%I M2895#220 2024年7月17日17:29:24

%S 1,3,11,431716832731109234369117476369905127962031184811，

%电话：4473924317895697158278832863311531145324612345812984491，

%电话：1832519379633007751851293203100740311728124029611469124961184431876499849987371750599937895083

%N a（N）=（2^（2*N+1）+1）/3。

%C设u（k）、v（k）和w（k）是由u（1）=1、v（1）=0、w（1）=0.和u（k+1）=u（k；设M（k）=最大值（u（k）、v（k）和w（k））；则a（n）=M（2n）=M（2n-1）_Benoit Cloitre_，2002年3月25日

%C另外，由两个字母s和t生成的长度为2n的单词数，通过使用关系ssssss=1、tt=1和stst=1减少为标识1。生成器s和t以及三个关系生成二面体群D6=C2xD3Jamaine Paddyfoot（jay_Paddyfoot（AT）hotmail.com）和_John W.Layman，2002年7月8日

%A025192.-的C二项式变换_Paul Barry，2003年4月11日

%C循环图C_6中两个相邻顶点之间长度为2n+1的游动次数。示例：a（1）=3，因为在ABCDEF循环中，a和B之间有三个长度为3的行走：ABAB、ABCB和AFAB_Emeric Deutsch，2004年4月1日

%C形式的数字1+Sum_{i=1..m}2^（2*i-1）.-_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2007年2月9日

%C形式为1+Sum[2^（2n-1）]的质数在A000979中。数字x，使得1+Sum[2^（2n-1）]是n=1,2，…，的素数，。。。，x是A127936_阿图尔·贾辛斯基（Artur Jasinski），2007年2月9日

%C与A024493（6n+1）、A131708（6n+3）、A024495（6n+5）相关。-_Paul Curtz，2008年3月27日

%C设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=-6，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n-1）=（-1）^（n-1_米兰Janjic_，2010年2月21日

%C经过2^n个阶段后，A139250牙签结构中的牙签数量。-_Omar E.Pol_，2011年2月28日

%C二进制表示为“10”的数字重复（n-1）次，末尾附加“11”，n>=1。例如，171=10101011（2）.-_Omar E.Pol_，2012年11月22日

%C a（n）是A072219（a（n_Ramasamy Chandramouli，2012年12月22日

%C根据A181565中的定义，2到基数b:=4/3的恩格尔展开式，以及相关的级数展开式2=b+b^2/3+b^3/（3*11）+b^4/（3x11*43）+。。。。参见A007051.-_Peter Bala，2013年10月29日

%C 3*x-2^n*y=1，n>=0，最小x的正整数解（x，y）是（a（n/2），2），如果n是偶数，（a（n-1）/2），1）如果n是奇数_Wolfdieter Lang，2014年2月15日

%C最小正数，需要至少n次2的幂的加减才能形成。请参阅Puzzling StackExchange链接_亚历山大·库克_ 2023年7月16日

%D H.W.Gould，《组合恒等式》，摩根城，1972年，（1.77），第10页。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H Vincenzo Librandi，n表，n=0..170的a（n）</a>

%H David Applegate、Omar E.Pol和N.J.A.Sloane，《细胞自动机的牙签序列和其他序列》，国会数字杂志，第206卷（2010年），第157-191页。[定理6中有一个拼写错误：当n>=2时，（13）应读为u（n）=4.3^（wt（n-1）-1）。]

%H Cecilia Bebeacua、Toufik Mansour、Alexander Postnikov、Simone Severini、<a href=“https://arxiv.org/abs/math/0506334“>关于排列的X射线，arXiv:math/0506334[math.CO]，2005。

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%H Quynh Nguyen、Jean Pedersen和Hien T.Vu，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL19/Pedersen/pedersen2.html“>由3周期折叠数产生的新整数序列，第19卷（2016年），第16.3.1条。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/Repunit.html“>声誉</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_02”>带常数的线性重复出现的索引条目，签名（5，-4）。

%F a（n）=2*A002450（n）+1。

%F From_Wolfdieter Lang，2001年4月24日：（开始）

%Fa（n）=Sum_{m=0..n}A060920（n，m）=A002450（n+1）-2*A002450（n）。

%F G.F.：（1-2*x）/（1-5*x+4*x^2）。（结束）

%F a（n）=和{k=0..n}二项式（n+k，2*k）/2^（k-n）。

%F a（n）=4*a（n-1）-1，n>0。

%F From _Paul Barry，2003年3月17日：（开始）

%F a（n）=1+2*Sum_{k=0..n-1}4^k；

%F a（n）=A001045（2n+1）。（结束）

%F a（n）=A020988（n-1）+1=A039301（n+1）-1=A083584（n-1_Ralf Stephan，2003年6月14日

%F a（0）=1；a（n+1）=a（n）*4-1.-Regis Decamps公司（Decamps（AT）users.sf.net），2004年2月4日（由_K.Spage_对领先指数进行修正，2014年8月20日）

%F a（n）=和{i+j+k=n；0<=i，j，k<=n}（n+k）/我/j/（2*k）！.-_Benoit Cloitre_，2004年3月25日

%F a（n）=5*a（n-1）-4*a（n-2）_Emeric Deutsch，2004年4月1日

%F a（n）=4^n-A001045（2*n）。-_Paul Barry，2004年4月17日

%F a（n）=2*（A001045（n））^2+（A001044（n+1））^2.-_Paul Barry，2004年7月15日

%F a（n）=M^n*[1 11]中的左右项，其中M=3X3矩阵[1 1 1/1 3 1/1 1]。M^n*[1 11 1]=[a（n）A002450（n+1）a（n）]例如，a（3）=43，因为M^n*[1 1 1]=[43 85 43]=[a（3）A002450（4）a（3）]。-_加里·亚当森，2004年12月18日

%F a（n）=A072197（n）-A020988（n）.-_Creighton Dement_，2004年12月31日

%F a（n）=A139250（2^n）_Omar E.Pol_，2011年2月28日

%F a（n）=A193652（2*n+1）_Reinhard Zumkeller_2011年8月8日

%F a（n）=和{k=-floor（n/3）..floor（n/3}）}二项式（2*n，n+3*k）/2.-_Mircea Merca，2012年1月28日

%F a（n）=2^（2*（n+1））-A072197（n）.-_Vladimir Pletser，2014年4月12日

%F a（n）==2*n+1（mod 3）。事实上，根据Regis Decamps的公式（2004年2月4日），我们有一个（i+1）-a（i）==-1（mod 3），i=0，1。。。，n-1。求和，我们有一个（n）-1==-n（mod 3），公式如下_Vladimir Shevelev，2015年5月13日，20日

%F对于n>0 a（n）=A133494（0）+2*（A133494n（n）+Sum_{x=1..n-1}和{k=0..x-1}（二项式（x-1，k）*（A133.494（k+1）+A133494-（n-x+k）））_J.Conrad，2015年12月6日

%Fa（n）=Sum_{k=0..2n}（-2）^k==1+Sum_{k=1..n}2^（2k-1）.-_鲍勃·塞尔科（Bob Selcoe），2016年8月21日

%例如：（1+2*exp（3*x））*exp_伊利亚·古特科夫斯基，2016年8月21日

%p a[0]：=1：对于从1到50的n，执行a[n]：=4*a[n-1]-1 od:seq（a[n]，n=0..23）；#_Zerinvary Lajos，2008年2月22日，经_K.Space修正，2014年8月20日

%p A007583:=程序（n）

%p（2^（2*n+1）+1）/3；

%结束程序：#R.J.Mathar_，2015年2月19日

%t（*摘自Michael De Vlieger_，2016年8月22日*）

%t表[（2^（2n+1）+1）/3，{n，0，23}]

%t表[1+2Sum[4^k，{k，0，n-1}]，{n，0，23}]

%t嵌套列表[4#-1&，1，23]

%t表[Sum[二项式[n+k，2k]/2^（k-n），{k，0，n}]，{n，0，23}]

%t系数列表[系列[（1-2x）/（1-5x+4x^2），{x，0，23}]，x]（*结束*）

%o（PARI）a（n）=总和（k=-n\3，n\3，二项式（2*n+1，n+1+3*k））

%o（PARI）a=1；对于（n=1,23，print1（a，“，”）；a=比特（a，3*a））\\_K.Spage_，2014年8月20日

%o（PARI）Vec（（1-2*x）/（1-5*x+4*x^2）+o（x^30））\\阿尔图·阿尔坎，2015年12月8日

%o（PARI）适用（{A007583（n）=2<<（2*n）\/3}，[0..25]）\\_M.F.哈斯勒，2021年11月30日

%o（岩浆）[（2^（2*n+1）+1）/3:n in[0..30]]；//_Vincenzo Librandi_，2011年4月28日

%o（哈斯克尔）

%o a007583=（`div`3）。(+ 1) . a004171号

%o——Reinhard Zumkeller，2013年1月9日

%o（Sage）[（2^（2*n+1）+1）/3 for n in（0..25）]#_G.C.Greubel_，2019年12月25日

%o（GAP）列表（[0..25]，n->（2^（2*n+1）+1）/3）；#_G.C.Greubel，2019年12月25日

%Y另请参见A006054、A006356、A005578。

%Y A081294的部分总和。

%Y参见A002450、A004171、A007051、A083065、A0830.66、A083884。

%Y参见A000978、A000979、A124400、A124401、A127936、A127955、A12795、A127977、A127988。

%Y参考A007302中记录的位置。

%K nonn，简单

%0、2

%A _西蒙·普劳夫_