%I#141 2024年5月15日10:44:44

%S 1,1,1,1,5,1,1,21,14,1,85147,30,13411408627,55,1136513013，

%电话114402002,91,1,15461118482196053614905278140,1121845，

%电话：10717993255330173330325149812138204,118738196680365315707946587905

%N行读取的三角形：T（N，k）=T（N-1，k-1）+k^2*T（N-l，k），1<k<=N，T（N、1）=1。

%C Or，中心阶乘数T（2n，2k）的三角形（Riordan表示法）。

%C可以通过公式B_2n=（1/2）*Sum_{k=1..n}（-1）^（k+1）*（k-1）计算伯努利数*k*T（n，k）/（2*k+1）。例如，n=1:B_2=（1/2）*1/3=1/6。n=2:B_4=（1/2）*（1/3-2/5）=-1/30。n=3:B_6=（1/2）*（1/3-2*5/5+2*6/7）=1/42_菲利普·德雷厄姆，2003年11月13日

%C来自_Peter Bala_，2012年9月27日：（开始）

%C第二类广义斯特林数。T（n，k）等于集合{1,1'，2,2'，…，n，n'}划分为k个不相交的非空子集V1，。。。，这样，对于每1<=j<=k，如果i是最小整数，使得i或i'属于Vj，那么{i，i'}是Vj的子集。下面给出了一个示例。

%因此T（n，k）可以被认为是第二类的双色斯特林数。参见松本和诺瓦克，他们也给出了这些数字的另一种组合解释。（结束）

%D L.Carlitz，关于Genocchi数的一个猜想。挪威维德。塞尔斯克。Skr.（Trondheim）1971年，第9期，4页[三角形出现在第2页。]

%D J.Riordan，《组合恒等式》，威利出版社，1968年，第217页。

%D R.P.Stanley，枚举组合数学，剑桥，第2卷，1999年；参见问题5.8。

%H Vincenzo Librandi，<a href=“/A036969/b03696.txt”>行n=1..100的三角形，扁平</a>

%托马斯·布朗宁，<a href=“https://arxiv.org/abs/2010.13256“>计算对称群中的抛物双陪集</a>，arXiv:2010.13256[math.CO]，2020。

%H P.L.Butzer、M.Schmidt、E.L.Stark和L.Vogt<a href=“http://dx.doi.org/10.1080/01630568908816313“>中心阶乘数；它们的主要性质和一些应用</a>，Num.Funct.Anal.Optim.，10（1989）419-488。

%H JoséL.Cereseda，<a href=“https://arxiv.org/abs/2405.05268“>整数与序列A304330的幂和，arXiv:2405.05268[math.GM]，2024。见第2页。

%H M.W.Coffey和M.C.Lettington，<a href=“http://arxiv.org/abs/1510.05402“>关于m次幂和的斐波那契多项式表达式，它们对Faulhaber公式和Fermat的一些定理的影响，arXiv:1510.05402[math.NT]，2015。

%H D.Dumont，<a href=“http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-74-04134-9“>《Genocchi nombres des nombres de Genocchi</a>解释组合》，杜克数学杂志，41（1974），305-318。

%H D.Dumont，《基因组学名词解释组合》，杜克数学。J.，41（1974），305-318。（带注释的扫描副本）

%H Qi Fang、Ya-Nan Feng和Shi-Mei Ma，<a href=“https://arxiv.org/abs/2202.13978“>置换与中心阶乘数的交替运行，arXiv:22022.13978[math.CO]，2022。

%H F.G.Garvan，<a href=“http://qseries.org/fgarvan/papers/hspt.pdf“>高阶spt函数</a>，高级数学228（2011），第1期，241-265。-发件人：N.J.A.Sloane，2013年1月2日

%H P.A.MacMahon，<A href=“https://doi.org/10.112/plms/s2-19.1.75“>分拆理论中的数字除数及其延续</a>，Proc.London Math.Soc.，（2）19（1919），75-113；Coll.Papers II，pp.303-341。

%H S.Matsumoto和J.Novak，<a href=“http://arxiv.org/abs/0905.1992“>Jucys-Murphy元素和酉矩阵积分</a>arXiv.0905.1992[math.CO]，2009-2012。

%H B.K.Miceli，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL14/Miceli/miceli4.html“>Poly Stirling数的两个q-类似物</a>，《整数序列》，14（2011），11.9.6。

%H John Riordan，《信件》，1976年4月28日</a>

%H John Riordan，《信件》，1978年7月6日</a>

%H Richard P.Stanley，<a href=“网址：http://www-math.mit.edu/~rstan/transparencies/hooks.pdf“>挂钩长度和内容</a>。

%F T（n，k）=A156289（n，k）/A001147（k）-_Peter Bala，2011年2月21日

%F From _Peter Bala，2011年10月14日：（开始）

%计算公式：和{n>=1}x^n*t^n/Product_{k=1..n}（1-k^2*t^2）=x*t+（x+x^2）*t^2+（x+5*x^2+x^3）*t*3+。。。。

%定义多项式x^[2*n]=Product_{k=0..n-1}（x^2-k^2）。这个三角形给出了单项式x^（2*n）展开式中的系数，作为x^[2*m]，1<=m<=n的线性组合。例如，第4行给出了x^8=x^[2]+21*x^[4]+14*x^6]+x^[8]。

%F A008955是反向的有符号版本。

%F第n行总和=A135920（n）。（结束）

%F T（n，k）=（2/（2*k）！）*求和{j=0..k-1}（-1）^（j+k+1）*二项式（2*k，j+k/1）*（j+1）^。该公式适用于n>=0和0<=k<=n.-Peter Luschny_，2012年2月3日

%F From _Peter Bala，2012年9月27日：（开始）

%设E（x）=cosh（sqrt（2*x））=Sum_{n>=0}x^n/（（2*n）/2^n）。三角形的生成函数是E（t*（E（x）-1））=1+t*x+t*（1+t）*x^2/6+t*。。。，其中分母[1，1，6，90，…]的序列由（2*n）给出/2^n.参见A008277，其具有生成函数exp（t*（exp（x）-1））。例如f.是e（t*（e（x^2/2）-1））=1+t*x^2/2！+t*（1+t）*x^4/4！+t*（1+5*t+t^2）*x^6/6！+。。。。

%F放置c（n）：=（2*n）/2^n.列k的生成函数是（1/c（k））*（E（x）-1）^k=Sum_{n>=k}T（n，k）*x^n/c（n）。反数组为A204579。

%F生产阵列开始：

%F 1，1；

%F 0、4、1；

%F 0，0，9，1；

%F 0，0，0、16、1；

%F。。。（结束）

%Fx^n=Sum_{k=1..n}T（n，k）*Product_{i=0..k-1}（x-i^2），请参阅Stanley链接_米歇尔·马库斯（Michel Marcus），2014年11月19日；由Kolosov Petro修正，2023年7月26日

%F From _Kolosov Petro，2023年7月26日：（开始）

%F T（n，k）=（1/（2*k）！）*求和{j=0..2k}二项式（2k，j）*（-1）^j*（k-j）^（2n）。

%F T（n，k）=（1/（k*（2k-1）！））*求和{j=0..k}（-1）^（k-j）*二项式（2k，k-j）*j^（2n）。

%F（结束）

%e三角形开始：

%e 1；

%e 1，1；

%e 1、5、1；

%e 1、21、14、1；

%e 1、85、147、30、1；

%e。。。

%e T（3,2）=5：将五个集合划分为两个集合，分别是{1,1'，2,2'}{3,3'}，{1,1'，3,3'}{2,2'{2,2'，3,3'}。

%p A036969：=进程（n，k）局部j；2*加上（j^（2*n）*（-1）^（k-j）/（（k-j）*（k+j）！），j=1..k）；结束；

%t t[n_，k_]：=2*和[j^（2*n）*（-1）^（k-j）/（（k-j）！*（k+j）！），{j，1，k}]；扁平[表[t[n，k]，{n，1，10}，{k，1，n}]]（*_Jean-François Alcover_，2011年10月11日*）

%t t1[n，k_]：=（1/（2k）！）*和[二项式[2k，j]*（-1）^j*（k-j）^（2n），{j，0，2k}]；列[表[t1[n，k]，{n，1，10}，{k，1，n}]]（*_Kolosov Petro_，2023年7月26日*）

%o（PARI）T（n，k）=如果（1<k&&k<=n，T（n-1，k-1）+k^2*T（n-l，k），k==1）\\用于说明目的，无效_M.F.Hasler，2012年2月3日

%o（PARI）T（n，k）=2*总和（j=1，k，（-1）^（k-j）*j^（2*n）/（k-j/（k+j）！）\\_M.F.Hasler，2012年2月3日

%o（鼠尾草）

%o定义A036969（n，k）：返回（2/阶乘（2*k））*add（（-1）^j*二项式（2*k，j）*（k-j）^（2*n）for j in（0..k））

%o代表n in（1..7）：打印（[A036969（n，k）代表k in（1..n）]）#Peter Luschny，2012年2月3日

%o（哈斯克尔）

%o a036969 n k=a036969_tabl！！（n-1）（k-1）

%o a036969_row n=a036969 _ tabl！！（n-1）

%o a036969_tabl=迭代f[1]，其中

%o f行=zipWith（+）

%o（[0]++行）（zipWith（*）（尾部a000290_list）（行++[0]））

%o——Reinhard Zumkeller，2013年2月18日

%Y对角线为A002450、A002451、A000330和A060493。

%Y转座A008957。参见A008955、A008956、A156289、A135920（行总和）、A204579（逆）、A000290。

%K nonn，简单，好，tabl

%O 1.5

%A _N.J.A.斯隆_

%E更多条款摘自_Vladeta Jovovic_，2000年4月16日