%I#197 2024年6月20日17:22:06

%S 1,1,2,2,4,4,6,6,10,10,14,14,20,20,26,26,36,36,60,74,74,94，

%电话94114114140140166202202238282842330390390，

%电话：45045052452459859869269278678690090010141154115412941294

%二进制配分函数：将N分为2次方的次数。

%C A000123的首次差异；以及A000123，术语重复。请参阅以下第一个公式的相关证明。

%在这些分区中，只有一个分区具有所有不同的项，因为每个数字都可以表示为2的不同幂之和。

%A036987的C Euler变换，偏移量为1。

%C a（n）是n的“非平分”分区数，即分区n=p_1+p_2+…+p_k，1<=p_1<=p_2<=…<=p_k和p_1+p_2+…+p_i<=p_{i+1}，适用于所有1<=i<k.-N.J.A.Sloane，2003年11月30日

%C通常情况下，OEIS不包括这样的序列，其中每个术语都重复出现，但由于其重要性，对这一个例外。未重复的序列A000123是主要条目。

%C来自1+[1，*2]+[1、*2]+…的不同部分和的数目。。。，其中[1，*2]表示可以加1或乘2。例如，a（6）=6，因为我们有6=1+1+1+1+1+1=（1+1）*2+1+1=1*2+1+1=（1+1+1）*2=1*2+1+1+1=（1*2+1+1+1+1=（1*2+1）*2，其中通过扩展每个括号来定义连接；例如，这是6=1+1+1+1+1=2+2+1+1=4+1+1=2+2+2+2+2_Jon Perry，2004年1月1日

%C n的分区数p，使得p生成的成分数为奇数。有关证据，请参阅Alekseyev和Adams-Waters链接_Vladeta Jovovic_，2007年8月6日

%C首先在a（64）处与A008645不同。-_R.J.Mathar，2008年5月28日

%C似乎是A155077的行总和_Mats Granvik，2009年1月19日

%C n的分区数（p_1、p_2、…、p_k），p_1>=p_2>=…>=p_k，这样对于每个i，p_i>=p_{i+1}+…+p_k.-John MCKAY（MCKAY（AT）encs.concordia.ca），2009年3月6日（这些是作为非递增列表的“非平滑”分区）。

%C等于A168261三角形的最右边对角线。从偏移量1开始=三角形A115361的特征序列和三角形A168261的行和_Gary W.Adamson，2009年11月21日

%C等于A171238的卷积平方根：（1、2、5、8、16、24、40、56、88…）_Gary W.Adamson_，2009年12月5日

%C设B=序列的第n次卷积幂，C=B的充气变量。似乎B/C=二项式序列开始（1，n，…）。示例：序列的第三卷积幂为（1，3，9，19，42，78，146，…），C=（1，0，3，0，9，0，19，…）。则B/C=（1、3、6、10、15、21…）_Gary W.Adamson_，2016年8月15日

%C发件人：Gary W.Adamson_，2016年9月8日：（开始）

%C矩阵幂M^k作为n-->inf的极限导致单列向量等于序列，其中M是以下生产矩阵：

%C1,0,0,0。。。

%C1,0,0,0。。。

%C1,1,0,0,0。。。

%C 1，1，0，0，0。。。

%C1、1、1、0、0。。。

%C1、1、1、0、0。。。

%C1,1,1,1,0。。。

%C1,1,1,1,0。。。

%C1,1,1,1。。。

%C。。。（结束）

%C a（n）是n的“非借用”分区数，这意味着从较大部分减去较小部分的二进制减法永远不需要位置值借用_David V.Feldmann，2020年1月29日

%C来自Gus Wiseman_，2024年5月25日：（开始）

%C也是二进制秩为n的正整数的多集数，其中多集m的二进制秩由Sum_i 2^（m_i-1）给出。例如，a（1）=1到a（8）=10多集是：

%C｛1｝｛2｝｛12｝｛3｝｛13｝｛23｝｛123｝｛4｝

%C{11}{111}{22}{122}{113}{1113}{33}

%C{112}{1112]{222}{1222}{223}

%C{1111}{11111}{1122}{11122}{1123}

%丙{11112}{111112}{2222}

%C｛111111｝｛1111111｝｛11113｝

%丙{11222}

%丙{111122}

%丙{1111112}

%丙{11111111}

%C（结束）

%H T.D.Noe，n的表格，n=0..1000时的a（n）</a>

%H Max Alekseyev和Franklin T.Adams-Waters，关于Vladeta Jovovic观察结果的两个证明</a>

%H Giedrius Alkauskas，<a href=“网址：http://uosis.mif.vu.lt/~alkauskas/MP3/rodseth.pdf“>二元分区上rodseth-Gupta定理的推广，立陶宛数学杂志，43（2）（2003），103-110。

%H Giedrius Alkauskas，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Alkauskas/alkauskas2.html“>将成分计算为2次幂的函数的同余性质，J.Int.Seq.13（2010），10.5.3。

%H Joerg Arndt，<a href=“http://www.jjj.de/fxt/#fxtbook网站“>《计算事项》（The Fxtbook），第38.1节，第729页。

%H Scott M.Bailey和Donald M.Larson，<a href=“https://arxiv.org/abs/2107.01316“>Brown-Gitler谱同源性的A（1）-模结构</A>，arXiv:2107.01316[math.AT]，2021。

%H Valentin P.Bakoev，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/S0012-365X（03）00096-7“>计算某些类型m元分区的算法方法</a>，《离散数学》，275（2004），第17-41页。

%H Philippe Biane，<a href=“https://arxiv.org/abs/1810.00548“>Laver表和组合数学</a>，arXiv:11810.00548[math.CO]，2018。提到这个序列。

%H Peter J.Cameron、Firdous Ee Jannat、Rajat Kanti Nath和Reza Sharafdini，<a href=“https://arxiv.org/abs/2403.09423“>关于群的共轭类图的调查，arXiv:2403.09423[math.GR]，2024。

%H Karl Dilcher和Larry Ericksen，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL22/Dilcher/dilcher44.html“>受限b元配分函数的多项式类似物，J.Int.Seq.，Vol.22（2019），Article 19.3.2。

%H Philippe Flajolet和Robert Sedgewick，<a href=“http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/books.html“>分析组合数学，2009年；参见第48、581页。

%H Maciej Gawron、Piotr Miska和Maciej Ulas，<a href=“https://arxiv.org/abs/1703.01955“>Prod_｛n>=0｝（1-x^（2^n））^t的幂级数展开系数的算术性质</a>，arXiv:1703.01955[math.NT]，2017。

%H Michael D.Hirschorn和James A.Sellers，<A href=“http://web.maths.unsw.edu.au/~mikeh/webpapers/paper110.pdf“>多元分区的不同视图，澳大利亚联合期刊，第30卷（2004），193-196。

%H乔纳森·乔丹和理查德·索斯韦尔，<a href=“http://dx.doi.org/10.4236/am.2010.15045“>再现图的进一步性质，应用数学，第1卷，第5期，2010年，第344-350页。doi:10.4236/am.2010.15045.-发件人：N.J.A.Sloane，2013年2月3日

%康熙·卡奇和帕夫洛斯·泽米亚斯，<a href=“http://mi.mananet.ru/adm508“>关于m元分区数，《代数与离散数学》，第19卷（2015年），第1期，第67-76页。

%H MatjaćKonvalinka和Igor Pak，<a href=“http://www.math.ucla.edu/~pak/papers/CayleyComp7.pdf“>Cayley复合、分割、多胞和几何双射</a>，组合理论杂志，a辑，第123卷，第1期，2014年4月，第86-91页；另请参阅<a href=”https://doi.org/10.1016/j.jcta.2013.11.008“>DOI链接。-摘自N.J.a.Sloane，2012年12月22日

%H Apisit Pakapongpun和Thomas Ward，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL12/Ward/ward17.html“>功能轨道计数，J.Int.Seq.，12（2009）09.2.4，示例25。

%HØystein J.Rodseth和James A.Sellers，<A href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL8/Sellers/sellers75.html“>关于限制m-非齐次配分函数，整数序列杂志，第8卷（2005），第05.5.4条。

%H David Ruelle，<a href=“http://www.ams.org/notices/200208/fea-ruelle.pdf“>动态zeta函数和转移运算符</a>，《美国数学学会通告》，49（2002年第8期），887-895；见第888页。

%H N.J.A.Sloane和James A.Sellers，<A href=“http://arxiv.org/abs/math/0312418“>在非均衡分区上，arXiv:math/0312418[math.CO]，2003。

%H N.J.A.Sloane和James A.Sellers，<A href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2004.11.014“>关于非均匀分区，《离散数学》，294（2005），259-274。

%F a（2m+1）=a（2m），a（2m，a（2m-1）+a（m）。证明：如果n是奇数，则有一部分大小为1；去掉它会得到n-1的分区。如果n是偶数，要么有大小为1的部分，去掉它就得到n-1的分区，否则所有部分都是大小均匀的，每个部分除以2就得到n/2的分区。

%F G.F.：1/产品{j>=0}（1-x^（2^j））。

%F a（n）=（1/n）*和{k=1..n}A038712（k）*a（n-k），n>1，a（0）=1.-_Vladeta Jovovic_，2002年8月22日

%F a（2*n）=a（2*n+1）=A000123（n）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年8月25日

%如果n=0，则F a（n）=1，如果n>0.-，则求和{j=0..floor（n/2）}a（j）_David W.Wilson，2007年8月16日

%F G.F.A（x）满足A（x^2）=（1-x）*A（x）.-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年8月25日

%F G.F.A（x）满足0=F（A（x，A（x^2），A（x^4）），其中F（u，v，w）=u^2*w-2*u*v^2+v^3_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年4月10日

%F G.F.A（x）满足0=F（A（x”），A（x^2），A_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2006年10月15日

%F G.F.：1/（总和{n>=0}x^邪恶（n）-x^可恶（n）），其中邪恶（n_Paul D.Hanna，2012年1月23日

%设A（x）由g.F.得到，B（x）=A（x^k），然后0=B*（（1-A）^k-（-A）^k）+（-A_Joerg Arndt_，2012年12月17日

%F G.F.：产品{n>=0}（1+x^（2^n））^（n+1），请参阅fxtbook链接_Joerg Arndt_，2014年2月28日

%F G.F:1+总和{i>=0}x ^（2^i）/产品{j=0..i}（1-x^（2 ^j））_伊利亚·古特科夫斯基，2017年5月7日

%e.G.f.=1+x+2*x^2+2*x|3+4*x^4+4*x^5+6*x^6+6*x|7+10*x^8+。。。

%e a（4）=4：分区是4，2+2，2+1+1，1+1+1。

%e a（7）=6：分区是4+2+1，4+1+1+1，2+2+2+1，2=2+1+1，2+1+1+1，1+1+1+1+1。

%e摘自Joerg Arndt_2012年12月17日：（开始）

%e 10的a（10）=14二进制分区是（按字典顺序）

%e[1][1 1 1 1 1 11 1 1 1 1]

%e[2][2 11 11 11 11]

%e[3][2 2 1 1 1 1 1]

%e[4][2 2 2 1 1 1 1]

%e[5][2 2 2 2 1 1]

%e【6】【2 2 2 2】

%e[7][4 1 1 1 1 1]

%e[8][4 2 1 1 1 1]

%e[9][4 2 2 1 1]

%电子[10][4 2 2 2]

%e[11][4 4 1 1]

%e[12][4 4 2]

%e【13】【8 1 1】

%e[14][8 2]

%e通过将1附加到列表中的每个分区，得到11的a（11）=14二进制分区。

%e 10的a（10）=14个非挤压分区是（按字典顺序）

%e[1][6 3 1 1]

%e[2][6 3 2]

%电子[3][6 4 1]

%e[4][6 5]

%e[5][7 2 1 1]

%e【6】【7 2 2】

%e[7][7 3 1]

%e【8】【7】

%e【9】【8 2 1】

%电子[10][83]

%e[11][9 1 1]

%e[12][9 2]

%电子[13][10 1]

%电子[14][11]

%e通过在列表中每个分区的第一部分加上1，得到11的a（11）=14个非等分分区。

%e（结束）

%e摘自_David V.Feldman_，2020年1月29日：（开始）

%e 10的a（10）=14个非借用分区是（按字典顺序）

%e[1][1 1 1 1 1 11 1 1 1 1]

%e[2][2 2 2 2]

%e[3]（3 1 1 1 1 11 1 1 1）

%e[4][3 3 1 1 1 1]

%e[5][3 3 2 2]

%e[6][3 3 3 1]

%e[7][5 1 1 1 1 1]

%e【8】【5】

%e【9】【6 2 2】

%e[10][6 4]

%e[11][7 1 1 1]

%e[12][7 3]

%e[13][9 1]

%电子[14][10]

%e通过在每个分区（如果有的话）的第一个偶数部分加上1或在最后一个部分后面加上1，可以得到11的a（11）=14个非借用分区。

%e（结束）

%e例如，4的五个分区按非递增顺序写为[1、1、1、1]、[2、1和1]、[2]、2]、[3]、1]和[4]。最后四个满足条件，a（4）=4。下面的Maple程序对较小的n值进行了验证。

%p与（组合）；N： =8；a： =数组（1..N）；c： =阵列（1..N）；

%p表示n从1到n do p:=分区（n）；np:=nops（p）；t： =0；

%p对于s到np do r：=p[s]；r： =排序（r，`>`）；nr:=nops（r）；j： =1；

%p#而j<nr和r[j]>和（r[k]，k=j+1…nr）做j:=j+1；od；编号给出A040039

%p，而j<nr和r[j]>=总和（r[k]，k=j+1…nr）做j:=j+1；od；编号给出A018819

%p如果j=nr，则t:=t+1；光纤；a[n]：=t；od；编号约翰·麦凯

%t最大值=59；a[0]=a[1]=1；a[n_？奇数Q]：=a[n]=a[n-1]；a[n_？EvenQ]：=a[n]=a[n-1]+a[n/2]；表[a[n]，{n，0，max}]

%t（*或*）系数列表[系列[1/产品[（1-x^（2^j））]，{j，0，Log[2，max]//Ceiling}]，{x，0，max}]，x]（*_Jean-François Alcover_，2011年5月17日，2014年2月17日更新*）

%t a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，a[n]=a[n-1]+如果[EvenQ@n公司，a[商[n，2]，0]]；（*_Michael Somos，2022年5月4日*）

%t表格[Count[Integer Partitions[n]，_？（AllTrue[Log2[#]，IntegerQ]&）]，{n，0,60}]（*_哈维P.Dale_，2024年6月20日*）

%o（PARI）{n=15；v=矢量（n）；对于（i=1，n，v[i]=矢量（2^（i-1）v[i][j]<=n，c[v[i][j]]++）；c}/*_乔恩·佩里*/

%o（PARI）{a（n）=my（a，m）；如果（n<1，n==0，m=1；a=1+o（x）；而（m<=n，m*=2；a=subst（a，x，x^2）/（1-x））；波尔科夫（a，n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年8月25日*/

%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，如果（n%2，a（n-1），a（n/2）+a（n-1）））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年8月25日*/

%o（哈斯克尔）

%o a018819 n=a018819_列表！！n个

%o a018819_list=1:f（尾部a008619_list），其中

%o f（x:xs）=（总和$take x a018819_list）：f xs

%o——_Reinhard Zumkeller_，2012年1月28日

%o（哈斯克尔）

%o导入数据。列表（穿插）

%o a018819=（a018819_列表！！）

%o a018819_list=1:1:（<*>）（zipWith（+））（散布0）（尾部a018819 _ list）

%o---Johan Wiltink，2018年11月8日

%o（Python）

%o从functools导入lru_cache

%o@lru_cache（maxsize=无）

%o def A018819（n）：如果n==0，则返回1；否则返回A018819

%Y A000123是二进制配分函数的主要条目，并提供了更多的属性和引用。

%Y参考A115625（标记的二进制分区）和A115626（标记的非均匀分区）。

%A106400的Y卷积逆。

%Y参见A023893、A062051、A105420、A131995、A040039、A018819、A088567、A089054、A115361、A168261、A171238、A179051、A008619。

%Y A048675中n的倍数，对于不同的素数指数A087207。

%A277905的Y行长度。

%Y A118462列出了严格整数分区的二进制秩，行和为A372888。

%Y A372890将整数分区的二进制秩相加。

%Y二进制指数：A000120、A001511、A029931、A048793、A070939、A272020。

%Y参见A005940、A019565、A056239、A158704、A15870%、A231204、A277319、A372688。

%K nonn，很好，很容易，改变了

%0、3

%A·热心的W·威尔逊、N·J·A·斯隆和J·H·康威_