%I#590 2024年9月14日01:38:30
%S 1,1,1,1,3,1,7,6,1,15,25,10,1,1,31,90,65,15,1,1,1,63301350140,21,
%电话:1.112796617011050266,28,1,125530257770695126462,36,1,1,
%电话:511933034105425228275880750,45,10232850114575024673017948763987118801155,55,1
%N第二类斯特林数的三角,S2(N,k),N>=1,1<=k<=N。
%C也称为斯特林集合数,写为{n,k}。
%CS2(n,k)将n个集合的分区计数为k个非空子集。
%C关于前面的注释:对于由k个非空子集构成的n集的任意(包括非不相交)覆盖,请参见A055154_Manfred Boergens_,2024年5月20日
%C三角形S2(n,k),1<=k<=n,按行读取,由[0,1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,…]DELTA[1,0,1,0,1,0。
%C{1,…,n+1}到k+1个非空非连续整数子集的分区数,包括分区1|2||n+1如果n=k。例如,S2(3,2)=3,因为{1,2,3,4}划分为三个子集的不连续整数的数目是3,即13|2|4,14|2|3,1|24|3_Augustine O.Munagi,2005年3月20日
%C从一副k张卡中抽出n张卡(带替换卡)。假设prob(n,k)是每张牌至少抽一次的概率。那么prob(n,k)=S2(n,k)*k/k^n(参见A090582)_Rainer Rosenthal_,2005年10月22日
%C定义f_1(x),f_2(x)。。。,f_1(x)=e^x,n=2,3。。。,f{n+1}(x)=(d/dx)(x*fn(x))。那么f_n(x)=e^x*Sum_{k=1..n}S2(n,k)*x^(k-1).-_米兰Janjic_,2008年5月30日
%C From _Peter Bala,2008年10月3日:(开始)
%C有关第二类限制斯特林数的表格,请参见A143494-A143496。
%C S2(n,k)使用k个不同的符号给出了长度为n的单词的“模式”数-有关术语“模式”的准确定义,请参见[Cooper&Kennedy]。例如,长度为6的单词AADCBB和XXEGTT具有相同的字母模式。长度为3的单词的五种模式是AAA、AAB、ABA、BAA和ABC,表中第3行为(1,3,1)。
%等价地,S2(n,k)给出长度为n的正整数(n_1,…,n_n)序列的个数,其中有k个不同的项,例如n_1=1和n_(i+1)<=1+max{j=1..i}n_j对于i>=1(限制增长函数)。例如,Stirling(4,2)=7,因为长度为4的序列有两个不同的条目,满足条件为(1,1,1,2)、(1,1,2,1)、(1.2,1,1)、(1.1,2,2)、“(1,2,2)”、“(1.2,2,1)”和“(1,2,1,2)”。
%C(结束)
%C平面内子集组合的数量_Mats Granvik,2009年1月13日
%C S2(n+1,k+1)是[n]的成对不相交的非空子集的大小为k的集合的数目。例如:S2(4,3)=6,因为[3]中有六个这样的子集集合具有基数二:{(1)(23)}、{(12)(3)},{(13)(2)}和{(2){,(1)_Geoffrey Critzer,2009年4月6日
%C考虑一组由n种颜色组成的A000217(n)个球,其中对于每个整数k=1到n,只有一种颜色出现在该球集中,总共k次。(每个球只有一种颜色,与其他颜色相同的球无法区分。)a(n+1,k+1)等于选择每种颜色的0个或多个球的方法数,即至少选择一次(n-k)颜色,并且没有两种颜色的选择次数相同_Matthew Vandermast_,2010年11月22日
%C S2(n,k)是n个顶点上的单调标记森林的数量,其中有k棵树,每棵树的高度不超过1。请参阅下面的链接“用斯特林和贝尔数字计算森林数量”_Dennis P.Walsh,2011年11月16日
%C如果D是算子D/dx,E是算子xd/dx。斯特林数由以下公式给出:E^n=Sum_{k=1..n}S2(n,k)*x^k*D^k.-Hyunwoo Jang,2011年12月13日
%C第二类Stirling多项式(又称Bell/Touchard多项式)是下降阶乘(又称Pochhammer符号或第一类Stiring多项式)的本影成分逆,即二项式(Bell(.,x),n)=x^n/n!(参考科普兰2007年的公式),表示二项式(xD,n)=二项式!其中D=D/dx和:xD:^n=x^n*D^n.-Tom Copeland_,2014年4月17日
%C S2(n,k)是嵌套n个matryoshkas(俄罗斯嵌套玩偶)的方法数,因此k个matryoshkas不包含在任何其他matryosh ka中_卡洛·桑纳,2015年10月17日
%C行多项式R(n,x)=Sum_{k=1..n}S2(n,k)*x^k出现在例如f的分子中。n次幂,e(n,x)=Sum_{m>=0}m^n*x^m/m!,因为E(n,x)=exp(x)*x*R(n,x),当n>=1时_Wolfdieter Lang,2017年4月2日
%C n和k的偏移量为0,这是谢弗积矩阵A007318*A048993,用(exp(t),(exp_Wolfdieter Lang,2017年6月20日
%C k+1个长度为n+1且无重复字母的未标记字母的字数。-_托马斯·安东,2019年3月14日
%C关于原点的泊松分布的矩系数也表示为λ中的多项式。[海特](另见A331155)_N.J.A.Sloane,2020年1月14日
%谢谢*S2(n,k)是从n元集到k元集的满射数_宋建宁_,2022年6月1日
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%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>
%F S2(n,k)=k*S2(n-1,k)+S2(n-1,k-1),n>1。S2(1,k)=0,k>1。S2(1,1)=1。
%F例如:A(x,y)=E^(y*E^x-y)。例如,对于第m列:(E^x-1)^m/m!。
%F S2(n,k)=(1/k!)*和{i=0..k}(-1)^(k-i)*二项式(k,i)*i^n。
%F行总和:钟形数A000110(n)=总和{k=1..n}S2(n,k),n>0。
%F S(n,k)=在所有(n-k)-组合{i_1,i_2,…,i_k}上求和的和(i_1*i_2*…*i_(n-k)),其中重复数为{1,2,…,k}。S(n,k)=总和(1^(r_1)*2^(r _2)*…*k^(r_k))对整数r_j>=0求和,对于j=1..k,求和{j=1..k}r_j=n-k_Wolfdieter Lang,2019年8月15日。
%F A019538(n,k)=k!*S2(n,k)。
%F A028248(n,k)=(k-1)!*S2(n,k)。
%F关于渐近性,请参阅Hsu(1948)等资料。
%F和{n>=0}S2(n,k)*x^n=x^k/((1-x)(1-2x)(1-3)。。。(1-kx))。
%F设P(n)=n(A000041)的整数分区数,P(i)=n的第i个分区的部分数,d(i)=n的第i个分区的不同部分数,P=从i=1到i=P(n)的总和,但只考虑P(i)=m部分的分区。那么S2(n,m)=Sum_{i=1..P(n),P(i)=m}n/(产品{j=1..p(i)}p(i,j)!)*1/(产品{j=1..d(i)}m(i,j)!)。例如,S2(6,3)=90,因为n=6具有以下m=3部分的分区:(114)、(123)、(222)。他们的肤色是:(114):6/(1!*1!*4!) * 1/(2!*1!) = 15, (123): 6!/(1!*2!*3!) * 1/(1!*1!*1!) = 60, (222): 6!/(2!*2!*2!) * 1/(3!) = 15. 络合物之和为15+60+15=90=S2(6,3)_托马斯·维德,2005年6月2日
%F和{k=1..n}k*S2(n,k)=B(n+1)-B(n),其中B(q)是贝尔数(A000110)_Emeric Deutsch,2006年11月1日
%F递归:S2(n+1,k)=和{i=0..n}二项式(n,i)*S2(i,k-1)。对于n=0或k=1,初始条件S2(n,k)=1,以及对于k=0,S2(k,n)=0,我们有密切相关的递归S2(m,k)=Sum_{i=k.n}二项式(n-1,i-1)*S2(i-1,k-1)_托马斯·维德,2007年1月27日
%F第二类Stirling数的表示S2(n,k),n=1,2,。。。,k=1,2,。。。,n、 作为(n)F(n-1)型超几何函数的特殊值:S2(n,k)=(-1)^(k-1)*超几何([-k+1,2,2,…,2],[1,1,…,1],1)/(k-1!,即,分子中有n个参数:一个等于-k+1,n-1个参数都等于2;并且分母中的n-1个参数全部等于1,自变量的值等于1。示例:S2(6,k)=seq(evalf((-1)^(k-1)*超地理([-k+1,2,2,2,2],[1,1,1,1],1)/(k-1!),k=1..6)=1,31,90,65,15,1.-_卡罗尔·彭森,2007年3月28日
%F来自Tom Copeland_,2007年10月10日:(开始)
%F Bell_n(x)=和{j=0..n}S2(n,j)*x^j=和{j=0..n}E(n,j)*滞后(n,-x,j-n)=和(n!*Lag(n,-x,j-n))=Sum_{j=0..n}E(n,j)*本影二项式(Bell.(x)+j,n),其中Bell_n(x)是Bell/Touchard/指数多项式;S2(n,j),第二类斯特林数;E(n,j),欧拉数;和Lag(n,x,m),相关的m阶Laguerre多项式。
%F对于x=0,方程给出了求和{j=0..n}E(n,j)*二项式(j,n)=1表示n=0,0表示所有其他n*二项式(y,n),对于方程中的x,得到了Worpitzky恒等式;y^n=Sum_{j=0..n}E(n,j)*二项式(y+j,n)。
%F注意E(n,j)/n!=E(n,j)/(和{k=0..n}E(n、k))。此外,(n!*Lag(n,-1,j-n))是A086885,根据座位安排进行了简单的组合解释,对x=1的方程式进行了组合解释;不*铃声_n(1)=n*和{j=0..n}S2(n,j)=和{j=0..n}E(n,j)*(n!*滞后(n,-1,j-n))。
%F(2020年9月16日附页)有关伯努利数的连接、扩展、证明以及上述恒等式中涉及的数字数组的清晰表示,请参阅我的后互惠与巫术。(结束)
%F第n行=A127701^(n-1)非零项的最左列。此外,(n+1)-三角形的第几行=A127701*第n行;删除零。示例:A127701*[1,3,1,0,0,…]=[1,7,6,1,0,0,…]。-_加里·亚当森,2007年11月21日
%F行多项式由在x=0时计算的D^n(e^(x*t))给出,其中D是运算符(1+x)*D/dx。参见A147315和A094198。另见A185422_Peter Bala,2011年11月25日
%设F(x)=e^(e^x)。然后,对于n>=1,1/f(x)*(d/dx)^n(f(x。类似的公式适用于A039755、A105794、A111577、A143494和A154537_Peter Bala,2012年3月1日
%F S2(n,k)=A048993(n,k),1<=k<=n.-Reinhard Zumkeller_,2012年3月26日
%第n对角线的F O.g.F.是D^n(x),其中D是运算符x/(1-x)*D/dx.-_Peter Bala,2012年7月2日
%Fn*i*S2(n-1,i)=Sum_{j=(i+1)..n}(-1)^(j-i+1)*j/(j-i)*S2(n,j).-_Leonid Bedratyuk,2012年8月19日
%F G.F.:(1/Q(0)-1)/(x*y),其中Q(k)=1-(y+k)*x-(k+1)*y*x^2/Q(k+1;(连分数)。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基(Sergei N.Gladkovskii),2013年11月9日
%F来自Tom Copeland,2014年4月17日:(开始)
%F将Pascal下三角矩阵的每个第n对角线乘以x^n,并将结果指定为A007318(x)=P(x)。
%如果Bell(n,x)=B(n,x),D=D/dx,并且:xD:^n=x^n*D^n,Dobinski公式给出了F(y)^B(.,x)=e^(-x)*e^。则f(y)^B(.,:xD:)g(x)=[f。
%特别地,对于F(y)=(1+y),
%F A)(1+y)^B(.,x)=e^(-x)*e^((1+y)*x)=e^(x*y)=e^[对数(1+y)B(.,x)],
%F B)(I+dP)^B(.,x)=e^(x*dP)=P(x)=e ^[x*(e^M-I)]=e ^[M*B(
%F C)(1+dP)^(xD)=e^(dP:xD:)=P(:xD:。
%F D)P(x)^m=P(m*x),这意味着(Sum_{k=1..m}a_k)^j=B(j,m*x。例如,(a1+a2+a3)^2=a1^2+a2^2+a3^2+2(a1*a2+al1*a3+a2*a3)=3*B(2,x)+6*B(1,x)^2=9x^2+3x=B(2,3x)。
%F E)P(x)^2=P(2x)=E^[M*B(.,2x)]=A038207(x),n维超立方体的面向量。
%F(结束)
%F作为上述某些反演的矩阵等价物,A008277*A008275=I,单位矩阵被视为下三角矩阵_汤姆·科普兰,2014年4月26日
%对于三角形(n=0,1,2,…)的第n对角线,F O.g.F:和{k>=0}k^(k+n)*(x*e^(-x))^k/k!。参见A039755对角线的生成函数。另请参阅A112492.-_Peter Bala,2014年6月22日
%F层(1/(-1+总和{n>=k}1/S2(n,k))=A034856(k-1),对于k>=2。分数部分在大k时变为零。-Richard R.Forberg_,2015年1月17日
%F From _Daniel Forgues_,2016年1月16日:(开始)
%F设x_(n),称为阶乘项(Boole,1970)或阶乘多项式(Elaydi,2005:p.60),表示下降阶乘积{k=0..n-1}(x-k)。然后,对于n>=1,x_(n)=Sum_{k=1..n}A008275(n,k)*x^k,x^n=Sum_{k=1。
%F对于n>=1,行和产生指数数(或Bell数):和{k=1..n}T(n,k)=A000110(n),和和{k=1..n}(-1)^(n+k)*T(n、k)=(-1)|n*和{k=1..n}(-1)*k*T(n、k)=-1)^n*A000587(n)其中A000587是互补Bell数。(结束)
%F和{k=1..n}k*S2(n,k)=A138378(n).-_阿洛伊斯·海因茨,2022年1月7日
%第m列的系数:x^m/(产品{j=1..m}1-j*x)_Daniel Checa,2022年8月25日
%F S2(n,k)~(k^n)/k!,对于固定k为n->oo.-_Daniel Checa,2022年11月8日
%e三角形S2(n,k)开始于:
%电子邮箱1 2 3 4 5 6 7 8 9
%10 11 12 13 14 15。。。
%电子----------------------------------------------------------------------------------
%第1页|1
%e 2 |1 1
%e 3 | 1 3 1
%e 4 |1 7 6 1
%电子邮箱5 |1 15 25 10 1
%电子邮箱:6 |1 31 90 65 15 1
%电子邮箱7 |1 63 301 350 140 21 1
%电子邮箱8 |1 127 966 1701 1050 266 28 1
%电子邮箱:9 |1 255 3025 7770 6951 2646 462 36 1
%电子版10 | 1 511 9330 34105 42525 22827 5880 750 45
%第1页
%电话:11|1 1023 28501 145750 246730 179487 63987 11880 1155
%e 55 1
%电子邮箱:12|1 2047 86526 611501 1379400 1323652 627396 159027 22275
%电话:1705 66 1
%电子邮箱:13|1 4095 261625 2532530 7508501 9321312 5715424 1899612 359502
%电话:39325 2431 78 1
%电子邮箱14 |1 8191 788970 10391745 40075035 63436373 49329280 20912320 5135130
%电话:752752 66066 3367 91 1
%电子邮箱:15 |1 16383 2375101 42355950 210766920 420693273 408741333 216627840 67128490
%电话:12662650 1479478 106470 4550 105 1
%e。。。
%电子----------------------------------------------------------------------------------
%e x ^4=1 x_(1)+7 x_(2)+6 x_(3)+1 x_(4),其中x_(k)=P(x,k)=k*C(x,k).-_Daniel Forgues_,2016年1月16日
%p序列(序列(组合[stirling2](n,k),k=1..n),n=1..10);#_Zerinvary Lajos,2007年6月2日
%p斯特林2:=(n,k)->(1/k!)*加((-1)^(k-i)*二项式(k,i)*i^n,i=0..k);
%t表[StirlingS2[n,k],{n,11},{k,n}]//Flatten(*_Robert G.Wilson v_,2006年5月23日*)
%t BellMatrix[f_,len_]:=使用[{t=数组[f,len,0]},表[BellY[n,k,t],{n,0,len-1},{k,0,ren-1}]];
%t行=12;
%t B=BellMatrix[1&,行];
%t表[B[[n,k]],{n,2,rows},{k,2,n}]//Flatten(*_Jean-François Alcover_,2018年6月28日,在_Peter-Luschny_*之后)
%t a[n,n]:=1;a[n,1]:=1;
%tα[n,k]:=α[n、k]=a[n-1,k-1]+kα[n-1、k];压扁@
%t表[a[n,k],{n,1,11},{k,1,n}](*_Oliver Seipel_,2024年6月12日*)
%t带有[{m=11},
%t吨平展@MapIndexed[拿[#,#2[[1]]]&,
%t转座@
%t表[范围[1,m]!系数[(E^x-1)^k/k!+O[x]^(m+1),x,
%t范围[1,m]],{k,1,m}]](*_Liver Seipel_,2024年6月12日*)
%o(PARI)用于(n=1,22,用于(k=1,n,print1(斯特林(n,k,2),“,”));打印());\\_Joerg Arndt_,2013年4月21日
%o(PARI)斯特林2(n,k)=总和(i=0,k,(-1)^i*二项式(k,i)*i^n)*(-1)*k/k!\\_M.F.Hasler,2012年3月6日
%o(哈斯克尔)
%o a008277 n k=a008277_tabl!!(n-1)!!(k-1)
%o a008277_row n=a008277-tabl!!(n-1)
%o a008277_tabl=地图尾部$a048993_tabl--_Reinhard Zumkeller_2,2012年3月26日
%o(Maxima)create_list(stirling2(n+1,k+1),n,0,30,k,0,n);/*_伊曼纽尔·穆纳里尼(Emanuele Munarini),2012年6月1日*/
%o(Sage)stirling_number2#_Danny Rorabaugh_,2015年10月11日
%o(J)n((](1%!))*+/@((^~*(](_1^|.))*(!{:)@])i.@>:)k NB.Stephen Makdisi_,2016年4月6日
%o(岩浆)[[StirlingSecond(n,k):k in[1..n]]:n in[1..12]];//_G.C.Greubel,2019年5月22日
%Y参考A008275(第一类斯特林数),A048993(这个三角形的另一个版本)。
%Y参见A000217、A001296、A00129.7、A0012908、A007318、A028246、A039810-A039813、A048994、A087107-A087111、A087127、A094262、A127701。
%Y另见A331155。
%Y参见A038207、A086885、A132440、A138378、A173018、A238385。
%Y参考A102661(部分行和)。
%K nonn,easy,tabl,nice,core,changed
%O 1,5型
%A _N.J.A.斯隆_