%I#176 2022年12月11日11:49:33

%S 1,1,2,1,3,4,1,4,7,8,1,5,11,15,16,16,16，26,31,32,1,7,22,57,63,64，

%电话：1,8,29,64,99120127128,1,9,37,93163219247255256,1,10,46130，

%电话：25638246650251512,1,11,561763866388489681013102312,12,67232562102414861981203620472048

%N由二项式系数的部分和行读取的三角形：T（N，k）=和{i=0..k}二项式（N，i）（0<=k<=N）；还有Reed-Muller代码的尺寸。

%C左中柱第二列为A000346:T（2n+2，n）=A000346（n）Ed Catmur（Ed（AT）Catmur.co.uk），2006年12月9日

%C T（n，k）是共维1的n个超平面将R^k（不含Icing数的Cake-W）划分成的最大区域数_罗布·约翰逊（Rob Johnson），2008年7月27日

%C T（n，k）给出了n维单位立方体距离k（沿边测量）内的顶点数（即，超立方体图Q_n上与参考顶点的距离小于等于k的顶点数）_Robert Munafo，2010年10月26日

%C一个类似于帕斯卡三角形的三角形，但在右边界上用2^n表示n>=0，而不是1。-_Boris Putievskiy_，2013年8月18日

%C关于广义帕斯卡三角形的闭合公式，见A228576_Boris Putievskiy_，2013年9月4日

%C将每个“1”视为两个序列的顶点：第一个是与“1”位于同一行中的一组项，但该行中最右边的项无限重复。示例：行（1，4，7，8）变为（1，4,7,8,8，…）。第二个序列以相同的“1”开始，但对角线向下向右，因此：（1，5，16，42，99，219，466，…）。对于所有这样的序列对，在这种情况下，第一个（1，4，7，8，8，…）的二项式变换似乎都是如此；等于秒：（1、5、16、42、99…）_Gary W.Adamson_，2015年8月19日

%C设T*是由这些规则生成的根为0的无限树：如果p在T*中，则p+1在T*，x*p在Tx中。设q（n）是T*第n代多项式的和。对于n>=0，A008949的第n行给出q（n+1）的系数；例如，（第3行）=（1，4，7，8）匹配x^3+4*x^2+7*x+9，这是第四代T*中8个多项式的和_克拉克·金伯利（Clark Kimberling），2016年6月16日

%C T（n，k）是最大大小为k的[n]={1，…，n}的子集的数目。等价地，T（n、k）是最小大小为n-k的[n]的子集的数量。通过对此类子集的最小（n-k）元素中的最大元素m进行条件处理来计算最小大小（n-k，通过让j=m-n+k，我们得到T（n，k）=Sum{j=0..k}C（n+j-k-1，j）*2^（k-j）_Dennis P.Walsh_，2017年9月25日

%C如果整数1..n的区间被k上移或下移，形成新的区间1+k..n+k或1-k.n-k，则T（n-1，n-1-k）（=2^（n-1）-T（n-1，k-1））是新区间的子集数，其中包含自己的基数作为元素_David Pasino，2018年11月1日

%这个三角形也称为伯努利三角形_Robert FERREOL，2022年10月11日

%D F.J.MacWilliams和N.J.A.Sloane，《纠错码理论》，Elsevier-North Holland，1978年，第376页。

%H Harvey P.Dale，n的表格，n=0..10000的a（n）</a>

%H Milica Andelic、C.M.da Fonseca和A.Pereira，<A href=“https://arxiv.org/abs/1609.04208“>The mu-permanent，a new graph labeling，and a known integer sequence，arXiv:1609.04208[math.CO]，2016。

%H Rob Johnson，<a href=“http://web.archive.org/web/2014082220215/http://www.wivo.org/nebuva/math/spacediv.html“>分割空间。

%H Norman Lindquist和Gerard Sierkma，<a href=“https://doi.org/10.1016/0097-3165（81）90015-7“>集分区的扩展，组合理论杂志，a系列31.2（1981）：190-198。见表一。

%H Denis Neiter和Amsha Proag，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL19/Proag/proag3.html“>伯努利三角形中路径和与斐波那契数之间的联系，整数序列杂志，第19卷（2016年），第16.8.3条。

%H Dennis P.Walsh，<a href=“http://capone.mtsu.edu/dwalsh/subcount.pdf“>关于计算限制大小子集的注释</a>

%H<a href=“/index/Pas#Pascal”>为与Pascal三角形相关的三角形和数组的条目建立索引</a>

%F来自Pascal三角形A007318行的部分和。

%F（n，0）=1，T（n，n）=2^n，T（m，k）=T（n-1，k-1）+T（n-1，k），0<k<n。

%联邦政府：（1-x*y）/（1-y-x*y安东尼奥·冈萨雷斯（gonfer00（AT）gmail.com），2009年9月8日

%F T（2n，n）=A032443（n）-_菲利普·德雷厄姆，2009年9月16日

%F T（n，k）=2 T（n-1，k-1）+二项式_M.F.Hasler，2010年5月30日

%F T（n，k）=二项式（n，n-k）*2F1（1，-k；n+1-k；-1）_Olivier Gérard_，2012年8月2日

%F关于类帕斯卡三角形任意左右边界的闭合公式，请参见A228196_Boris Putievskiy_，2013年8月18日

%F T（n，楼层（n/2））=A027306（n）.-_Reinhard Zumkeller，2014年11月14日

%F T（n，n）=2^n，否则对于0<=k<=n-1，T（n、k）=2^n-T（n），n-k-1）_Bob Selcoe_，2017年3月30日

%F对于固定j>=0，lim_{n->oo}T（n+1，n-j+1）/T（n，n-j）=2_Bob Selcoe，2017年4月3日

%F T（n，k）=和{j=0..k}C（n+j-k-1，j）*2^（k-j）.-_Dennis P.Walsh，2017年9月25日

%e三角形开始：

%e 1；

%e 1、2；

%e 1、3、4；

%e 1、4、7、8；

%e 1、5、11、15、16；

%e 1、6、16、26、31、32；

%e 1、7、22、42、57、63、64；

%e 1、8、29、64、99、120、127、128；

%e第1、9、37、93、163、219、247、255、256页；

%电子邮箱：1、10、46、130、256、382、466、502、511、512；

%电子邮箱：1、11、56、176、386、638、848、968、1013、1023、1024；

%e。。。

%p A008949:=进程（n，k）局部i；加法（二项式（n，i），i=0..k）结束；#R.J.Mathar于2010年10月26日纠正了打字错误

%t表格[长度[Select[子集[n]，（长度[#]<=k）&]]，{n，0，12}，{k，0，n}]//Grid（*_Geoffrey Critzer_，2009年5月13日*）

%t展平[累加/@表[二项式[n，i]，{n，0,20}，{i，0，n}]]（*哈维·P·戴尔，2015年8月8日*）

%tT[n_，k_]：=如果[n<0|k>n，0，二项式[n，k]超几何2F1[1，-k，n+1-k，-1]；（*迈克尔·索莫斯，2017年8月5日*）

%o（PARI）A008949（n）=T8949（t=平方（2*n-sqrtint（2*n）），n-t*（t+1）/2）

%o T8949（r，c）={2*c>r||return（总和（i=0，c，二项式（r，i）））

%o（PARI）{T（n，k）=如果（k>n，0，和（i=0，k，二项式（n，i）））}；/*_Michael Somos，2017年8月5日*/

%o（哈斯克尔）

%o a008949 n k=a008949_tabl！！不！！k个

%o a008949_当前n=a008949_tabl！！n个

%o a008949_tabl=映射（扫描1（+））a007318_tabl

%o——Reinhard Zumkeller，2012年11月23日

%o（GAP）T:=平面（列表（[0..11]，n->列表（[0.n]，k->总和（[0..k]，j->二项式（n+j-k-1，j）*2^（k-j）））；#_Muniru A Asiru_，2018年11月25日

%o（岩浆）[[（&+[二项式（n，j）：j in[0..k]]）：k in[0..n]]：n in[0..12]]；//_G.C.Greubel，2018年11月25日

%o（Sage）[[范围（k+1）中j的总和（二项式（n，j）），范围（n+1）中k的总和]，范围（12）中n的总和]#_G.C.Greubel_，2018年11月25日

%Y对角线由A000079、A000225、A000295、A002662、A00266、A0021664、A035038-A035042给出。

%Y列由A000012、A000027、A000124、A000125、A000127、A006261、A008859、A008860、A00886、A008812、A008873给出_Ken Shirriff，2011年6月28日

%Y行和序列为A007192。

%Y T（n，m）=A055248（n，n-m）。

%Y参见A110555、A007318、A000346、A171886、A228196、A228576。

%Y另请参阅A027306、A249111、A163866、A261363。

%Y参考A000071、A001924

%K tabl，不，简单，好

%0、3

%A·N·J·A·斯隆_

%E更多来自Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）的术语，2000年3月23日