%I#130 2024年4月28日16:22:13

%S 1，-1，-1,1，-1,1,-1，-1,1,1，-1,1,1，-1，-1，1,1,1,1，-1，

%T-1，-1，-1，-1，-1，-1,1,1,1,1，-1,1,1,1，-1，-1，-1，-1，-1，-1，-1，-1，-1，-1，-1，-1，-1，-1，-1，-1，-1，-1，-1，-1，

%U 1,1,1,1,1，-1,1，-1,1,1，-1，-1,1,1，-1，-1，-1-，-1

%N Liouville函数lambda（N）=（-1）^k，其中k是素数除以N（以重数计算）。

%C Coons和Borwein：“我们给出了Fatou定理的一个新证明：如果一个代数函数有一个带有界整数系数的幂级数展开式，那么它一定是一个有理函数。这个结果被用来证明对于任何从N到{-1,1}的非平凡完全乘法函数，级数sum_{N=1..无穷}f（N）z^n是{z}[z]上的超越；特别地，sum{n=1..无穷大}lambda（n）z^n是超越的，其中lambda是Liouville函数。还证明了sum_{n=1..无穷大}mu（n）z^n的超越性。“-_Jonathan Vos Post_，2008年6月11日

%C Coons证明，对于任何k>2，a（n）都不是k自动的_Jonathan Vos Post，2008年10月22日

%Riemann假设等价于这样的陈述：对于每个固定ε>0，lim_{n->infinity}（a（1）+a（2）+…+a（n））/n^（1/2+ε）=0（Borwein等人，定理1.2）_Arkadiusz Wesolowski，2013年10月8日

%D T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第37页。

%D P.Borwein、S.Choi、B.Rooney和A.Weirathmueller，《黎曼假设：Aficionado和Virtuoso Alike的资源》，施普林格，柏林，2008年，第1-11页。

%D H.Gupta，《关于L（n）值表》，《印度科学院院刊》。A部分，12（1940），407-409。

%D H.Gupta，刘维尔函数L（n）的值表，东旁遮普大学研究公报，第3期（1950年2月），45-55。

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%D J.Roberts，《整数的诱惑》，数学。美国协会，1992年，第279页。

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%H T.D.Noe，n的表格，n的a（n）=1..10000</a>

%H P.Borwein、R.Ferguson和M.J.Mossinghoff，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0025-5718-08-002036-X“>Liouville函数和的符号变化</a>，Math.Comp.77（2008），1681-1694。

%H Benoit Cloitre，<a href=“http://arxiv.org/abs/1107.0812“>RH的牛头字方法，arXiv:1107.0812[math.NT]，2011。

%H Michael Coons和Peter Borwein，<a href=“http://arxiv.org/abs/0806.1563“>一些数论函数幂级数的超越性</a>，arXiv:0806.1563[math.NT]，2008。

%H Michael Coons，<a href=“http://arxiv.org/abs/0810.3709“>（非）数论函数的自动性</a>，arXiv:0810.3709[math.NT]，2008。

%H H.Gupta，《印度科学院院刊》，L（n）值表。A部分，12（1940），407-409。[带注释的扫描副本]

%H R.S.Lehman，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5“>关于Liouville函数，《数学与计算机》，第14卷（1960年），第311-320页。

%H Andrei Vieru，<a href=“http://arxiv.org/abs/1306.0496“>Euler常数是Riemann-zeta函数极点的重整化值。与Dirichlet L函数相关的原理</a>，arXiv:1306.0496[math.GM]，2015。

%H H.Walum，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/0022-314X（80）90072-4“>模素数二次剩余列表和Liouville lambda函数值中的循环模式，J.Numb.理论12（1）（1980）53-56。

%H Eric Weistein的《数学世界》，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/LiouvilleFunction.html“>Liouville函数</a>

%H维基百科，<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_function网站“>Liouville函数</a>

%H<a href=“/index/Di#divseq”>可除序列索引</a>

%H<a href=“/index/Eu#epf”>根据n的因式分解中的指数计算序列的索引项</a>

%F Dirichlet g.F.：zeta（2s）/zeta（s）；A008966的Dirichlet逆。

%如果n是正方形，F和{d除以n}λ（d）=1，否则为0。

%F与a（p）=-1，p素数完全相乘。

%F a（n）=（-1）^A001222（n）＝（-1）μbigomega（n）.-_Jonathan Vos Post，2006年4月16日

%F a（n）=A033999（A001222（n））_雅罗斯拉夫·克里泽克，2009年9月28日

%F和{d|n}a（d）*（A000005（d））^2=a（n）*和{d*n}A000005_Vladimir Shevelev，2010年5月22日

%F a（n）=1-2*A066829（n）.-_Reinhard Zumkeller_，2011年11月19日

%F a（n）=i^（tau（n^2）-1），其中tau（n）是A000005，i是虚单位_安东尼·布朗，2016年5月11日

%F a（n）=A106400（A156552（n））_Antti Karttunen_，2017年5月30日

%F递归：a（1）=1，n>1:a（n）=符号（1/2-Sum_{d<n，d|n}a（d））。-_Mats Granvik，2017年10月11日

%F a（n）=总和{d|n}A008683（d）*A010052（n/d）_王金源2019年4月20日

%F a（1）=1；a（n）=-和{d|n，d<n}μ（n/d）^2*a（d）.-_伊利亚·古特科夫斯基，2021年3月10日

%F a（n）=（-1）^ A349905（n）.-_Antti Karttunen，2022年4月26日

%e a（4）=1，因为由于bigomega（4）=2（素数2被计数两次），那么（-1）^2=1。

%e a（5）=-1，因为5是素数，因此bigomega（5）=1和（-1）^1=-1。

%p A008836:=n->（-1）^numtheory[bigomega]（n）；#_Peter Luschny_，2011年9月15日

%p with（numtheory）:A008836:=进程（n）局部i，it，s；它：=ifactors（n）：s：=（-1）^add（it[2][i][2]，i=1..nops（it[2]））：返回结束：

%t表[LiouvilleLambda[n]，{n，100}]（*_Enrique Pérez Herrero_，2009年12月28日*）

%t表[If[OddQ[PrimeOmega[n]]，-1,1]，{n，110}]（*哈维·P·戴尔，2014年9月10日*）

%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，n=因子（n）；（-1）^和（i=1，矩阵大小（n）[1]，n[i，2]））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2006年1月1日*/

%o（PARI）a（n）=（-1）^bigomega（n）\\_Charles R Greathouse IV_，2013年1月9日

%o（哈斯克尔）

%o a008836=（1-）。(* 2) . a066829--Reinhard Zumkeller，2011年11月19日

%o（Python）

%o来自sympy进口保理商

%o def A008836（n）：如果sum（factorint（n）.values（））%2其他1#_Chai Wah Wu_，2022年5月24日，则返回-1

%Y参见A000005、A001222、A002053、A007421、A002819（部分总和）、A008683、A010052、A026424、A028260、A028488、A056912、A056911、A065043、A066829、A106400、A156552、A349905。

%A010052的Yöbius变换。

%Y参考A182448（s=2时的Dgf）、A347328（s=3时的D gf）和A347329（s=4时的D GF）。

%K符号，简单，漂亮，多特

%O 1,1号机组

%A _N.J.A.斯隆_