%I#590 2024年9月14日01:38:30

%S 1,1,1,1,3,1,7,6,1,15,25,10,1,1,31,90,65,15,1,1,1,63301350140,21，

%电话：1.112796617011050266，28,1,125530257770695126462,36,1,1，

%电话：511933034105425228275880750,45,10232850114575024673017948763987118801155,55,1

%N第二类斯特林数的三角，S2（N，k），N>=1，1<=k<=N。

%C也称为斯特林集合数，写为{n，k}。

%CS2（n，k）将n个集合的分区计数为k个非空子集。

%C关于前面的注释：对于由k个非空子集构成的n集的任意（包括非不相交）覆盖，请参见A055154_Manfred Boergens_，2024年5月20日

%C三角形S2（n，k），1<=k<=n，按行读取，由[0，1，0，2，0，3，0，4，0，5，0，6，…]DELTA[1，0，1，0,1，0。

%C{1，…，n+1}到k+1个非空非连续整数子集的分区数，包括分区1|2||n+1如果n=k。例如，S2（3,2）=3，因为{1,2,3,4}划分为三个子集的不连续整数的数目是3，即13|2|4，14|2|3，1|24|3_Augustine O.Munagi，2005年3月20日

%C从一副k张卡中抽出n张卡（带替换卡）。假设prob（n，k）是每张牌至少抽一次的概率。那么prob（n，k）=S2（n，k）*k/k^n（参见A090582）_Rainer Rosenthal_，2005年10月22日

%C定义f_1（x），f_2（x）。。。，f_1（x）=e^x，n=2，3。。。，f{n+1}（x）=（d/dx）（x*fn（x））。那么f_n（x）=e^x*Sum_{k=1..n}S2（n，k）*x^（k-1）.-_米兰Janjic_，2008年5月30日

%C From _Peter Bala，2008年10月3日：（开始）

%C有关第二类限制斯特林数的表格，请参见A143494-A143496。

%C S2（n，k）使用k个不同的符号给出了长度为n的单词的“模式”数-有关术语“模式”的准确定义，请参见[Cooper&Kennedy]。例如，长度为6的单词AADCBB和XXEGTT具有相同的字母模式。长度为3的单词的五种模式是AAA、AAB、ABA、BAA和ABC，表中第3行为（1,3,1）。

%等价地，S2（n，k）给出长度为n的正整数（n_1，…，n_n）序列的个数，其中有k个不同的项，例如n_1=1和n_（i+1）<=1+max{j=1..i}n_j对于i>=1（限制增长函数）。例如，Stirling（4,2）=7，因为长度为4的序列有两个不同的条目，满足条件为（1,1,1,2）、（1,1,2,1）、（1.2,1,1）、（1.1,2,2）、“（1,2,2）”、“（1.2,2,1）”和“（1,2,1,2）”。

%C（结束）

%C平面内子集组合的数量_Mats Granvik，2009年1月13日

%C S2（n+1，k+1）是[n]的成对不相交的非空子集的大小为k的集合的数目。例如：S2（4,3）=6，因为[3]中有六个这样的子集集合具有基数二：{（1）（23）}、{（12）（3）}，{（13）（2）}和{（2）{，（1）_Geoffrey Critzer，2009年4月6日

%C考虑一组由n种颜色组成的A000217（n）个球，其中对于每个整数k=1到n，只有一种颜色出现在该球集中，总共k次。（每个球只有一种颜色，与其他颜色相同的球无法区分。）a（n+1，k+1）等于选择每种颜色的0个或多个球的方法数，即至少选择一次（n-k）颜色，并且没有两种颜色的选择次数相同_Matthew Vandermast_，2010年11月22日

%C S2（n，k）是n个顶点上的单调标记森林的数量，其中有k棵树，每棵树的高度不超过1。请参阅下面的链接“用斯特林和贝尔数字计算森林数量”_Dennis P.Walsh，2011年11月16日

%C如果D是算子D/dx，E是算子xd/dx。斯特林数由以下公式给出：E^n=Sum_{k=1..n}S2（n，k）*x^k*D^k.-Hyunwoo Jang，2011年12月13日

%C第二类Stirling多项式（又称Bell/Touchard多项式）是下降阶乘（又称Pochhammer符号或第一类Stiring多项式）的本影成分逆，即二项式（Bell（.，x），n）=x^n/n！（参考科普兰2007年的公式），表示二项式（xD，n）=二项式！其中D=D/dx和：xD:^n=x^n*D^n.-Tom Copeland_，2014年4月17日

%C S2（n，k）是嵌套n个matryoshkas（俄罗斯嵌套玩偶）的方法数，因此k个matryoshkas不包含在任何其他matryosh ka中_卡洛·桑纳，2015年10月17日

%C行多项式R（n，x）=Sum_｛k=1..n｝S2（n，k）*x^k出现在例如f的分子中。n次幂，e（n，x）=Sum_｛m>=0｝m^n*x^m/m！，因为E（n，x）=exp（x）*x*R（n，x），当n>=1时_Wolfdieter Lang，2017年4月2日

%C n和k的偏移量为0，这是谢弗积矩阵A007318*A048993，用（exp（t），（exp_Wolfdieter Lang，2017年6月20日

%C k+1个长度为n+1且无重复字母的未标记字母的字数。-_托马斯·安东，2019年3月14日

%C关于原点的泊松分布的矩系数也表示为λ中的多项式。[海特]（另见A331155）_N.J.A.Sloane，2020年1月14日

%谢谢*S2（n，k）是从n元集到k元集的满射数_宋建宁_，2022年6月1日

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%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%F S2（n，k）=k*S2（n-1，k）+S2（n-1，k-1），n>1。S2（1，k）=0，k>1。S2（1,1）=1。

%F例如：A（x，y）=E^（y*E^x-y）。例如，对于第m列：（E^x-1）^m/m！。

%F S2（n，k）=（1/k！）*和{i=0..k}（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*i^n。

%F行总和：钟形数A000110（n）=总和{k=1..n}S2（n，k），n>0。

%F S（n，k）=在所有（n-k）-组合{i_1，i_2，…，i_k}上求和的和（i_1*i_2*…*i_（n-k）），其中重复数为{1，2，…，k}。S（n，k）=总和（1^（r_1）*2^（r _2）*…*k^（r_k））对整数r_j>=0求和，对于j=1..k，求和{j=1..k}r_j=n-k_Wolfdieter Lang，2019年8月15日。

%F A019538（n，k）=k！*S2（n，k）。

%F A028248（n，k）=（k-1）！*S2（n，k）。

%F关于渐近性，请参阅Hsu（1948）等资料。

%F和{n>=0}S2（n，k）*x^n=x^k/（（1-x）（1-2x）（1-3）。。。（1-kx））。

%F设P（n）=n（A000041）的整数分区数，P（i）=n的第i个分区的部分数，d（i）=n的第i个分区的不同部分数，P=从i=1到i=P（n）的总和，但只考虑P（i）=m部分的分区。那么S2（n，m）=Sum_{i=1..P（n），P（i）=m}n/（产品{j=1..p（i）}p（i，j）！）*1/（产品{j=1..d（i）}m（i，j）！）。例如，S2（6，3）=90，因为n=6具有以下m=3部分的分区：（114）、（123）、（222）。他们的肤色是：（114）：6/(1!*1!*4!) * 1/(2!*1!) = 15, (123): 6!/(1!*2!*3!) * 1/(1!*1!*1!) = 60, (222): 6!/(2!*2!*2!) * 1/(3!) = 15. 络合物之和为15+60+15=90=S2（6，3）_托马斯·维德，2005年6月2日

%F和{k=1..n}k*S2（n，k）=B（n+1）-B（n），其中B（q）是贝尔数（A000110）_Emeric Deutsch，2006年11月1日

%F递归：S2（n+1，k）=和{i=0..n}二项式（n，i）*S2（i，k-1）。对于n=0或k=1，初始条件S2（n，k）=1，以及对于k=0，S2（k，n）=0，我们有密切相关的递归S2（m，k）=Sum_{i=k.n}二项式（n-1，i-1）*S2（i-1，k-1）_托马斯·维德，2007年1月27日

%F第二类Stirling数的表示S2（n，k），n=1,2，。。。，k=1,2，。。。，n、 作为（n）F（n-1）型超几何函数的特殊值：S2（n，k）=（-1）^（k-1）*超几何（[-k+1,2,2，…，2]，[1,1，…，1]，1）/（k-1！，即，分子中有n个参数：一个等于-k+1，n-1个参数都等于2；并且分母中的n-1个参数全部等于1，自变量的值等于1。示例：S2（6，k）=seq（evalf（（-1）^（k-1）*超地理（[-k+1,2,2,2,2]，[1,1,1,1]，1）/（k-1！），k=1..6）=1,31,90,65,15,1.-_卡罗尔·彭森，2007年3月28日

%F来自Tom Copeland_，2007年10月10日：（开始）

%F Bell_n（x）=和{j=0..n}S2（n，j）*x^j=和{j=0..n}E（n，j）*滞后（n，-x，j-n）=和（n！*Lag（n，-x，j-n））=Sum_{j=0..n}E（n，j）*本影二项式（Bell.（x）+j，n），其中Bell_n（x）是Bell/Touchard/指数多项式；S2（n，j），第二类斯特林数；E（n，j），欧拉数；和Lag（n，x，m），相关的m阶Laguerre多项式。

%F对于x=0，方程给出了求和{j=0..n}E（n，j）*二项式（j，n）=1表示n=0，0表示所有其他n*二项式（y，n），对于方程中的x，得到了Worpitzky恒等式；y^n=Sum_{j=0..n}E（n，j）*二项式（y+j，n）。

%F注意E（n，j）/n！=E（n，j）/（和{k=0..n}E（n、k））。此外，（n！*Lag（n，-1，j-n））是A086885，根据座位安排进行了简单的组合解释，对x=1的方程式进行了组合解释；不*铃声_n（1）=n*和{j=0..n}S2（n，j）=和{j=0..n}E（n，j）*（n！*滞后（n，-1，j-n））。

%F（2020年9月16日附页）有关伯努利数的连接、扩展、证明以及上述恒等式中涉及的数字数组的清晰表示，请参阅我的后互惠与巫术。（结束）

%F第n行=A127701^（n-1）非零项的最左列。此外，（n+1）-三角形的第几行=A127701*第n行；删除零。示例：A127701*[1，3，1，0，0，…]=[1，7，6，1，0,0，…]。-_加里·亚当森，2007年11月21日

%F行多项式由在x=0时计算的D^n（e^（x*t））给出，其中D是运算符（1+x）*D/dx。参见A147315和A094198。另见A185422_Peter Bala，2011年11月25日

%设F（x）=e^（e^x）。然后，对于n>=1，1/f（x）*（d/dx）^n（f（x。类似的公式适用于A039755、A105794、A111577、A143494和A154537_Peter Bala，2012年3月1日

%F S2（n，k）=A048993（n，k），1<=k<=n.-Reinhard Zumkeller_，2012年3月26日

%第n对角线的F O.g.F.是D^n（x），其中D是运算符x/（1-x）*D/dx.-_Peter Bala，2012年7月2日

%Fn*i*S2（n-1，i）=Sum_{j=（i+1）..n}（-1）^（j-i+1）*j/（j-i）*S2（n，j）.-_Leonid Bedratyuk，2012年8月19日

%F G.F.：（1/Q（0）-1）/（x*y），其中Q（k）=1-（y+k）*x-（k+1）*y*x^2/Q（k+1；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年11月9日

%F来自Tom Copeland，2014年4月17日：（开始）

%F将Pascal下三角矩阵的每个第n对角线乘以x^n，并将结果指定为A007318（x）=P（x）。

%如果Bell（n，x）=B（n，x），D=D/dx，并且：xD:^n=x^n*D^n，Dobinski公式给出了F（y）^B（.，x）=e^（-x）*e^。则f（y）^B（.，：xD:）g（x）=[f。

%特别地，对于F（y）=（1+y），

%F A）（1+y）^B（.，x）=e^（-x）*e^（（1+y）*x）=e^（x*y）=e^[对数（1+y）B（.，x）]，

%F B）（I+dP）^B（.，x）=e^（x*dP）=P（x）=e ^[x*（e^M-I）]=e ^[M*B（

%F C）（1+dP）^（xD）=e^（dP:xD:）=P（：xD:。

%F D）P（x）^m=P（m*x），这意味着（Sum_{k=1..m}a_k）^j=B（j，m*x。例如，（a1+a2+a3）^2=a1^2+a2^2+a3^2+2（a1*a2+al1*a3+a2*a3）=3*B（2，x）+6*B（1，x）^2=9x^2+3x=B（2,3x）。

%F E）P（x）^2=P（2x）=E^[M*B（.，2x）]=A038207（x），n维超立方体的面向量。

%F（结束）

%F作为上述某些反演的矩阵等价物，A008277*A008275=I，单位矩阵被视为下三角矩阵_汤姆·科普兰，2014年4月26日

%对于三角形（n=0,1,2，…）的第n对角线，F O.g.F:和{k>=0}k^（k+n）*（x*e^（-x））^k/k！。参见A039755对角线的生成函数。另请参阅A112492.-_Peter Bala，2014年6月22日

%F层（1/（-1+总和{n>=k}1/S2（n，k））=A034856（k-1），对于k>=2。分数部分在大k时变为零。-Richard R.Forberg_，2015年1月17日

%F From _Daniel Forgues_，2016年1月16日：（开始）

%F设x_（n），称为阶乘项（Boole，1970）或阶乘多项式（Elaydi，2005:p.60），表示下降阶乘积{k=0..n-1}（x-k）。然后，对于n>=1，x_（n）=Sum_{k=1..n}A008275（n，k）*x^k，x^n=Sum_{k=1。

%F对于n>=1，行和产生指数数（或Bell数）：和{k=1..n}T（n，k）=A000110（n），和和{k=1..n}（-1）^（n+k）*T（n、k）=（-1）|n*和{k=1..n}（-1）*k*T（n、k）=-1）^n*A000587（n）其中A000587是互补Bell数。（结束）

%F和{k=1..n}k*S2（n，k）=A138378（n）.-_阿洛伊斯·海因茨，2022年1月7日

%第m列的系数：x^m/（产品{j=1..m}1-j*x）_Daniel Checa，2022年8月25日

%F S2（n，k）~（k^n）/k！，对于固定k为n->oo.-_Daniel Checa，2022年11月8日

%e三角形S2（n，k）开始于：

%电子邮箱1 2 3 4 5 6 7 8 9

%10 11 12 13 14 15。。。

%电子----------------------------------------------------------------------------------

%第1页|1

%e 2 |1 1

%e 3 | 1 3 1

%e 4 |1 7 6 1

%电子邮箱5 |1 15 25 10 1

%电子邮箱：6 |1 31 90 65 15 1

%电子邮箱7 |1 63 301 350 140 21 1

%电子邮箱8 |1 127 966 1701 1050 266 28 1

%电子邮箱：9 |1 255 3025 7770 6951 2646 462 36 1

%电子版10 | 1 511 9330 34105 42525 22827 5880 750 45

%第1页

%电话：11|1 1023 28501 145750 246730 179487 63987 11880 1155

%e 55 1

%电子邮箱：12|1 2047 86526 611501 1379400 1323652 627396 159027 22275

%电话：1705 66 1

%电子邮箱：13|1 4095 261625 2532530 7508501 9321312 5715424 1899612 359502

%电话：39325 2431 78 1

%电子邮箱14 |1 8191 788970 10391745 40075035 63436373 49329280 20912320 5135130

%电话：752752 66066 3367 91 1

%电子邮箱：15 |1 16383 2375101 42355950 210766920 420693273 408741333 216627840 67128490

%电话：12662650 1479478 106470 4550 105 1

%e。。。

%电子----------------------------------------------------------------------------------

%e x ^4=1 x_（1）+7 x_（2）+6 x_（3）+1 x_（4），其中x_（k）=P（x，k）=k*C（x，k）.-_Daniel Forgues_，2016年1月16日

%p序列（序列（组合[stirling2]（n，k），k=1..n），n=1..10）；#_Zerinvary Lajos，2007年6月2日

%p斯特林2:=（n，k）->（1/k！）*加（（-1）^（k-i）*二项式（k，i）*i^n，i=0..k）；

%t表[StirlingS2[n，k]，{n，11}，{k，n}]//Flatten（*_Robert G.Wilson v_，2006年5月23日*）

%t BellMatrix[f_，len_]：=使用[{t=数组[f，len，0]}，表[BellY[n，k，t]，{n，0，len-1}，{k，0，ren-1}]]；

%t行=12；

%t B=BellMatrix[1&，行]；

%t表[B[[n，k]]，{n，2，rows}，{k，2，n}]//Flatten（*_Jean-François Alcover_，2018年6月28日，在_Peter-Luschny_*之后）

%t a[n，n]：=1；a[n，1]：=1；

%tα[n，k]：=α[n、k]=a[n-1，k-1]+kα[n-1、k]；压扁@

%t表[a[n，k]，{n，1，11}，{k，1，n}]（*_Oliver Seipel_，2024年6月12日*）

%t带有[{m=11}，

%t吨平展@MapIndexed[拿[#，#2[[1]]]&，

%t转座@

%t表[范围[1，m]！系数[（E^x-1）^k/k！+O[x]^（m+1），x，

%t范围[1，m]]，{k，1，m}]]（*_Liver Seipel_，2024年6月12日*）

%o（PARI）用于（n=1,22，用于（k=1，n，print1（斯特林（n，k，2），“，”））；打印（））；\\_Joerg Arndt_，2013年4月21日

%o（PARI）斯特林2（n，k）=总和（i=0，k，（-1）^i*二项式（k，i）*i^n）*（-1）*k/k！\\_M.F.Hasler，2012年3月6日

%o（哈斯克尔）

%o a008277 n k=a008277_tabl！！（n-1）！！（k-1）

%o a008277_row n=a008277-tabl！！（n-1）

%o a008277_tabl=地图尾部$a048993_tabl--_Reinhard Zumkeller_2，2012年3月26日

%o（Maxima）create_list（stirling2（n+1，k+1），n，0,30，k，0，n）；/*_伊曼纽尔·穆纳里尼（Emanuele Munarini），2012年6月1日*/

%o（Sage）stirling_number2#_Danny Rorabaugh_，2015年10月11日

%o（J）n（（]（1%！））*+/@（（^~*（]（_1^|.））*（！{：）@]）i.@>：）k NB.Stephen Makdisi_，2016年4月6日

%o（岩浆）[[StirlingSecond（n，k）：k in[1..n]]：n in[1..12]]；//_G.C.Greubel，2019年5月22日

%Y参考A008275（第一类斯特林数），A048993（这个三角形的另一个版本）。

%Y参见A000217、A001296、A00129.7、A0012908、A007318、A028246、A039810-A039813、A048994、A087107-A087111、A087127、A094262、A127701。

%Y另见A331155。

%Y参见A038207、A086885、A132440、A138378、A173018、A238385。

%Y参考A102661（部分行和）。

%K nonn，easy，tabl，nice，core，changed

%O 1,5型

%A _N.J.A.斯隆_