%I#87 2023年2月10日11:53:26

%S 1,0,2、-1,0,4,0、-4,0,8,1,0、-12,0,16,0,6,0、-32,0,32,0、-1,2,24,0、-80,0,64、，

%温度0，-8,0,80,0，-192,0128,1,0，-40,0240.0，-448,0256,0,10,0，-160,0672，

%U 0，-1024,0512，-1,0,60,0，-560,01792,0，-2304,01024,0，-12,0280,0，-1792,04608.0，-5120,02048,1,0，-84,01120,0，-5376,011520,0，-11264,04096

%N由切比雪夫U（N，x）多项式的系数行读取的三角形（指数按递增顺序）。

%行多项式U（n，x）（有符号三角形）的C G.f.：1/（1-2*x*z+z^2）。无符号三角形|a（n，m）|具有斐波那契多项式F（n+1,2*x），作为带有g.F.1/（1-2*x*zz^2）的行多项式。

%C行总和（无符号三角形）A000129（n+1）（Pell）。行总和（有符号三角形）A000027（n+1）（自然数）。

%C勒让德多项式L（n，x）的o.g.f.是1/sqrt（1-2x*z+z^2），将其平方得到该项的o.g.f.，因此Sum_{k=0..n}L（k，x）L（n-k，x）=U（n，x）。对于n个偶数，这可简化为U（n，x）=L（n/2，x）^2+2*Sum_{k=0…n/2-1}L（k，x）L（n-k，x。关于规范化勒让德多项式，请参见A100258。（参见A097610，h1=-2x，h2=1，A207538，A099089和A133156。）-托姆科普兰，2016年2月4日

%C本条目不同符号行多项式的移位o.g.f.x/（1+2xz+z^2）的合成逆是A121448的移位o.g.f。这个三角形的无符号非消失反对偶（从上到下）是A038207行_汤姆·科普兰，2016年2月8日

%D Theodore J.Rivlin，Chebyshev多项式：从近似理论到代数和数论，2。编辑，威利，纽约，1990年。

%H T.D.Noe，<a href=“/A05317/b053117.txt”>三角形的行n=0..100，扁平</a>

%H J.-P.Allouche和G.Skordev，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/S0012-365X（99）00195-8“>Schur同余，多项式的Carlitz序列和自动性，《离散数学》，第214卷，第1-3期，2000年3月21日，第21-49页。

%H Paul Barry和A.Hennessy，<A href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Barry5/barry96s.html“>Riordan数组和相关整数序列的Meixner-Type结果，J.Int.Seq.13（2010）#10.9.4，第5节。

%H P.Damianou，<a href=“http://arxiv.org/abs/1110.6620“>关于Cartan矩阵和Chebyshev多项式的特征多项式

%H Aoife轩尼诗，<a href=“http://repository.wit.ie/1693/1/AoifeThesses.pdf“>《Riordan阵列及其在连分式、正交多项式和格路径中的应用研究》，沃特福德理工学院博士论文，2011年10月。

%H数学溢出，<a href=“http://mathoflorow.net/questions/85297/geometric-picture-of-font-invariat-differential-of-an-elliptic-serve“>椭圆曲线不变微分的几何图，2011年12月4日。

%H Valentin Ovsienko，<a href=“https://arxiv.org/abs/2103.10800“>朝向量化复数：q变形高斯整数和Picard群，arXiv:2103.10800[math.QA]，2021。

%H R.Pemantle和M.C.Wilson，<a href=“http://arXiv.org/abs/math.CO/0003192“>多元序列的渐近性，I：奇异簇的光滑点</a>，arXiv:math/0003192[math.CO]，2000。

%H A.Sapounakis、I.Tasoulas和P.Tsikouras，<A href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2007.03.005“>计算Dyck路径中的字符串</a>，《离散数学》，307（2007），2909-2924。

%与切比雪夫多项式相关的序列的索引项</a>

%F a（n，m）=（2^m）*A049310（n，m）。

%F a（n，m）：如果n<m或n+m奇数，则=0，否则（（-1）^（（n+m）/2+m））*（2^m）*二项式（（n+m）/2，m）；a（n，m）=-a（n-2，m）+2*a（n-1，m-1），a（n、-1）：=0=：a（-1，m），a，（0，0）=1，a（n，m）=0，如果n<m或n+m奇数；第m列（带符号三角形）的G.f:（1/（1+x^2）^（m+1））*（2*x）^ m。

%F如果n和k具有相同的奇偶校验，则a（n，k）=（-1）^（（n-k）/2）*和（二项式（（n+k）/2，i）*二项式_米兰Janjic_，2008年4月13日

%e三角形开始：

%e 1；

%e 0，2；

%e-1、0、4；

%e 0，-4，0，8；

%e 1，0，-12，0，16；

%e。。。

%例如，第四行（n=3）{0，-4,0,8}对应于多项式U（3，x）=-4*x+8*x^3。

%p seq（seq（系数[U]（n，x），x，j），j=0..n），n=0..16）；#_罗伯特·伊斯雷尔（Robert Israel），2016年2月9日

%t压扁[表[系数列表[ChebyshevU[n，x]，x]、{n，0，12}]]（*Jean-François Alcover_，2011年11月24日*）

%o（PARI）T（n，k）=polceoff（polchebyshev（n，2），k）；\\_米歇尔·马库斯（Michel Marcus），2016年2月10日

%o（朱莉娅）

%o使用Nemo

%o函数A053117Row（n）

%o R，x=多项式环（ZZ，“x”）

%o p=切比雪夫u（n，x）

%o[0中j的系数（p，j）：n]结束

%o在0:6 A053117Row（n）中代表n |>println end#_Peter Luschny_，2018年3月13日

%Y参考A000027、A000129、A049310、A053118。

%Y参见A038207、A097610、A099089、A100258、A121448、A133156、A207538。

%放松，好，签名，小桌，看

%0、3

%嗅觉障碍者Lang（_W）_