%I#308 2024年6月8日16:44:54

%S 0,3,10,21,36,55,78105136171210253300351406465528595666，

%电话7418209039901081117612751378148515961711183019532080，

%电话：22112346248526282775292630813240340337703741391640954278

%N第二个六角形数：a（N）=N*（2*N+1）。

%C注意，当从a（n）^2开始时，第一个n+1和下一个n个连续方块之间的序列相等：a（n（a（n）+n）^2=（a（n）+n+1）^2+（a（m）+n+2）^2+…+（a（n）+2*n）^2；例如，10^2+11^2+12^2=13^2+14^2_Henry Bottomley，2001年1月22日；2015年9月10日，_Zak Seidov修复了拼写错误

%C a（n）=第二组n个连续偶数的和-第一组n个连续奇数的和：a（1）=4-1，a（3）=（8+10+12）-（1+3+5）=21_Amarnath Murthy，2002年11月7日

%奇数3模4的部分和，即3，3+7，3+7+11。。。参见A001107_Jon Perry，2004年12月18日

%C如果Y是（2n+1）-集X的固定3-子集，则a（n）是与Y.-Milan Janjic_，2007年10月28日相交的X的（2n-1）-子集的数目

%C更一般地（见第一条注释），对于n>0，设b（n，k）=a（n）+k*（4*n+1）。然后b（n，k）^2+（b（n、k）+1）^2+…+（b（n，k）+n）^2=（b（n，k）+n+1+2*k）^2+…+（b（n，k）+2*n+2*k）^2+k^2；例如，如果n=3和k=2，则b（n，k）=47和47^2+…+50^2 = 55^2 + ... + 57^2 + 2^2. - _Charlie Marion，2011年1月1日

%C从0开始，沿0，10，…，方向读取行，得到序列。。。，从3开始的直线，在方向3，21。。。，在顶点为三角形编号A000217的方形螺旋中_Omar E.Pol，2011年11月9日

%C a（n）是以2n+1为底的金字塔板中多米诺骨牌的位置数_塞萨尔·埃利乌德·洛扎达，2012年9月26日

%C三角形A120070连续两行行和的差异，即A016061的第一个差异_J.M.Bergot_，2013年6月14日【换句话说，该序列的部分和给出A016061_Leo Tavares_，2021年11月23日]

%C a（n）*Pi是旋转n次后半圆螺旋的总长度。请参阅链接中的插图_Kival Ngaokrajang，2013年11月5日

%C关于Henry Bottomley第一次评论中的相应金额，请参见A059255_扎克·塞多夫，2015年9月10日

%Ca（n）还给出了简单李代数B_n（n>=2）和C_n（n>=3）的维数_Wolfdieter Lang，2015年10月21日

%C当T_（i+1，i）=a（i+1）和下三角矩阵T零的所有其他元素时，T是无符号A130757的无穷小生成器，类似于Pascal矩阵的A132440。-Tom Copeland_，2015年12月13日

%C带交替符号的部分平方和，以偶数项结尾：a（n）=0^2-1^2+-…+（2*n）^2，参见Berselli的示例和公式，2013年_M.F.Hasler，2018年7月3日

%C也使用以下性质对k进行编号：在sigma（k）的对称表示中，最小Dyck路径具有中心峰，最大Dyck道路具有中心谷，n>0。（参见A237593.）-罗马E.Pol_，2018年8月28日

%C a（n）是顶点位于（0,0）、（2*n+1，2*n）和（2*n+1）^2，4*n^2）的三角形的面积_Art Baker_，2018年12月12日

%C该序列是A000217的最大子序列，因此gcd（a（n），2*n）=a_托拉赫·拉什，2019年9月9日

%C以下是哈斯勒评论（2018年7月3日）的概述。设P（k，n）为第n个k次方数。然后，对于k>1，带有交替符号的{P（k，n）}的部分和，以偶数项结束，=n*（（k-2）*n+1）_Charlie Marion，2021年3月2日

%C设M_n（H）中的U_n（H={A）：A*A^H=I_n}是四元数上n个Xn酉矩阵的群（A^H是A的共轭转置。注意，通过将A和A^H映射到（2n）X（2n作为实向量空间。基础由{（E）给出_{标准}-E_｛ts｝）、i*（E_｛st｝+E_｛ts｝）、j*（E_｛st｝+E_｛ts｝）、k*（E_｛st｝+E_｛ts｝_宋建宁，2021年4月5日

%D Louis Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第77-78页。（在第77页的积分公式中，余弦参数缺少左括号。）

%H Reinhard Zumkeller，n表，n=0..10000的a（n）</a>

%H Matthew Cho、Anton Dochtermann、Ryota Inagaki、Suho Oh、Dylan Snustad和Bailee Zacovic，<a href=“https://arxiv.org/abs/2306.09315“>芯片发射和有符号图的关键组</a>，arXiv:2306.09315[math.CO]，2023。见第22页。

%H Robert FERREOL，插图：偶数阶三角数</a>

%韩国牛（H Guo-Niu Han），《标准拼图的枚举》（Enumeration of Standard Puzzles），2011年。[缓存副本]

%韩国牛，<a href=“https://arxiv.org/abs/2006.14070“>标准拼图的枚举</a>，arXiv:2006.14070[math.CO]，2020。

%H米兰Janjic，<a href=“https://pmf.unibl.org/janjic/“>两个枚举函数，巴尼亚卢卡大学（波斯尼亚和黑塞哥维那，2017年）。

%安吉拉·梅斯特和何塞·阿加皮托，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL22/Mestre/mestre2.html（英文）“>由Riordan阵列序列生成的平方矩阵，J.Int.Seq.，第22卷（2019年），第19.8.4条。

%H Kival Ngaokrajang，《半圆螺旋的图解》。

%H Amelia Carolina Sparavigna，<a href=“https://doi.org/10.5281/zenodo.3471358“>Mersenne、Fermat、Cullen、Woodall和其他数的群胚及其通过整数序列的表示，意大利都灵理工大学（2019）。

%H Amelia Carolina Sparavigna，<a href=“https://doi.org/10.5281/zenodo.3470205“>三角数的群胚和相关整数序列的生成，意大利都灵理工大学（2019）。

%H Leo Tavares，插图：方形六边形。

%双向无限序列的索引项</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_03”>具有常系数的线性重复出现的索引条目，签名（3，-3,1）。

%F a（n）=3*Sum_{k=1..n}tan^2（k*Pi/（2*（n+1）））.-_伊格纳西奥·拉罗萨·卡涅斯特罗，2001年4月17日

%F a（n）^2=n*（a（na（n）+2*n）；例如，10^2=2*（11+12+13+14）_Charlie Marion，2003年6月15日

%F发件人：N.J.A.Sloane，2003年9月13日：（开始）

%F G.F.:x*（3+x）/（1-x）^3。

%例如：exp（x）*（3*x+2*x^2）。

%F a（n）=A000217（2*n）=A000384（-n）。（完）

%F a（n）=A084849（n）-1；A100035（a（n）+1）=1.-_Reinhard Zumkeller，2004年10月31日

%F a（n）=A126890（n，k）+A126890（n，n-k），0<=k<=n。-Reinhard Zumkeller_，2006年12月30日

%F a（2*n）=A033585（n）；a（3*n）=A144314（n）_Reinhard Zumkeller_，2008年9月17日

%F a（n）=a（n-1）+4*n-1（a（0）=0）_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2010年12月24日

%F a（n）=总和{k=0.2*n}（-1）^k*k^2。-_Bruno Berselli，2013年8月29日

%F a（n）=A242342（2*n+1）_Reinhard Zumkeller，2014年5月11日

%F a（n）=和{k=0..2}C（n-2+k，n-2）*C（n+2-k，n），对于n>1_J.M.Bergot，2014年6月14日

%F a（n）=楼层（总和{j=（n^2+1）..（（n+1）^2-1）}平方（j））。每个和的分数部分收敛到1/6，即n->无穷大。关于j^（3/2）的类似求和序列以及对其他此类序列的引用，请参见A247112_理查德·福伯格，2014年12月2日

%Fa（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3），其中n>=3，a（0）=0，a（1）=3，a（2）=10_Harvey P.Dale_，2015年2月10日

%F和{n>=1}1/a（n）=2*（1-对数（2））=0.61370563888010938…（A188859）.-_瓦茨拉夫·科特索维奇，2016年4月27日

%F From_Wolfdieter Lang，2018年4月27日：（开始）

%F a（n）=三项式（2*n，2）=三项式（2*n，2*（2*n-1）），对于n>=1，带有三项式不规则三角形A027907；即，三项式（n，k）=A027907（n，k）。

%F a（n）=（1/Pi）*积分{x=0..2}（1/sqrt（4-x^2））*（x^2-1）^（2*n）*R（4*（n-1），x），对于n>=0，R多项式系数在A127672中给出，R（-m，x）=R（m，x）。[见Comtet，第77页，q=3，n->2*n，k=2的积分公式，用x=2*cos（phi）重写。]（结束）

%F a（n）=A002943（n）/2.-_拉尔夫·斯坦纳（Ralf Steiner），2019年7月23日

%F a（n）=A000290（n）+A002378（n）.-_托拉赫·拉什，2020年11月2日

%F a（n）=A003215（n）-A000290（n+1）。请参见方形六边形图示_利奥·塔瓦雷斯，2021年11月23日

%F和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=Pi/2+log（2）-2.-_阿米拉姆·埃尔达尔，2021年11月28日

%e对于n=6，a（6）=0^2-1^2+2^2-3^2+4^2-5^2+6^2-7^2+8^2-9^2+10^2-11^2+12^2=78_Bruno Berselli，2013年8月29日

%p序列（二项式（2*n+1,2），n=0..46）；#_Zerinvary Lajos，2007年1月21日

%t表[n*（2*n+1），{n，0100}]（*_Vladimir Joseph Stephan Orlovsky_，2008年11月16日*）

%t线性递归[{3，-3,1}，{0,3,10}，50]（*哈维·P·戴尔，2015年2月10日*）

%t系数列表[系列[x*（3+x）/（1-x）^3，{x，0，50｝]，x]（*_Stefano Spezia_，2018年9月2日*）

%o（PARI）a（n）=n*（2*n+1）

%o（哈斯克尔）

%o a014105 n=n*（2*n+1）

%o a014105_list=scanl（+）0 a004767_list--_Reinhard Zumkeller_，2012年10月3日

%o（岩浆）[n*（2*n+1）：n in[0..50]]；//_韦斯利·伊万·赫特，2014年6月14日

%o（GAP）列表（[0..50]，n->n*（2*n+1））；#_Muniru A Asiru_，2018年10月31日

%o（鼠尾草）[n*（2*n+1）表示n在范围（50）内]#_G.C.Greubel_，2018年12月16日

%Y参见A000217、A000290、A000384、A002378、A002943、A100040、A100041、A081266、A144312。

%Y参见A033567、A033585、A059255、A130757、A132440、A027907。

%Y数组A094416的第二列。

%Y等于A033586（n）除以4。

%Y见A132124的评论。

%Y第二个n角编号：A005449、A147875、A045944、A179986、A033954、A062728、A135705。

%Y行在三角形A253580中求和。

%Y参考A016061、A003215、A000290、A188859。

%K nonn，简单，改变了

%0、2

%A _N.J.A.Sloane，1998年6月14日

%2010年2月4日，Johannes W.Meijer添加了E Link并纠正了小错误