%I#192 2022年10月17日01:54:33

%S 1,1,3,5,10,16,26,38,57,79111147196252324406507621759913，

%电话：109612981534179420932421279331993656415470653045967，

%电话：6681746783119234102221129812446136911501516445

%N两种颜色的N个珠子的手镯（周转项链）数量，其中5个是黑色的。

%C摘自_Vladimir Shevelev，2011年4月23日：（开始）

%C还有5个珠子的非等效项链，每个珠子涂有n种颜色中的一种。

%C该序列解决了k=5时关于凸k-gons的所谓Reis问题。全解由H.Gupta（1979）给出；我对古普塔的结果给出了一个简短的证明，并展示了这个问题与以下每个问题的等价性：列举了由两种颜色的n个珠子组成的手镯，其中k个是黑色的，以及列举了由n种颜色中的一种绘制的k个珠子的项链。

%C a（n）是n阶（0,1）-循环中每行有五个1的恒量的不同值的个数的基本上不可改进的上限估计。（完）

%C a（n+5）是T_1 X h振动微扰矩阵h（Q）的级数展开中n阶对称允许的线性无关项的数目（参见Dunn&Bates）_Bradley Klee_，2015年7月20日

%C From _Petros Hadjicostas，2018年7月17日：（开始）

%设（C（n）：n>=1）是一个非负整数序列，C（x）=Sum_{n>=1}C（n）*x^n是它的g.f。设k是一个正整数。设a_k=（a_k（n）：n>=1）为序列的DIK[k]变换的输出序列（c（n）:n>=1。可以证明，当k是奇数时，A_k（x）=（（1/k）*Sum_{d|k}φ（d）*C（x^d）^（k/d）+C（x*2）^。

%C对于这个序列，k=5，C（n）=1表示所有n>=1，C（x）=x/（1-x）。因此，对于所有n>=1，a（n）=a_5（n）。由于对于1<=n<=k-1，a_k（n）=0，因此该序列的偏移量为n=k=5。应用（c（n）：n>=1）的DIK[5]的g.f.公式，c（x）=x/（1-x）和k=5，我们得到A（x）=A_5（x）＝x^5*（（1/5）*求和{d|5}φ（d）*（1-x^d）^。

%g.f.也是_Herbert Kociemba_公式的一个特例，该公式对偶数和奇数k都有效：a_k（x）=x^k*（（1/k）*Sum_{d|k}phi（d）*（1-x^d）^（-k/d）+（1+x）/（1-x^2）^Floor[（k+2）/2]）/2。

%C这里，a（n）被定义为两种颜色的n珠子手镯的数量，带有5个黑色珠子和n-5个白色珠子。但它也是具有5个正部分的n的二面体组成的数目。（这句话相当于维拉迪米尔·舍维列夫（_Vladimir Shevelev）在上文中所说的a（n）是“由5个珠子组成的非等效项链的数量，每个珠子由n种颜色中的一种涂成。”“项链”的意思是“周转项链”。见他2004年在《印度纯粹与应用数学杂志》上发表的论文第2节第（2）段。）

%C n的两个循环组成（k=5部分）属于相同的等价类，对应于n的二面体组成，当且仅当其中一个可以通过旋转或颠倒顺序从另一个获得时。（完）

%D N.Zagaglia Salvi，自行车和项链的有序分区和着色，公牛。仪表组合应用。，27 (1999), 37-40.

%H Vincenzo Librandi，n的表，n=5..1000的a（n）</a>

%H Nesrine Benyahia-Tani、Zahra Yahi和Sadek Boroubi<a href=“http://ftp.math.uni-rostock.de/pub/romako/heft68/bouroubi68.html“>内接于正n边的有序和非有序非相依凸四边形。

%H N.Benyahia Tani、Z.Yahi和S.Bouroubi，<a href=“https://liforce.usthb.dz/sites/default/files/2020-11/article1.pdf“>内接于规则n-gon中的有序和非有序非等距凸四边形，Liforce实验室公报，01（2014）1-9。

%H C.G.Bower，转换（2）</a>

%H S.J.Cyvin、B.N.Cyven、J.Brunvoll、I.Gutman、陈荣思、S.El-Basil和张富士，<a href=“http://zfn.mpdl.mpg.de/data/Reihe_A/52/ZNA-1997-52a-0867.pdf“>包括珊瑚烯和珊瑚烯同系物的多边形系统：Pólya定理的新应用，Z.Naturforsch.，52a（1997），867-873。

%H J.L.Dunn和C.A.Bates，<A href=“http://dx.doi.org/10.103/PhysRevB.52.5996“>作为C60分子模型的T1u（x）hg系统分析，Phys.Rev.B 52，59961995年8月15日。

%H H.Gupta，<a href=“https://web.archive.org/web/2020806162943/https://www.insa.nic.in/writeraddata/UpLoadedFiles/IJPAM/20005a66_964.pdf“>不一致循环k-gons的枚举，印第安J.Pure和应用数学，第10卷，第8期（1979年），964-999。

%H E.Kirkman、J.Kuzmanovich和J.J.Zhang，<a href=“http://arxiv.org/abs/11305.3973“>置换表示下（-1）-斜多项式环的不变量，arXiv预印本arXiv:1305.39732013。参见示例5.5。

%H Richard H.Reis，<a href=“https://web.archive.org/web/2020803213425/https://www.insa.nic.in/writeraddata/UpLoadedFiles/IJPAM/20005a66_1000.pdf“>古普塔论文中C（T）的公式，印度J.Pure和应用数学，第10卷，第8期（1979年），1000-1001。

%H F.Ruskey，<a href=“http://combos.org/项链“>项链、林登文字、De Bruijn序列等</a>

%H F.Ruskey，项链、Lyndon单词、De Bruijn序列等

%H Vladimir Shevelev，<a href=“网址：http://www.math.bgu.ac.il/~shevelev/shevelev_Neclaces.pdf“>项链和凸k-gons。

%H Vladimir Shevelev，<a href=“https://web.archive.org/web/202072171019/http://www.insa.nic.in/writereaddata/UpLoadedFiles/IJPAM/200c4e8_629.pdf“>项链和凸面k-gons，印度J.Pure和应用数学，第35卷，第5期（2004年），629-638。

%H Vladimir Shevelev，<a href=“http://arxiv.org/abs/0710.1370“>具有多个变体的双色手镯的计数问题，arXiv:0710.1370[math.CO]，2007-2011。

%H Vladimir Shevelev，<a href=“http://arxiv.org/abs/1104.4051“>Lambda_n^3和Lambda_n（α、β、γ）中的永久值及其极值的光谱</a>，arXiv:104.4051[math.CO]，2011。（参见第5节）。

%H<a href=“/index/Br#手镯”>手镯相关序列的索引条目</a>

%F“DIK[5]”（项链，模糊，未标记，5部分）变换为1，1，1。。。

%传真：x^5*（1-x+2*x^3-x^5+x^6）/（（1-x）^2*（1-x ^2）^2x（1-x^5））2015年7月22日，Robert Israel修正了偏移量5

%F From _Vladimir Shevelev，2011年4月23日：（开始）

%F如果n==k（mod d），则取s（n，k，d）=1，否则取0。然后

%F a（n）=（2/5）*s（n，0,5）+（n-1）*（n-3）*（（n-2）*（n-4）+15）/240，如果n是奇数>=5；

%F a（n）=（2/5）*s（n，0,5）+（n-2）*（n-4）*（（n-1）*（n-3）+15）/240，如果n是偶数>=5。（完）

%F a（n+5）=楼层（n^4/240+n^3/24+5*n^2/24+25*n/48+1+（-1）^n*n/16）_罗伯特·伊斯雷尔（Robert Israel），2015年7月22日

%F a（n）=（A008646（n-5）+A119963（n，5））/2=_Petros Hadjicostas，2018年7月17日

%e摘自2018年7月17日的Patros Hadjicostas：（开始）

%e每个双色n珠子手镯（其中5个珠子为黑色，n-5为白色）可以通过以下方式转化为具有5个阳性部分的n的二面体组合。从一个B珠子开始，朝一个方向（顺时针方向）移动，直到到达下一个B珠。继续此过程，直到回到原来的B珠。

%e让b_i是从b珠子i到b珠子i+1（或b珠子1）之前的最后一个W珠子的珠子数。这里，b_i＝1，当在b珠粒i和b珠粒i+1（或b珠粒5和b珠粒1）之间不存在W珠粒时。然后b1+b2+b3+b4+b5=n，我们得到了n的二面体组成（当然，b2+b2+b4+B5+b1和b5+b4+5+b3+b2+b1属于二面体构成b1+b2+b2+B3+b4+5的相同等价类）

%例如，a（8）=5，我们有以下带有5个B珠子和3个W珠子的手镯。在手镯旁边，我们列出了n的相应二面体组成，k=5部分（必须在圆上查看）：

%e BBBBB WWW<->1+1+1+4

%e BBBBWBWW<->1+1+1+2+3

%e BBWBBBWW<->1+2+1+3

%e BWBBWB<->2+1+2+1

%e BWBWBB<->2+2+2+1+1

%e（结束）

%p seq（楼层（n^4/240+n^3/24+5*n^2/24+25*n/48+1+（-1）^n*n/16），n=0..100）；#_罗伯特·伊斯雷尔（Robert Israel），2015年7月22日

%t k=5；表[（应用[Plus，Map[EulerPhi[#]二项式[n/#，k/#]&，除数[GCD[n，k]]]/n+二项式[Cf[OddQ[n]，n-1，n-If[OdQ[k]，2，0]]/2，If[OddQ[k]，k-1，k]/2]）/2，{n，k，50}]（*_Robert A.Russell_，2004年9月27日*）

%t系数列表[系列[（1-x+2x^3-x^5+x^6）/（1-x）^2（1-x^2）^2

%t k=5（*手镯问题中的黑色珠子数量*）；系数列表[系列[x^k*（1/k Plus@@（EulerPhi[#]（1-x^#）^（-（k/#））和/@除数[k]）+（1+x）/（1-x*2）^楼层[（k+2）/2]，{x，0,50}]，x]（*_Herbert Kociemba_，2016年11月4日*）

%o（PARI）a（n）=圆形（（n^4-10*n^3+50*n^2-（110+30*（1-n%2））*n）/240+3/5）

%o（岩浆）m:=50；R<x>：=PowerSeriesRing（整数（），m）；系数（R！（1-x+2*x^3-x^5+x^6）/（（1-x）^2*（1-x^2）^2x（1-x*5））；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2013年9月7日

%A052307的Y列k=5。

%Y参见A005514、A008805、A032280、A032281、A032822、A292906。

%不，简单，好

%O 5、3

%克里斯蒂安·G·鲍尔，N·J·A·斯隆_