%I#156 2024年3月21日17:45:22

%S 1,4,21120697406023661137904803761468466027304197159140520，

%电话：9275389215406093004315090191011836480216001070379110497，

%电话：62386266413803613807371211929657785304123521655974071719936973805894041961001862379597244566641436218640

%N考虑所有毕达哥拉斯三元组（X，X+1，Z）通过增加Z排序；序列给出X+1值。

%C自然数中a*（a-1）=2b*（b-1）的解：a=a（n），b=b（n）=A011900（n）。

%C n，使n^2=（1/2）*（n+楼层（平方（2）*n*楼层（平方）*n））。-_Benoit Cloitre_，2003年4月15日

%C将a（n）个球放入一个瓮中，其中b（n）=A011900（n）为红色；抽2个球而不更换；2*概率（2个红色球）=概率（2球）；这等价于Pell方程A（n）^2-2*B（n）φ2=-1，其中A（n）=（A（n）+1）/2；b（n）=（b（n）+1）/2；以及单位形式的基本解（7；5）和解（3；2）。-Paul Weisenhorn，2010年8月3日

%C求底x，其中repdigit yy有一个方形repdigite zzzz，对应于丢番图方程zzzz_x=（yy_x）^2；然后，解z=a（n），其中x=A002315（n）且y=A001653（n+1），n>=1（参见莫里斯·普罗塔特参考）_伯纳德·肖特，2022年12月21日

%D A.H.Beiler，《数字理论中的娱乐》。纽约：多佛，第122-1251964页。

%D Maurice Protat，《奥林匹克运动会》，De zzzz_x=（yy_x）^2áPell-Fermat，Problème 23，第52-54页，Ellipses，巴黎，1997年。

%H Reinhard Zumkeller，n的表，n=0..1000的a（n）</a>

%H T.W.Forget和T.A.Larkin，<A href=“http://www.fq.math.ca/Scanned/6-3/遗忘.pdf“>由递归序列描述的形式X，X+1，Z的勾股三元组，Fib.Quart.，6（No.3，1968），94-104。

%H L.J.Gerstein，<a href=“网址：http://www.jstor.org/stable/30004157“>毕达哥拉斯三元组和内积，《数学杂志》，78（2005），205-213。

%H H.J.Hindin，星星、六边形、三角形数和勾股三元组。，16 (1983/1984), 191-193. （带注释的扫描副本）

%罗恩·诺特，<a href=“http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Pythag/Pythag.html“>毕达哥拉斯三元组和在线计算器</a>

%H S.Northshield，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL18/Northshield/north4.html“>Z的Stern序列的模拟[sqrt（2）]</a>，《整数序列杂志》，18（2015），#15.11.6。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html“>毕达哥拉斯三重</a>

%双向无限序列的索引项</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_03”>具有常数的线性重复出现的索引条目，签名（7，-7,1）。

%F a（n）=（-1+sqrt（1+8*b（n）*（b（n。【由米歇尔·马库斯修订，2022年12月23日】

%F a（n）=6*a（n-1）-a（n-2）-2，n>=2，a（0）=1，a（1）=4。

%F a（n）=（a（n+1）-3*a（n）+2）/4，其中a（n=A001653（n）。

%F A001652（n）=-a（-1-n）。

%F From _Barry E.Williams_，2000年5月3日：（开始）

%F G.F.（1-3*x）/（1-6*x+x^2）*（1-x））。

%F a（n）=A001541（n）的部分和。（完）

%F From _Charlie Marion，2003年7月1日：（开始）

%F A001652（n）*A001651（n+1）+a（n）*a（n+1。

%F设a（n）=A001652（n），b（n）=该序列，c（n）=0.001653（n）。那么对于k>j，c（i）*（c（k）-c（j））=a（k+i）+…+a（i+j+1）+a（k-i-1）+…+a（j-i）+k-j。对于n<0，a（n）=-b（-n-1）。同时，a（n）*a（n+2k+1）+b（n）*b（n+2k+1）+c（n）*1（n+2k+1）=（a（n+k+1）-a（n+k））^2；a（n）*a（n+2k）+b（n）*1（n+2k）+c（n）*c（n+2 k）=2*c（n+k）^2。（完）

%F a（n）=1/2+（（1-2^（1/2））/4）*（3-2^

%F 2*a（n）=2*A084159（n）+1+（-1）^（n+1）=2*A046729（n）+1-（-1）_Lekraj Beedassy，2004年7月16日

%F a（n）=A001109（n+1）-A053141（n）.-_Manuel Valdivia，2010年4月3日

%F From _Paul Weisenhorn，2010年8月3日：（开始）

%F a（n+1）=圆形（（1+（7+5*sqrt（2）））*（3+2*sqert（2），^n）/2）；

%F b（n+1）=圆形（（2+（10+7*m2））*（3+2*m2）^n）/4）=A011900（n+1）。

%F（结束）

%F a（n）*（a（n_Kenneth J Ramsey，2011年4月24日

%F T（a（n））=A011900（n）^2+A001109（n），其中T（n）是第n个三角形数。另请参见A001653_Charlie Marion，2011年4月25日

%F a（0）=1，a（1）=4，a（2）=21，a（n）=7*a（n-1）-7*a（n-2）+a（n-3）.-_Harvey P.Dale_，2012年4月13日

%F极限{n->oo}a（n+1）/a（n）=3+2*sqrt（2）=A156035_伊利亚·古特科夫斯基，2016年7月10日

%F a（n）=A001652（n）+1.-_迪米特里·帕帕佐普洛斯，2017年7月6日

%F a（n）=（A002315（n）+1）/2.-_伯纳德·肖特，2022年12月21日

%例如：（exp（x）+exp（3*x）*（cosh（2*sqrt（2）*x）+sqrt_斯特凡诺·斯佩齐亚（Stefano Spezia），2024年3月16日

%e对于n=4:a（4）=697；b（4）=493；2*二项式（493,2）=485112=二项式_Paul Weisenhorn_，2010年8月3日

%p位数：=100:seq（圆形（（1+（7+5*sqrt（2）））*（3+2*sqrt（2），^（n-1））/2，n=0..20）；#_保罗·维森霍恩（Paul Weisenhorn），2010年8月3日

%t加入[{1}，#+1和/@With[{c=3+2Sqrt[2]}，NestList[Floor[c#]+3&，3,20]]（*哈维·P·戴尔，2011年8月19日*）

%t线性递归[{7，-7,1}，{1,4,21}，25]（*哈维·P·戴尔，2012年4月13日*）

%t a[n_]：=（2-切比雪夫t[n，3]+切比雪夫t[n+1，3]）/4；阵列[a，21，0]（*_Jean-François Alcover_，2016年7月10日，改编自PARI*）

%o（PARI）a（n）=（2-subst（poltchebi（abs（n）））-poltchebi（abs+1）），x，3））/4

%o（PARI）x='x+o（'x^30）；Vec（（1-3*x）/（（1-6*x+x^2）*（1-x）））\\_G.C.Greubel_，2018年7月15日

%o（哈斯克尔）

%o a046090 n=a046090_列表！！n个

%o a046090_list=1:4:map（减去2）

%o（zipWith（-）（地图（*6）（尾部a046090_list））a046090 _ list）

%o——Reinhard Zumkeller，2012年1月10日

%o（岩浆）m:=30；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（（1-3*x）/（（1-6*x+x^2）*（1-x）））；//_G.C.Greubel，2018年7月15日

%Y其他2侧为A001652和A001653。

%Y参见A001009、A001541、A0015402、A011900、A046729、A053141、A084159、A084 703、A156035。

%Y见A301383中的注释。

%Y参考A001653、A002315。

%不，简单，好

%O 0,2

%A _瑞克·W·魏斯坦_

%E沃尔夫迪特·朗的其他评论_

%E Comment由_Claude Morin_于2023年9月22日移至A001653