%I#63 2021年1月10日11:16:23

%S 1,1,2,10,65442302620737142130974170667705745765226313679522，

%电话：2149991425147362604501010038317226922905616014745030099482，

%电话：325229201347702229154108439051527884955772562104722927956402671778070001175617491974210728665290

%N a（1）=1；a（n+1）=和{k=1..n}1/a（k）中分子和分母的乘积。

%C定义中的分子和分母没有大于1的公约数。

%C也是埃及分数系统中连续斐波那契数比的分母：1/2=1/2，3/5=1/2+1/10，8/13=1/2+1/1/10+1/65，21/34=1/2+1+1/10+1/65+1/442等（Rossi和Tout）_Barry Cipra，2002年6月6日

%C a（n）-1是一个正方形_Sture Sjöstedt，2011年11月4日

%C From _Wolfdieter Lang，2020年5月26日：（开始）

%C倒数的部分和：Sum_{k=1..n}1/a（k）等于1（n=1），F（2*n-1）/F（2*n-3）（n=2），其中F=A000045。归纳法证明。因此，当n=1时，a（n）=1，当n>=2时，F（2*n-3）*F（2xn-5），其中F（-1）=1（gcd（F（n），F（n+1）=1）。请参阅_Barry Cipra_的评论。

%C因此，对于n=1，a（n）=1，以及对于n>=2，a。请参阅_Sture Sjöstedt_注释。

%C从A049684得到的{f（2*n）^2}的已知G.f.引出了下面的R.J.Mathar_的猜想公式，这也证明了这里给出的递归性。。

%C根据部分和，级数Sum_{k>=1}1/a（k）收敛到1+phi，其中phi=A001622。请参阅下面的_Gary W.Adamson_和_Diego Rattaggi_的公式。（结束）

%D S.Vajda，Fibonacci&Lucas Numbers，以及黄金分割，Ellis Horwood Ltd.，奇切斯特，1989年。

%H Michael De Vlieger，n表，n=1..1199的a（n）</a>

%H Christian Aebi和Grant Cairns，<a href=“https://arxiv.org/abs/2006.07566“>格型等式并行图，arXiv:2006.07566[math.NT]，2020。

%H Hacène Belbachir、Soumeya Merwa Tebtoub和LászlóNémeth，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL23/Nemeth/nemeth7.html“>椭圆链和相关序列，J.Int.Seq.，第23卷（2020年），第20.8.5条。

%H Giovanni Lucca，<a href=“http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG2016 volume16.pdf#page=423“>对称透镜和整数序列中内接的圆链，《几何论坛》，第16卷（2016）419-427。

%H C.Rossi和C.A.Tout，<A href=“http://dx.doi.org/10.1006/hmat.2001.2334“>斐波那契级数和黄金分割在古埃及已知吗？</a>，Historia Mathematica，第29卷（2002），101-113。

%H<a href=“/index/Rec#order_03”>具有常数的线性重复出现的索引条目，签名（8，-8,1）。

%F a（n）=斐波那契（2*n-5）*Fibonacci（2*n-3），对于n>=3.-_Barry Cipra_，2002年6月6日

%F和{n>=3}1/a（n）=2/（1+sqrt（5））=φ-1，其中φ=A001622_Gary W.Adamson_，2003年6月7日

%F猜想：a（n）=8*a（n-1）-8*a（n-2）+a（n-3），n>4。G.f.:-x*（2*x^2+x^3-7*x+1）/（（x-1）*（x^2-7*x/1））_R.J.Mathar_，2009年7月3日[有关证据，请参阅上述W.Lang评论。]

%F a（n+1）=（A005248（n）^2-A001906（n）*2）/4，对于n=>0.-_Richard R.Forberg_，2013年9月5日

%F From _Diego Rattaggi，2020年4月21日：（开始）

%当n>1时，F a（n）=1+A049684（n-2）。

%F总和{n>=2}1/a（n）=φ=（1+sqrt（5））/2=A001622。

%F和{n>=1}1/a（n）=φ^2=1+φ。（结束）[有关证据，请参阅上面的注释]

%Fa（n）=F（2*n-3）*F（2*n-5）=1+F（2*（n-2））^2，对于n>=2，F（-1）=1。请参阅上述W.Lang评论_Wolfdieter Lang，2020年5月26日

%e 1/a（1）+1/a（2）+1/1（3）+1/a（4）=1+1+1/2+1/10=13/5。所以a（5）=13*5=65。

%t A064170[1]：=1；A064170[n_]：=A064170[n]=模块[{temp=Sum[1/A064170[i]，{i，n-1}]}，分子[temp]分母[temp]]；表[A064170[n]，{n，20}]（*_Alonso del Arte_，2013年9月5日*）

%t加入[{1}，线性递归[{8，-8，1}、{1，2，10}，23]]（*_Jean-François Alcover_，2017年9月22日*）

%Y参考A000045、A059929、A058038。

%Y参考A033890（第一个差异）_R.J.Mathar，2009年7月3日

%Y参考A001906、A001622。

%K nonn，简单

%氧1,3

%A _罗伊查询，2001年9月19日