%I#205 2023年8月23日10:45:09

%S 1,1，-1,2，-4,1,6，-18,9，-1,24，-96,72，-16,1120，-600600，-200,25，-1720，

%电话：-43205400、-2400450、-36、15040、-3528052920、-294007350、-882,49、-1、，

%U 40320，-322560564480，-376320117600，-188161568，-64,1362880，-3265920

%拉盖尔多项式系数的三角*L_n（x）（x的升幂）。

%C在绝对值中，这个序列也给出了矩阵指数的下三角读数，该矩阵的条目{j+1，j}等于（j-1）^2（所有其他条目都为零）Joseph Biberstine（jrbibers（AT）indiana.edu），2006年5月26日

%集X上的部分置换是X的两个子集之间的双射。|T（n，n-k）|等于域基数等于k的n个集的部分置换数。让E表示算子D*X*D，其中D是导数算子D/dx。那么E^n=Sum_{k=0..n}|T（n，k）|*x^k*D^（n+k）_Peter Bala，2008年10月28日

%C无符号三角形是关于序列n的广义Riordan数组（exp（x），x）^2由Wang和Wang定义（关于序列n的广义Riordan数组（exp（x），x）！是帕斯卡三角形A007318，相对于序列n*（n+1）！是A105278）_Peter Bala，2013年8月15日

%C无符号三角形出现在Ser（1933）第83页_N.J.A.Sloane，2020年1月16日

%D M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，《数学函数手册》，国家标准应用数学局。1964年第55辑（以及各种重印本），第799页。

%D G.Rota，《有限算子微积分》，学术出版社，纽约，1975年。

%D J.Ser，Les Calculs Formels des Séries de Factorielles出版社。高瑟·维拉斯（Gauthier-Villars），巴黎，1933年，第83页。

%H T.D.Noe，<a href=“/A021009/b021009.txt”>三角形的行n=0..50，扁平</a>

%H M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑，<A href=“http://www.convertit.com/Go/convertit/Reference/AMS55.ASP“>《数学函数手册》</a>，美国国家标准局，应用数学。第55辑，第10版，1972年[备选扫描件]。

%H W.A.Al-Salam，<A href=“http://dx.doi.org/10.1215/S012-7094-64-03113-8“>拉盖尔多项式和其他多项式的运算表示，《杜克数学学报》，第31卷（1964年），第127-142页。

%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Barry3/barry100r.html“>The Restricted Toda Chain，Exponential Riordan Arrays，and Hankel Transforms</a>，J.Int.Seq.13（2010）#108.4，example 5（受限Toda链、指数Riordan阵列和Hankel变换</a>，《国际期刊》第13期第10.8.4页，示例5）。

%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Barry4/barry122.html“>指数Riordan数组和置换枚举，J.Int.Seq.13（2010）#10.9.1，示例7。

%H Paul Barry，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL14/Barry1/barry97r2.html“>Riordan Arrays，Orthogonal Polynomials as Moments，and Hankel Transforms，J.Int.Seq.14（2011）#11.2.2，示例21。

%H Paul Barry，<a href=“http://arxiv.org/abs/1105.3044“>组合多项式作为矩，Hankel变换和指数Riordan数组</a>，arXiv预打印arXiv:1105.3044[math.CO]，2011，也<a href=”https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL14/Barry5/barry112.html“>《国际期刊》第14期（2011年）第11.6.7号。

%H Paul Barry，<a href=“https://arxiv.org/abs/1802.03443“>关于Riordan矩序列的变换，arXiv:1802.03443[math.CO]，2018。

%H A.Belov-Kanel和M.Kontsevich，<A href=“https://arxiv.org/abs/math/0512169“>Weyl代数的自同构</a>，arXiv预印本arXiv:0512169[math.QA]，2005。

%H A.Belov-Kanel和M.Kontsevich，<A href=“https://arxiv.org/abs/math/0512171“>Jacobian猜想与Dixmier猜想稳定等价，arXiv预印本arXiv:0512171[math.RA]，2005。

%H I.Gessel，<a href=“http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/axel/papers/gessel:applications_of_the_classical_umbar_calculus.pdf“>经典本影演算的应用</a>

%H G.Hetyei，<a href=“http://arxiv.org/abs/0909.4352“>Meixner第二类多项式和表示su（1,1）的量子代数，arXiv预印本arXiv:0909.4352[math.QA]，2009年，第4页。

%H米兰Janjic，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL12/Janjic/janjic22.html“>数和导数的某些类别</a>，JIS 12（2009）09.8.3。

%H Robert S.Maier，<a href=“https://arxiv.org/abs/2308.10332“>Boson算子从广义Stirling数和Euler数排序恒等式</a>，arXiv:2308.10332[math.CO]，2023。请参阅。第19页。

%H Massimo Nocentini，<a href=“https://github.com/massimo-nocentini/PhD-thesis/releases/download/final-version/PhD-thesis.pdf“>符号和逻辑计算支持的一些无限数列的代数和组合研究，佛罗伦萨大学博士论文，2019年。见第31页。

%H J.Ser，《工厂的法律形式》，巴黎，Gauthier-Villars，1933年[本地副本]。

%H J.Ser，<a href=“/A002720/A002720.pdf”>Les Calculs Formels des Séries de Factorielles</a>（一些选定页面的注释扫描）

%H M.Z.Spivey，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL14/Spivey/spivey31.html“>关于一般组合递归的解</a>，《国际期刊》第14期（2011）第11.9.7页。

%H W.Wang和T Wang，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2007.12.037“>广义Riordan阵列，离散数学，第308卷，第24期，6466-6500。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/LaguerrePolynomial.html“>Laguerre多项式</a>

%与拉盖尔多项式相关的序列的索引项</a>

%F a（n，m）=（（-1）^m）*n*二项式（n，m）/m！=（-1）^m）*（（n！/m！）^2）/（n-m）！如果n>=m，则为0。

%F例如，第m列：（-x/（1-x））^m/（（1-x）*m！），m>=0。

%F表示（无符号a（n，m））为高斯超几何函数2F1的特殊值，用Maple表示法：n*（-1）^m*超几何（[-m，n+1），[1]，1）/m！.-_卡罗尔·彭森，2003年10月2日

%F和{m>=0}（-1）^m*a（n，m）=A002720（n）_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2004年3月10日

%例如：（1/（1-x））*exp（x*y/（x-1））_Vladeta Jovovic_，2005年4月7日

%F和{n>=0，m>=0}a（n，m）*（x^n/n！^2）*y^m=exp（x）*BesselJ（0,2*sqrt（x*y））_Vladeta Jovovic_，2005年4月7日

%F矩阵平方得出单位矩阵：L^2=I.-Paul D.Hanna，2008年11月22日

%F来自Tom Copeland_2012年10月20日：（开始）

%F符号，D=D/dx和LN（n，x）=n！L_n（x），定义：Dx:^j=D^j x^j，：xD:^j=x^j D^j，以及LN（.，x）^j=LN（j，x）=A021009的行多项式。

%F那么一些有用的关系是

%F 1）（：Dx：）^n=LN（n，-：xD：）[罗德里格斯公式]

%F 2）（xDx）^n=x^n D^n x ^n=x ^n LN（n，-：xD:）[参见Al-Salam参考/A132440]

%F 3）（DxD）^n=D^n x ^n D^n=LN（n，-：xD:）D^n[参见A132440中的参考]

%F 4）本影成分LN（n，LN（.，x））=x^n[参见罗塔参考]

%F 5）阴影补偿。LN（n，-：Dx:）=LN（n，-LN（.，-：xD:））=2^n LN（n-：xD:/2）=n！*（第n行，例如A038207的f.（x），其中x替换为：xD:）。

%F 2）的一个例子是操作符（xDx）^2=（xDx）（xDx=xD（x^2+x^3D）=2x^2+4x^3D+x^4D^2=x^2（2+4xD+x*2D^2）=x^ 2（2+4:xD:+：xD:^2）=x^2 LN（2，-：xD:）=x*22！L_2（-：xD:）。

%F A038207中给出了5）中本影合成的示例。

%F op.xDx与幂级数/o.g.F.s.的欧拉/二项式变换有关，通过exp（t*xDx）F（x）=F[x/（1-t*x）]/（1-t*x），并与特殊的Moebius/线性分数/投影变换z exp（-t*zDz）（1/z）F（z）=F（z/（1+t*z））有关。

%关于本影微积分的一般讨论，请参阅Gessel链接。（结束）

%F From_Wolfdieter Lang，2013年1月31日：（开始）

%F由正交多项式组{n！*L（n，x）}的三项递推导出的标准递推：L（n、x）=（2*n-1-x）*L（n-1，x）-（n-1）^2*L（n2，x），n>=1，L（-1，x）=0，L（0，x）=1。

%F a（n，m）=（2*n-1）*a（n-1，m）-a（n-1、m-1）-（n-1）^2*a（n-2，m），

%F n>=1，其中a（n，-1）=0，a（0,0）=1，a（n、m）=0如果n<m（与Peter Luschny的无符号情况下的程序|a（n（m）|=（-1）^m*a（n），m）进行比较）。

%F简化递归（使用上述a（n，m）的显式列递归）：

%F a（n，m）=（n+m）*a（n-1，m）-a

%F|T（n，k）|=[x^k]（-1）^n*U（-n，1，-x），其中U（a，b，x）是Kummer的超几何U函数_Peter Luschny_，2015年4月11日

%F T（n，k）=（-1）^k*n*S（n，k），其中S（n、k）递归定义为：“如果k=0，则1 else如果k>n，则0 else S（n-1，k-1）/k+S（n-l，k）”_Peter Luschny_，2017年6月21日

%F无符号情况是阶乘数的指数Riordan平方（参见A321620）_Peter Luschny_，2018年12月6日

%如果省略对角线和符号，这个数组是由换向器[D^n，x^n]=D^nx^n-x^nD^n=Sum_{i=0..n-1}（（n！/i！）^2/（n-i）！）生成的Belov-Kanel和Kontsevich的两篇论文第9页上的x^i D^i_Tom Copeland，2020年1月23日

%e三角形a（n，m）开始于：

%电子邮箱0 1 2 3 4 5 6 7 8

%电子0:1

%e 1：1-1

%e 2:2-4 1

%e 3:6-18 9-1

%电子4:24-96 72-16 1

%e 5:120-600 600-200 25-1

%e 6:720-4320 5400-2400 450-36 1

%电子邮箱7:5040-35280 52920-29400 7350-882 49-1

%电子邮箱：8:40320-322560 564480-376320 117600-18816 1568-64 1

%e。。。

%e摘自Wolfdieter Lang，2013年1月31日（开始）

%e重现性（通常）：a（4,1）=7*（-18）-6-3^2*（-4）=-96。

%e重现性（简化版）：a（4,1）=5*（-18）-6=-96。

%e循环（Sage程序）：|a（4,1）|=6+3*18+4*9=96。（结束）

%e嵌入式复发（Maple程序）：a（4,1）=-4*(1 + 3) = -96.

%p A021009:=proc（n，k）局部S；S:=proc（n，k）选项记忆`如果`（k=0，1，` if`（k>n，0，S（n-1，k-1）/k+S（n-l，k）））结束：（-1）^k*n*S（n，k）结束：seq（seq（A021009（n，k），k=0..n），n=0..8）；#_Peter Luschny_，2017年6月21日

%p#无符号案例的替代方案（A321620中定义的RiordanSquare函数）：

%p RiordanSquare（加上（x^m，m=0..10），10，真）；#_Peter Luschny_，2018年12月6日

%t Flatten[表[系数列表[n！*LaguerreL[n，x]，{n，0，9}]]（*_Jean-François Alcover_，2011年12月13日*）

%o（圣人）

%o def A021009_triangle（dim）：#计算无符号T（n，k）。

%o M=矩阵（ZZ，dim，dim）

%o对于n in（0..dim-1）：M[n，n]=1

%o表示n in（1..dim-1）：

%对于k in（0..n-1）：

%o M[n，k]=M[n-1，k-1]+（2*k+1）*M[n-1，k]+（k+1）^2*M[n-1，k+1]

%o返回M

%o A021009_三角形（9）#_Peter Luschny_，2012年9月19日

%o（PARI）

%o p（n）=分母（最佳应用Pade（Ser（向量（2*n，k，（k-1）！）））；

%o concat（1，concat，矢量（9，n，Vec（-p（n））））\\ Gheorghe Coserea，2016年12月1日

%o（PARI）{T（n，k）=如果（n<0，0，n！*polcoeff（和（i=0，n，二项式（n，n-i）*（-x）^i/i！），k））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2016年12月1日*/

%o（PARI）行（n）=Vecrev（n！*pollaguerre（n））；\\_米歇尔·马库斯，2021年2月6日

%o（岩浆）/*作为三角形：*/[[（-1）^k）*阶乘（n）*二项式（n，k）/阶乘（k）：k in[0..n]]：n in[0..10]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2020年1月18日

%Y行总和给出A009940，交替行总和是A002720。

%Y列序列（无符号）：A000142、A001563、A001809-A001812，对于m=0..5。

%Y中心术语：A295383。

%Y有关生成器和泛化，请参见A132440。

%Y参见A021010、A025166、A025167、A062137、A061138、A062 139、A06 2140、A066667、A321620。

%Ksign，tabl，轻松，漂亮

%0、4

%A _N.J.A.斯隆_

%E 2011年11月28日，Wolfdieter Lang更改了名称并提供了表格