%I#170 2023年2月12日03:05:19

%S 1,1,1、-1,1,1、-1,1,1,1、-1、-1、-1,1、-1、-1-1、-1,1,1,1，-1,1,1,1，-1,1，-1，-1，-1,1,1，

%T 1，-1,1,1,1，-1,1.1，-1,1,1,1,1,1,1，-1,1,1,1，

%U 1,1，-1，-1，-1,1，-1,1,1,1，-1，1,1,1，-1,1,1，-1,1，-1

%N Rudin-Shapiro或Golay-Rudin-Shapiro序列（Shapiro多项式的系数）。

%其他名字是鲁丁·夏皮罗（Rudin-Shapiro）或戈莱·鲁丁·沙皮罗（Golay-Rudin-Shapiro）的无限词。

%C夏皮罗多项式由P_0=Q_0=1定义；对于n>=0，P_{n+1}=P_n+x^（2^n）*Q_n，Q_{n+1}=P-n-x^

%C与纸模序列相关-参见Mendès France and Tenenbaum文章。

%Ca（A022155（n））=-1；a（A203463（n））=1_Reinhard Zumkeller_，2012年1月2日

%C a（n）=1当且仅当n的二进制表示中的1和1的运行数具有相同的奇偶校验：A010060（n）=A268411（n）；否则，当A010060（n）=1-A268411（n）时，a（n）=-1.-_弗拉基米尔·舍维列夫，2016年2月10日。2017年7月11日，Antti Karttunen_纠正了打字错误并编辑了评论

%一个统一的原形词，但不是纯形词_N.J.A.Sloane，2018年7月14日

%C以奥地利裔美国数学家沃尔特·鲁丁（1921-2010）、数学家哈罗德·S·夏皮罗（1928-2021）和瑞士数学家兼物理学家马塞尔·朱尔斯·爱德华·戈莱（1902-1989）的名字命名。-_Amiram Eldar，2021年6月13日

%D Jean-Paul Allouche和Jeffrey Shallit，《自动序列》，剑桥大学出版社，2003年，第78页和其他许多页。

%H Reinhard Zumkeller，n表，n=0..10000的a（n）</a>

%H Jean-Paul Allouche，<a href=“http://ssdnm.mimuw.edu.pl/pliki/wyklady/allouche-uj.pdf“>关于自动序列的课堂讲稿，克拉科夫，2013年10月。

%H Jean-Paul Allouche、Julien Cassaigne、Jeffrey Shallit和Luca Q.Zamboni，<a href=“https://arxiv.org/abs/1711.10807“>《形态序列分类》，arXiv预印本arXiv:1711.10807[cs.FL]，2017年11月29日

%H Jean-Paul Allouche和M.Mendes France，<a href=“https://webusers.imj-prg.fr网站/~jean-paul.allouche/allmendeshouches.pdf“>《自动和自动序列》，摘自：Axel F.和Gratias D.（编辑），《超越准晶体》，霍奇斯物理中心，第3卷，施普林格，柏林，海德堡，第293-367页，1995年；内政部https://doi.org/10.1007/978-3662-03130-8_11。

%H Jean-Paul Allouche和M.Mendes France，《自动化和自动序列》，摘自：Axel F.和Gratias D.（编辑），《超准晶体》。Houches物理中心，第3卷。施普林格，柏林，海德堡，第293-367页，1995年；内政部https://doi.org/10.1007/978-3662-03130-8_11。[本地副本]

%H Jean-Paul Allouche和Jonathan Sondow，<a href=“http://arxiv.org/abs/1408.5770“>强B-乘性系数扭曲的有理级数求和</a>，arXiv:1408.5770[math.NT]，2014；Electron.J.Combin.，22#1（2015）P1.59；见第9-10页。

%H Joerg Arndt，<a href=“http://www.jjj.de/fxt/#fxtbook网站“>Matters Computational（The Fxtbook）</a>，第1.16.5节“Golay-Rudin-Shapiro序列”，第44-45页

%H Scott Balchin和Dan Rust，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL20/Rust/rust3.html“>符号替换的计算</a>，《整数序列杂志》，第20卷（2017年），第17.4.1条。

%H John Brillhart和L.Carlitz，<a href=“https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1970-0260955-6“>关于夏皮罗多项式的注释，Proc.Amer.Math.Soc.，第25卷（1970年），第114-118页。

%H John Brillhart和Patrick Morton，<a href=“http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256048841“>《Summen von Rudin-Shapiroschen Koeffizienten》，（德国）《伊利诺伊州数学杂志》，第22卷，第1期（1978年），第126-148页。MR0476686（57#16245）。-发件人：N.J.A.Sloane，2012年6月6日

%H John Brillhart和Patrick Morton，<a href=“http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/a-case-study-in-machematical-research-the-golay-rudin-shapiro-sequence网址“>数学研究案例研究：Golay-Rudin-Shapiro序列，《美国数学月刊》，第103卷（1996），第854-869页。

%H James D.Currie、Narad Rampersad、Kalle Saari和Luca Q.Zamboni，<a href=“http://arxiv.org/abs/1301.4972“>形态次移位中的极端词</a>，arXiv:1301.4972[math.CO]，2013。

%H James D.Currie、Narad Rampersad、Kalle Saari和Luca Q.Zamboni，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2014.01.002“>形态次移位中的极端词，《离散数学》，第322卷（2014年），第53-60页。MR3164037。参见第。8

%H Michel Dekking、Michel Mendes France和Alf van der Poorten，<a href=“https://doi.org/10.1007/BF03024244“>Folds</a>，《数学情报学家》，第4卷，第3期（1982年），第130-138页。

%H Michel Dekking、Michel Mendes France和Alf van der Poorten，<a href=“https://doi.org/10.1007/BF03023552“>Folds II。对称性受到干扰，《数学智能器》，第4卷，第4期（1982年），第173-181页。

%H Arturas Dubicks，<a href=“http://dx.doi.org/10.4064/ap105-2-3“>Littlewood多项式和无穷级数的平方高度</a>，《Ann.Polon.Math.》，第105卷（2012年），第145-163页发件人：N.J.A.Sloane，2012年12月16日

%H Albertus Hof、Oliver Knill和Barry Simon，<a href=“http://inis.iaea.org/search/search.aspx？orig_q=RN:27016845“>回文Schroedinger算子的奇异连续谱。

%H Philip Lafrance、Narad Rampersad和Randy Yee，<a href=“http://arxiv.org/abs/1408.2277“>Rudin-Shapiro-like序列的一些性质</a>，arXiv:1408.2277[math.CO]，2014。

%H D.H.Lehmer和Emma Lehmer，<a href=“http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/？PID=GDZPPN002197537“>如画的指数和。II</a>，《fur die reine und angewandte Mathematik杂志》，第318卷（1980年），第1-19页。

%H Michel Mendès France和Gérald Tenenbaum，<a href=“http://www.numdam.org/item？id=BSMF_1981__109__207_0“>Dimension des courbes planes，papiers pliés et suites de Rudin-Shapiro（法语）《公牛社会数学》，法国，第109卷，第2期（1981年），第207-215页。MR0623789（82k:10073）。

%H Luke Schaeffer和Jeffrey Shallit，<a href=“https://doi.org/10.37236/5752“>自动序列中的封闭、回文、丰富、特权、梯形和平衡词，《组合数学电子杂志》，第23卷，第1期（2016年），第1.25页。

%H Harold S.Shapiro，<a href=“http://hdl.handle.net/1721.1/12188“>多项式和幂级数的极值问题</a>，麻省理工学院Diss博士，1952年。

%H Vladimir Shevelev，<a href=“http://arxiv.org/abs/1603.04434“>Thue-Morse序列的两个类似物，arXiv:1603.04434[math.NT]，2016。

%H Eric Weistein的《数学世界》，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/Rudin-ShapiroSequence.html“>Rudin-Shapiro序列。

%F a（0）=a（1）=1；此后，a（2n）=a（n），a（2 n+1）=a（n）*（-1）^n。[Brillhart和Carlitz，在定理4的证明中]

%F a（0）=a（1）=1，a（2n）=a_Alex Ratushnyak，2012年5月13日

%F Brillhart和Morton（1978）列出了许多属性。

%F a（n）=（-1）^ A014081（n）＝（-1）*A020987（n）=1-2*A02098（n）.-_M.F.Hasler_，2012年6月6日

%F总和（n>=1，a（n-1）（8n^2+4n+1）/（2n（2n+1）（4n+1））=1；见Allouche和Sondow，2015年_Jean-Paul Allouche_和_Jonathan Sondow，2015年3月21日

%p A020985：=proc（n）选项记住；如果n=0，则1 elif n mod 2=0，然后A020985（n/2）else（-1）^（（n-1）/2）*A020985；fi；结束；

%ta[0]=1；a[1]=1；a[n_？EvenQ]：=a[n]=a[n/2]；a[n_？奇Q]：=a[n]=（-1）^（（n-1）/2）*a[（n-1；a/@Range[0,80]（*_Jean-François Alcover_，2011年7月5日*）

%t a[n_]：=1-2 Mod[Length[FixedPointList[BitAnd[#，#-1]&，BitAnd[n，Quotient[n，2]，2]（*_Jan Mangaldan_，2015年7月23日*）

%t阵列[Rudin Shapiro，81，0]（*JungHwan Min_，2016年12月22日*）

%o（哈斯克尔）

%o a020985 n=a020985_列表！！n个

%o a020985_list=1:1:f（尾部a020985 _list）（-1），其中

%o f（x:xs）w=x:x*w:f xs（0-w）

%o——Reinhard Zumkeller，2012年1月2日

%o（PARI）A020985（n）=（-1）^ A014081（n）\\_M.F.Hasler_，2012年6月6日

%o（Python）

%o定义a014081（n）：返回和（[（（n>>i）&3==3）范围内的i（len（bin（n）[2:]）-1）]）

%o定义a（n）：返回（-1）**a014081（n）#_Indranil Ghosh，2017年6月3日

%o（Python）

%o定义A020985（n）：如果（n&（n>>1））.bit_count（）和1其他1#_Chai Wah Wu_，2023年2月11日，则返回-1

%Y参见A022155、A005943（因子复杂性）、A014081。

%Y参见A020987（0-1版）、A020986（部分总和）、A203531（运行长度）、A033999。

%Allouche等人《分类学》论文中提到的Y序列，按示例编号列出：1:A003849，2:A010060，3:A010056，4:A020985和A020987，5:A191818，6:A316340和A273129，18:A316341，19:A030302，20:A063438，21:A316342，22:A316343，23:A003849-减去其第一项，24:A316344，25:A316345和A316824，26:A020985-A020987，27:A316825，28:A159689，29:A049320，30:A003849，31:A316826，32:A316827，33:A316828，34:A316344，35:A043529，36:A316829，37:A010060。

%K符号，很好，很容易

%0、1

%A _N.J.A.斯隆_