%I#60 2021年5月14日04:48:16
%S 1,1,1,1,3,1,5,7,1,1,7,19,15,1,9,37,65,31,1,11,61175211,63,1，
%电话：1,13,91369781665127,1,15127671210133672059255,1,17169，
%电话：1105465111529141976305511、1、1921716959031
%N连接数a（N，k）=（N+1）^（k+1）-N^（k+1）（N>=0，k>=0）的平方数组，由向上反对偶读取。
%C如果每一行以初始0开头（即a（n，k）=（n+1）^k-n^k），那么每一行都是前一行的二项式变换_Henry Bottomley，2001年5月31日
%C a（n-1，k-1）是正整数的有序k元组的数量，因此这些整数中最大的是n.-Alford Arnold_，2005年9月7日
%C来自_Alford Arnold，2006年7月21日：（开始）
%C A047969中的序列也可以使用欧拉阵列（A008292）和帕斯卡三角形（A007318）进行计算，如下所示：（参见A101095）。
%C 11 11 11
%C 11 11 11
%C类-----------------------------------------
%C 1 2 3 4 5 6
%C 1 2 3 4 5
%丙1 3 5 7 9 11
%C类-----------------------------------------
%丙1 3 6 10 15 21
%川4 12 24 40 60
%丙1 3 6 10
%丙17 19 37 61 91
%C类-----------------------------------------
%C 1 4 10 20 35 56号
%C 11 44 110 220 385号
%丙11 44 110 220
%C 1 4 10号
%邮编：115 65 175 369 671
%C------------------------------------------（结束）
%C From _Peter Bala，2008年10月26日：（开始）
%C对_Alford Arnold的上述评论可以概括为，这个数组的转置是欧拉数A008292三角形的希尔伯特变换（希尔伯特变换的定义见A145905）。在这种情况下，A008292最好被视为A型全自面体的h向量数组。D型全自面体h向量数组的希尔伯特变换参见A108553。将此数组与A009998进行比较。
%C多项式n^k-（n-1）^k，k=1,2,3，。。。，它给出了该数组列中的非零项，满足黎曼假设：它们的零点位于复平面中的垂直线Re s=1/2。参见A019538了解多项式n^k-（n-1）^k和A型置换面体对偶的单形复合体的斯特林多项式之间的关系。
%C（结束）
%C经验：（n+1）^（k+1）-n^（k+1）是长度k+1的第一个差值的数量，数组为0..n，k>0.-_R.H.Hardin，2013年6月30日
%C a（n-1，k-1）是宽度为k和高度为n的条形图的数量。例如：a（1,2）=7，因为我们有[1，1,2]、[1，2,1]、[2，1,1]、[1，2,2]、[2，1,2]、[2，2,1]和[2，2,2]；a（2,1）=5，因为我们有[1,3]、[2,3]，[3,1]、[3,2]和[3,3]（条形图是以组成形式给出的）。该评论相当于A.Arnold 2005年9月的评论_Emeric Deutsch_，2017年1月30日
%D J.H.Conway和R.K.Guy，《数字书》，哥白尼出版社，纽约，1996年，第54页。
%H T.D.Noe，<a href=“/A0479969/b047969.txt”>三角形的行n=0..100，扁平</a>
%H A.Blecher、C.Brennan、A.Knopfmacher和H.Prodinger，<A href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.dam.2014.08.026“>条形图的高度和宽度</a>，《离散应用数学》180，（2015），36-44。
%H Eric Weistein的《数学世界》，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/NexusNumber.html“>Nexus编号</a>
%F From _Vladimir Kruchinin_：（开始）
%数组行的F.e.g.F的O.g.F:（（1-x）*exp（y））/（1-x*exp。
%F T（n，m）=和{k=0..m}k*（-1）^（m+k）*斯特林2（m，k）*C（n+k-1，n），T（n，0）=1。（完）
%F From_Wolfdieter Lang_，2021年5月7日：（开始）
%F T（n，m）=a（n-m，m）=（n-m+1）^（m+1）-（n-m）^，。。。，。
%数组的F O.g.F.列k：polylog（-（k+1），x）*（1-x）/x）。参见上面的_Peter Bala_注释，以及_Vladeta Jovovic_的欧拉三角形A008292公式，2002年9月2日。
%F数组行的示例F.的示例F.:exp（y）*（1+x*（exp（y）-1））*exp（x*exp。
%三角形指数行多项式R（n，y）=Sum_{m=0}T（n，m）*（y^m）/m！的FO.g.F.：G（x，y）=经验（x*y）*（1-x）/（1-x*exp（x*y））^2。
%F（结束）
%e数组a开始：
%e[n\k][0 1 2 3 4 5 6。。。
%e[0]1 1 1 1 11 1。。。
%e[1]1 3 7 15 31 63。。。
%e[2]1 5 19 65 211。。。
%e[3]1 7 37 175。。。
%e。。。
%e三角形T开始：
%电子邮箱0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。。。
%电子0:1
%e 1：1 1
%电子2：1 3 1
%电子3:1 5 7 1
%电子4:1 7 19 15 1
%电子邮箱5:1 9 37 65 31 1
%电子邮箱：1 11 61 175 211 63 1
%电话：1 13 91 369 781 665 127 1
%电子邮箱：1 15 127 671 2101 3367 2059 255 1
%e 9:1 17 169 1105 4651 11529 14197 6305 511 1
%电子邮箱：1 19 217 1695 9031 31031 61741 58975 19171 1023 1
%e…-_Wolfdieter Lang，2021年5月7日
%t压扁[表[n=d-e；k=e；（n+1）^（k+1）-n^（k+1），{d，0，100}，{e，0，d}]]（*_t.d.Noe_，2012年2月22日*）
%o（最大值）
%o T（n，m）：=如果m=0，则1其他和（k！*（-1）^（m+k）*stirling2（m，k）*二项式（n+k-1，n），k，0，m）；/*_弗拉基米尔·克鲁奇宁，2018年1月28日*/
%Y参考A047970。
%Y参见A009998，A108553（D型置换面体h向量数组的希尔伯特变换），A145904，A14590%。
%数组a的Y行n序列：A000012、A000225（k+1）、A001047（k+1。
%数组a的Y列k序列：（连接数）：A000012、A005408、A003215、A005917（n+1）、A022521、A022522、A022523、A022524、A022525、A022526、A022527、A022528。
%Y参考A343237（行倒三角形）。
%K nonn，tabl，很好，很容易
%0、5
%A _N.J.A.斯隆_
