%I#343 2024年3月22日08:43:40

%S 1,0,1、-1,0,1.0、-2,0,1,0、-3,0,10,3,0、-4,0,1，-1,0,6,0、-5,0,1.00、-4,0，

%温度10,0，-6,0,1,1,0，-10,0,15,0，-7,0,1,0,0,0，-20,021,0，-8,0,1，-1,0,15.00，

%U-35,0,28,0、-9,0,1,0、-6,0,35,0、-56,0,36,0、-10,0,1,1,0，-21,0,70,0、-84,0

%N切比雪夫s（N，x）系数三角：=U（N，x/2）多项式（指数按递增顺序）。

%行多项式S（n，x）（有符号三角形）的C G.f.：1/（1-x*z+z^2）。无符号三角形|a（n，m）|具有Fibonacci多项式F（n+1，x）作为具有g.F.1/（1-x*z-z^2）的行多项式|a（n，m）|triangle在偶数对角线中有一行Pascal三角形A007318（奇数的只有0）。

%C行总和（无符号三角形）A000045（n+1）（斐波那契）。行和（有符号三角形）S（n，1）序列=周期（1,1,0，-1，-1,0）=A010892。

%C交替行总和A049347（n）=S（n，-1）=周期（1，-1,0）。-_Wolfdieter Lang，2011年11月4日

%C S（n，x）是n路邻接矩阵的特征多项式_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2002年6月24日

%C S（n，x）也是n路的匹配多项式_Eric W.Weisstein_，2017年4月10日

%C|T（n，k）|=n+1到k+1奇数部分的组成数。例如：|T（7,3）|=10，因为我们有（1,1,3,3）、（1,3,1,3），（1,3,3,1）、（3,1,1,3_Emeric Deutsch，2005年4月9日

%CS（n，x）=R（n，x）+S（n-2，x），n>=2，S（-1，x）=0，S（0，x）=1，R（n、x）：=2*T（n，x/2）=和{m=0..n}A127672（n，m）*x^m（一元整数切比雪夫T多项式）。这就是T多项式的转移矩阵公式的重写轨迹_Wolfdieter Lang，2010年12月2日

%C在内接于单位圆的正N边中，边长为d（N，1）=2*sin（Pi/N）。第（k-1）对角线的长度比R（N，k）：=d（N，k）/d（N，1），其中k来自{2,3，…，floor（N/2）}，N>=4，等于S（k-1，x）=sin（k*Pi/N）/sin（Pi/N。例如：N=7（七边形），rho=R（7,2），sigma:=R（N，3）=S（2，rho）=rho^2-1。受P.Steinbach引用论文的启发_Wolfdieter Lang，2010年12月2日

%C摘自Wolfdieter Lang，2011年7月12日：（开始）

%C在q或基本分析中，q数为[n]_q:=S（n-1，q+1/q）=（q^n-（1/q）^n}）/（q-1/q），行多项式为S（n，x），n>=0。

%C行多项式S（n-1，x）的零点为（来自切比雪夫U多项式的零点）：

%C x（n-1；k）=+-t（k，rho（n）），k=1..上限（（n-1）/2），n>=2，其中t（n，x）是A127672的行多项式，ρ（n）：=2*cos（Pi/n）。偶数n的简单零消失在这里显示为+0和-0。

%C行多项式S（n-1，x），x>=1的因式分解，根据cos（2 Pi/2）的最小多项式，称为Psi（n，x）。系数由A181875/A181876给出：

%CS（n-1，x）=（2^（n-1））*乘积{n>=1}（Psi（d，x/2），2<d|2n）。

%C（摘自根据A181872给出的Watkins和Zeitlin参考文献的重写公式（3）。）[参见W.Lang ArXiv链接，命题9，公式（62）.-_Wolfdieter Lang，2018年4月14日]

%C（结束）

%C S（n，x）多项式的判别式见A127670_Wolfdieter Lang_，2011年8月3日

%C这是Riordan卷积数组（下三角矩阵）的一个子类Bell数组的示例。参见A007318下的L.W.Shapiro等人参考。如果Riordan数组以F（z）=z*Fhat（z）命名（G（z），F（z。对于当前的贝尔型三角形G（z）=1/（1+z^2）（参见上述o.G.f.注释）。这导致第k列的o.g.f.，k>=0，x^k/（1+x^2）^（k+1）（见公式部分），行总和和交替行总和的o.g.（见上文注释）。Riordan（Bell）A-和Z-序列（在A006232下的W.Lang链接中定义，带有参考）具有o.g.f.s 1-x*c（x^2）和-x*c。它们共同导致公式部分给出的复发。-_Wolfdieter Lang，2011年11月4日

%C N x N矩阵S（N，[x[1]，…，x[N]]）与元素S（m-1，x[N]）的行列式，对于N，m=1，2。。。，N、 对于任何x[N]，与V（N，[x[1]，…，x[N]]）的行列式和元素x[N]^（m-1）（Vandermondian，等于Product_{1<=i<j<=N}（x[j]-x[i]））相同。这是一个对任意N>=1和任意一元多项式系统p（m，x），m>=0有效的定理的特殊例子，其中p（0，x）=1。关于这个定理，请参阅Vein-Dale参考，第59页。感谢L.Edson Jeffery发送电子邮件，要求证明矩阵S（N，[x[1]，……，x[N]]）的非奇异性，当且仅当x[j]，j=1..N成对区分时_Wolfdieter Lang，2013年8月26日

%这些S多项式也出现在模形式的上下文中。对于每个素数p和正整数n，作用于模形式权重k的重标Hecke算子T*_n=n^（（1-k）/2）*T_n满足T*_（p^n）=S（n，T*_p）。参见Koecher-Krieg参考文献，第223页_Wolfdieter Lang，2016年1月22日

%C关于移位的o.g.f.（mod符号）、其组成逆，以及与Motzkin和Fibonacci多项式、非交叉分区和其他组合结构的连接，请参见A097610.-_汤姆·科普兰，2016年1月23日

%C摘自M.Sinan Kul_，2016年1月30日；2016年1月31日和2016年2月1日，沃尔夫迪特·朗编辑：（开始）

%C由于Cassini-Simson恒等式：S（n，x）^2-S（n+1，x）*S（n-1，x）=1，在使用S-递推后，Diophantine方程u^2+v^2-k*u*v=1对整数k的解由（u（k，n），v（k，n））=（S（n、k），S（n-1，k））给出。注意，S（-n，x）=-S（-n-2，x），n>=1，以及一些S（n，k）序列的周期性。

%因此，获得行多项式的另一种方法是取矩阵[x，-1；1,0]的幂：S（n，x）=（（[x，-1；1，0]）^n）[1,1]，n>=0。

%C另请参阅2016年2月1日对A115139的评论，了解著名的S（n，x）和公式。

%C那么我们有了现在的T三角形

%C A039834（n）=-i^（n+1）*T（n-1，k），其中i是虚单位，n>=0。

%C A051286（n）=总和{i=0..n}T（n，i）^2，

%C A181545（n）=总和{i=0..n+1}abs（T（n，i）^3），

%C A181546（n）=和{i=0..n+1}T（n，i）^4，

%C A181547（n）=总和{i=0..n+1}abs（T（n，i）^5）。

%C S（n，0）=A056594（n），对于k=1..10，偏移量n=0的序列S（n-1，k）为A128834、A001477、A001906、A001353、A004254、A001109、A004187、A001090、A018913、A004189。

%C（结束）

%有关Kul提出的丢番图方程的更多信息，请参阅伊斯梅尔论文_汤姆·科普兰，2016年1月31日

%C勒让德多项式L（n，x）的o.g.f.是1/sqrt（1-2x*z+z^2），平方它得到U（n，x）的o.f.，A053117，所以求和{k=0..n}L（k，x/2）L（n-k，x/2）=S（n，y）。对于n个偶数，这给出了S（n，x）=L（n/2，x/2）^2+2*Sum_{k=0..n/2-1}L（k，x/2，）L（n-k，x/2），对于奇数n，则给出了S。关于规范化勒让德多项式，请参见A100258。关于其他属性以及与其他多项式的关系，请参见Allouche等人-Tom Copeland_，2016年2月4日

%C LG（x，h1，h2）=-log（1-h1*x+h2*x^2）=Sum_{n>0}F（n，-h1，h2,0，..，0）x^n/n是A127672（0,0）=0的二元行多项式的对数序列生成器，其中F（n、b1、b2、..，bn）是A263916的Faber多项式。Exp（LG（x，h1，h2））=1/（1-h1*x+h2*x^2）是该条目的二元行多项式的o.g.f.。-_Tom Copeland，2016年2月15日（本条目的双变量o.g.f.实例见Sunada.-Tom Copeland_，2021年1月18日）

%C对于不同的奇素数p和q，勒让德符号可以写成勒让德（q，p）=Product_{k=1..p}S（q-1，2*cos（2*Pi*k/p）），其中p=（p-1）/2。参见第236页的Lemmermeyer参考文献，等式（8.1）。使用S（q-1，x）的零（见上文），可以得到S（q-1,x）=Product_{l=1..q}（x^2-（2*cos（Pi*l/q））^2），其中q=（q-1）/2。因此S（q-1，2*cos（2*Pi*k/p））=（（-4）^q）*Product_{l=1..q}。关于最后一个等式的证明，见W.Lang对n=Q和明显函数f的三角形A057059的评论。这导致了Eisenstein对二次互易定律Legendre（Q，p）=（-1）^（p*Q））*Legendre*（p，Q）的证明，参见Lemmermeyer参考，第236-237页_Wolfdieter Lang_，2016年8月28日

%C对于广义斐波那契多项式的连接，请将Amdeberhan等人链接第5页上的生成函数与本条目的二元行多项式的上述o.g.f.进行比较_汤姆·科普兰，2017年1月8日

%C素数幂的Ramanujanτ函数（见A000594）的公式是τ（p^k）=p^（11*k/2）*s（k，p^，（-11/2）*tau（p）），k>=1，p=A000040（n），n>=1。参见哈代参考文献，第164页，等式（10.3.4）和（10.3.6），根据S.-Wolfdieter Lang改写，2017年1月27日

%C From_Wolfdieter Lang_，2017年5月8日：（开始）

%C对于偶数n>=0，S（n，x）多项式在开区间（-1，+1）中的零点数Z（n）为2*b（n），对于奇数n>=1，则为1+2*b（n），其中b（n”）=floor（n/2）-floor（（n+1）/3）。b（n）是区间（n+1）/3<k<=floor（n/2）中整数k的数量。见上文S（n，x）的零点注释，b（n）=A008615（n-2），n>=0。2017年3月，_Michel Lagneau提出了数字Z（n）（以及与A008611相关的一个猜想），作为虚轴（-I，+I）上Fibonacci多项式的零点数，I=sqrt（-1）。它们是Z（n）=A008611（n-1），n>=0，A00861l（-1）=0。Z（n）=A194960（n-4），n>=0。使用A008611版本进行验证。A194960来自此。

%C通常，对于n>=0的S（n，x）的零的数量Z（a；n）在区间（0,2）（x>=2从不具有零，并且a=0是平凡的：Z（0；n）=0）与b（a；n）=floor（n//2）-floor（（n+1）*arccos（a/2）/Pi）一起，如上Z（a；n）=2*b（a；n）对于偶数n>=0和1+2*b（a；n）对于奇数n>=1。对于闭合区间[-a，+a]Z（0；n）=1，对于从（0,1）开始的a，使用值b（a；n）=楼层（n/2）-天花板（n+1）*弧坐标（a/2）/Pi）+1。（结束）

%C Riordan行多项式S（n，x）（Chebyshev S）属于Boas-Buck类（参见A046521中的注释和参考文献），因此它们满足Boas-Back恒等式：（E_x-n*1）*S（n、x）=（E_x+1）*Sum_{p=0..n-1}（1-（-1）^p）*（-1）。对于三角形T（n，k），这需要对公式部分中给出的列k的序列进行递归_Wolfdieter Lang，2017年8月11日

%C行多项式的示例f.e（x，t）：=和{n>=0}（t^n/n_Wolfdieter Lang，2017年11月8日

%C From _Wolfdieter Lang，2018年4月12日：（开始）

%C行多项式S（n，x）的因式分解，当n>=1时，根据系数为A187360的C多项式（非Chebyshev C）。这是从Psi多项式的因式分解中获得的（参见上述2011年7月12日的评论），但以2*cos（2*Pi/n）的最小多项式写成，系数在A232624中：

%C S（2*k，x）=Product_{2<=d|（2*k+1）}C（d，x）*（-1）^deg（d）*C（d、-x），其中deg（d）=A055034（d）是C（d和x）的度。

%C S（2*k+1，x）=产品{2<=d|2*（k+1）}C（d，x）*产品{3<=2*d+1|（k+1。

%C注意，（-1）^（deg（2*d+1））*C（2*d+1，-x）*C。

%C对于k>=0，S（2*k，x）的C因子的个数为2*（tau（2*k+1）-1）=2*（A099774（k+1）-1）=2*A095374（k），对于S（2*k+1，x），对于k>=0，为tau（2*（k+1 5和τ（2*（k+1））=A099777（k+1。

%C对于反问题，将C多项式分解为S多项式，请参见A255237。（结束）

%C具有一般初始条件S（a，b；n，x）=x*S（a、b；n-1，x）-S（a，b；n-2，x）的S多项式，对于n>=1，S（a；b；-1，x）=a，S（b；0，x）=1，对于n>=-1，是S（a），b；n-，x）＝b*S（n，x）-a*S（n-1，x）。回忆一下S（-2，x）=-1和S（-1，x）=0。o.g.f.为g（a，b；z，x）=（b-a*z）/（1-x*z+z^2）。-_Wolfdieter Lang，2019年10月18日

%C也是A101455的卷积三角形_Peter Luschny_，2022年10月6日

%C From _Wolfdieter Lang，2023年4月26日：（开始）

%C S-多项式的多段：S（m*n+k，x）=S（m+k，x）*S（n-1，R（m，x））-S（k，x。。。，m-1。

%｛S（m*n+k，y）｝_｛n>=0｝的C O.g.f.：g（m，k，y，x）=（S（k，y）-（S（k，y）*R（m，y）-S（m+k，y））*x）/（1-R（m，y）*x+x^2）。

%C参见A034807处G.Detlefs和W.Lang链路的等式（40）和（49），其中r=x或y，s=-1。（结束）

%复n和复x的CS（n，x）：S（n，x）=（（-i/2）/sqrt（1-（x/2）^2））*（q（x/2（主分行）这满足S的递归关系，因为它是从S的Binet-de-Moivre公式导出的。示例：S（n/m，0）=cos（（n/m）*Pi/4），对于n>=0和m>=1。S（n*i，0）=（1/2）*（1+exp（n*Pi））*exp（-（n/2）*Pi。S（1+i，2+i）=0.6397424847…+1.0355669490…*i.感谢Roberto Alfano提出了导致此公式的问题_Wolfdieter Lang，2023年6月5日

%C Lim_{n->oo}S（n，x）/S（n-1，x）=r（x）=（x-sqrt（x^2-4））/2，对于|x|>=2。对于x=+-2，该极限为+-1.-_沃尔夫迪特·朗，2023年11月15日

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%与切比雪夫多项式相关的序列的索引项</a>

%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%F T（n，k）：如果n<k或n+k为奇数，则=0，否则为（（-1）^（（n+k）/2+k））*二项式（（n+k）/2，k）；T（n，k）=-T（n-2，k）+T（n-1，k-1），T；g.f.第k列：（1/（1+x^2）^（k+1））*x^k.-Michael Somos，2002年6月24日

%F T（n，k）=二项式（（n+k）/2，（n-k）/2）*cos（Pi*（n-k_保罗·巴里，2005年8月28日

%F和{k=0..n}T（n，k）^2=A051286（n）.-_菲利普·德雷厄姆，2005年11月21日

%F（无符号）斐波那契多项式的递归性：F（1）=1，F（2）=x；对于n>2，F（n）=x*F（n-1）+F（n-2）。

%F From_Wolfdieter Lang，2011年11月4日：（开始）

%F上述注释中给出的Riordan A-和Z序列共同导致重复出现：

%F T（n，k）=0，如果n<k，如果k=0，则T（0,0）=1和

%F T（n，0）=-Sum_{i=0..floor（（n-1）/2）}C（i）*T（n-1,2*i+1），否则T（n、k）=T（n-1，k-1）-Sum__{i=1.floor。

%F（结束）

%F行多项式也满足S（n，x）=2*（T（n+2，x/2）-T（n，x/2））/（x^2-4）与切比雪夫T多项式。证明：多次使用跟踪公式2*T（n，x/2）=S（n，x）-S（n-2，x）（参见2010年12月2日的注释）和S递归。这是一个用T多项式表示S-的公式_Wolfdieter Lang，2014年8月7日

%F来自Tom Copeland_，2015年12月6日：（开始）

%F非零的无符号子对角线Diag_（2n）包含元素D（n，k）=Sum_{j=0..k}D（n-1，j）=（k+1）（k+2）。。。（k+n）/n！=二项式（n+k，n），因此次对角线的o.g.f.为（1-x）^（-（n+1））。例如，Diag_4包含D（2,3）=D（1,0）+D（1,1）+D。Diag_4移位A000217；Diag_6，移位A000292:Diag_8，移位A000332；和Diag_10，A000389。

%F非消失的反对偶是帕斯卡三角形A007318的有符号行。

%F对于删除了零的反向无符号版本，请参见A011973。（结束）

%F列k序列的Boas-Buck递归（见上文注释）是：S（n，k）=（（k+1）/（n-k））*和{p=0..n-1-k}（1-（-1）^p）*（-1）（（p+1）/2）*S（n-1-p，k），对于n>k>=0且输入S（k，k）=1_Wolfdieter Lang，2017年8月11日

%F第m行连续非零项的顺序为（-1）^c*（c+b）/c！b！c=m/2，m/2-1。。。，0和b=m-2c，如果m是偶数且c=（m-1）/2，（m-1，/2-1。。。，如果m是奇数，则b=m-2c为0。对于从a（36）开始的第8行，5个连续的非零条目依次为1、-10、15、-7.1，由c=4,3,2,1,0和b=0,2,4,6,8_理查德·特克（Richard Turk），2017年8月20日

%计算公式：exp（和{n>=0}2*T（n，x/2）*T^n/n）=1+x*T+（-1+x^2）*T*2+（-2*x+x^3）*T|3+（1-3*x^2+x^4）*T$4+。。。，其中T（n，x）表示第一类第n个切比雪夫多项式_彼得·巴拉（Peter Bala），2022年8月15日

%e三角形T（n，k）开始

%电子邮箱0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

%电子0:1

%e 1:0 1

%e2:-1 0 1

%e 3:0-2 0 1

%e 4:1 0-3 0 1

%电子5:0 3 0-4 0 1

%e 6:-1 0 6 0-5 0 1

%电子7:0-4 0 10 0-6 0 1

%电子邮箱8:10-10 0 15 0-7 0 1

%电子邮箱9:0 5 0-20 0 21 0-8 0 1

%e 10:-1 0 15 0-35 0 28 0-9 0 1

%电话：0-6 0 35 0-56 0 36 0-10 0 1

%e。。。由Wolfdieter Lang重新格式化并扩展，2012年10月24日

%e有关更多行，请参阅链接。

%例如，第四行{0，-2,0,1}对应于多项式S（3，x）=-2*x+x^3。

%e摘自Wolfdieter Lang，2011年7月12日：（开始）

%e S（3，x）的零点，ρ（4）=2*cos（Pi/4）=sqrt（2）：

%e+-t（1，sqrt（2））=+-sqrt（2）和

%e+-t（2，sqrt（2））=+-0。

%e根据Psi多项式对S（3，x）进行因式分解：

%e S（3，x）=（2^3）*Psi（4，x/2）*Psi=x*（x^2-2）。

%e（结束）

%e摘自Wolfdieter Lang，2011年11月4日：（开始）

%e A序列和Z序列重复：

%e T（4,0）=-（C（0）*T（3,1）+C（1）*T，

%e T（5,3）=-3-1*1=-4。

%e（结束）

%e列k=2，n=6:S（6，2）=（3/4）*（0-2*S（4，2）+0+2*S（2，2））=（3/4）*（-2*（-3）+2）=6_Wolfdieter Lang，2017年8月11日

%e摘自Wolfdieter Lang，2018年4月12日：（开始）

%e分解为C多项式（参见2018年4月12日的评论）：

%e S（4，x）=1-3*x^2+x^4=（-1+x+x^2）*（-1-x+x*2）=（-C（5，-x））*C（5，x）；因子数为2=2*A095374（2）。

%e S（5，x）=3*x-4*x^3+x^5=x*（-1+x）*（1+x）x（-3+x^2）=C（2，x）*C（3，x）*；因子数为4=A302707（2）。（结束）

%p A049310:=过程（n，k）：二项式（（n+k）/2，（n-k）/2）*cos（Pi*（n-k_Johannes W.Meijer，2011年8月8日

%p#使用A357368的函数PMatrix。在上面添加一行，在左边添加一列。

%p矩阵（10，n->ifelse（irem（n，2）=0，0，（-1）^iquo（n-1，2））；#_Peter Luschny2022年10月6日

%t t[n，k]/；EvenQ[n+k]=（（-1）^（（n+k）/2+k））*二项式[（n+k）/2，k]；t[n_，k]/；奇数Q[n+k]=0；扁平[表[t[n，k]，{n，0，12}，{k，0，n}][[；；86]]（*Jean-François Alcover_，2011年7月5日*）

%t表[系数[（-I）^n斐波那契[n+1，-I x]，x，k]，{n，0，10}，{k，0，n}]//压扁（*_百灵鸟金伯利，2011年8月2日；由_Eric W.魏斯廷修正，2017年4月6日*）

%t系数表[ChebyshevU[Range[0，10]，-x/2]，x]//Flatten（*_Eric W.Weisstein_，2017年4月6日*）

%t系数表[表[（-I）^n斐波那契[n+1，-I x]，{n，0，10}]，x]//压扁（*_Eric W.Weisstein_，2017年4月6日*）

%o（PARI）{T（n，k）=如果（k<0||k>n||（n+k）%2，0，（-1）^（（n+k）/2+k）*二项式（（n+k）/2，k））}/*迈克尔·索莫斯，2002年6月24日*/

%o（SageMath）

%o@CachedFunction

%o定义A049310（n，k）：

%o如果n<0：返回0

%o如果n==0：如果k==0，则返回1，否则返回0

%o返回A049310（n-1，k-1）-A049310（n-2，k）

%o表示n in（0..9）：[A049310（n，k）表示k in（0..n）]#_Peter Luschny_，2012年11月20日

%o（岩浆）

%o A049310:=func<n，k|（（n+k）mod 2）eq 0 select（-1）^（Floor（（n+k）/2）+k）*二项式（Floor（（（n+k）/2），k）else 0>；

%o[A049310（n，k）：[0..n]中的k，[0..15]]中的n；//_G.C.Greubel，2022年7月25日

%Y参见A000005、A000217、A000292、A000332、A000389、A001227、A007318、A008611、A0086.15、A101455、A010892、A011973、A053112（无零）、A053117、A053119（反射）、A05121（倒三角形）、A055034、A097610、A099774、A09977、A100258、A112552（第一列被剪裁）、A127672、A168561（绝对值）、A187360。A194960、A232624、A255237。

%k=5，4，3，2，1，0，-1，-2，-3，-4，-5:A207824，A207823，A125662，A078812，A101950，A049310，A104562，A053122，A207815，A159764，A123967时切比雪夫s（n，x+k）系数的Y三角形。

%放松，好，签名，表格，核心

%O 0.8

%A _狼人郎_