105806按级别计数分区。

%Y A072233按总和和长度计算分区数。

%Y A168659统计长度是最大部分的倍数的分区。

%Y A200750统计长度和最大部分为互质的分区。

%Y-排名-

%Y A064174统计非负/非正秩的分区（A324562/A324521）。

%Y A101198统计等级为1的分区（A325233）。

%Y A257541给出了Heinz数为n的分区的秩。

%Y A340601统计偶数秩的分区（A340602）。

%Y A340692统计奇数秩的分区（A340603）。

%Y-余额-

%Y A047993统计平衡分区（A106529）。

%Y A340599计算了备用因子分解。

%Y A340653统计平衡因子分解。

%Y参见A003114、A006141、A039900、A096401、A117193、A117409、A143773、A324516、A3245120。

%K nonn公司

%O 1,4型

%2001年9月19日，A_Vladeta Jovovic_