%I M1370#227 2024年6月17日07:10:21

%S 0,2,5,10,17,28,41,58,77100129160197238281328381440501568，

%电话：639712791874963106011611264137114801593172018511988，

%电话：21272276242725842747291430873266344736383140284227443846614888

%N前N个素数的和。

%C似乎a（n）^2-a（n-1）^2=A034960（n）_Gary Detlefs，2011年12月20日

%C这是真的。证明：根据定义，我们有A034960（n）=Sum_{k=（a（n-1）+1）..a（n）}（2*k-1）。由于Sum_{k=1..n}（2*k-1）=n^2，当n>1时，它遵循A034960（n）=a（n）^2-a（n-1）^2_Hieronymus Fischer，2012年9月27日【上述公式调整为A034960的变更偏移量-Hieronynymus Fisher，2012年10月14日】

%C A037126中三角形的行和。-_Reinhard Zumkeller，2012年10月1日

%C Ramanujan注意到素部分分区数A000607和Sum_{k>=0}x^a（k）/（（1-x）。。。（1-x^k）），参见A046676。关于两者之间的差异，请参见A192541_M.F.Hasler_，2014年3月5日

%C对于n>0：A254858中的第1行_Reinhard Zumkeller_，2015年2月8日

%C a（n）是可以划分为n个不同素数的最小数_Alonso del Arte_，2017年5月30日

%C对于a（n）<m<a（n+1），n>0，至少1 m是一个完美平方。

%C证明：对于n=1，2。。。，6、命题明确。对于n>6，a（n）<（（素数（n）-1）/2）^2，集（k-1）^2<=a_王金源2018年10月4日

%对于n>=5，我们有一个（n）<（（素数（n）+1）/2）^2。这可以通过注意（（素数（n）+1）/2）^2-（（素数（n-1）+1）/2）_2022年11月13日，宋嘉宁

%华盛顿给出了|a（n）-pi（n^2）|的振荡公式，参见链接_Charles R Greathouse IV_，2022年12月7日

%D E.Bach和J.Shallit，《算法数论》第1卷第2.7节：高效算法，麻省理工学院出版社，马萨诸塞州剑桥，1996年。

%D H.L.Nelson，“素数和”，J.Rec.Math。，14 (1981), 205-206.

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H R.J.Mathar，<a href=“/A007504/b007504.txt”>n表，n=0..100000的a（n）</a>

%H C.阿克斯勒，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL18/Axler/axler6.html“>关于涉及素数的序列，J.Int.Seq.18（2015）#15.7.6。

%H Christian Axler，<a href=“http://arxiv.org/abs/1606.06874“>前n个质数之和的新边界，arXiv:1606.06874[math.NT]，2016。

%H P.Hecht，<a href=“https://dx.doi.org/10.22161/ijaers.4.6.10“>后量子密码学：S_381高阶循环子群</a>，《国际高级工程研究与科学杂志》（IJAERS，2017）第4卷第6期，78-86。

%H R.J.Mathar，<a href=“/A007504/A007504.txt”>100000n表格，n=1..100000的a（100000n）</a>

%H Romeo Meštrović，<a href=“https://arxiv.org/abs/1804.04198“>关于前2n个素数之和中素数分布的奇怪猜想</a>，arXiv:1804.04198[math.NT]，2018。

%H Vladimir Shevelev，<a href=“http://list.seqfan.eu/oldermail/seqfan/2013-August/011512.html“>带余项的前n个素数之和的渐近性</a>

%H Nilotpal Kanti Sinha，<a href=“http://arxiv.org/abs/1011.667“>关于前n个素数之和的渐近展开，arXiv:1011.1667[math.NT]，2010-2015。

%H Lawrence C.Washington，<a href=“https://arxiv.org/abs/2209.12845“>素数II的幂和</a>，arXiv-print（2022）。arXiv:2209.12845[math.NT]

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/PrimeSums.html“>素数和</a>

%H OEIS维基，<a href=“https://oeis.org/wiki/Sums_of_primes_disivility_sequences“>素数可除序列的幂和</a>

%F a（n）~n^2*log（n）/2.-艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my-deja.com），2001年4月24日（见巴赫和沙利特1996）

%F a（n）=A014284（n+1）-1.-_雅罗斯拉夫·克里泽克，2009年8月19日

%F a（n+1）-a（n）=A000040（n+1_雅罗斯拉夫·克里泽克，2009年8月19日

%F a（A051838（n））=A002110（A05183（n）_Reinhard Zumkeller_，2011年10月3日

%F a（n）=n>1时的最小值（A068873（n），A073619（n））_Jonathan Sondow，2012年7月10日

%F a（n）=A033286（n）-A152535（n）.-_Omar E.Pol_，2012年8月9日

%F对于n>=3，a（n）>=（n-1）^2*（log（n-1。因此a（n）=n^2*log（n）/2+O（n^2*log（log（n）））。这比Fares的评论更准确。-_Vladimir Shevelev，2013年8月1日

%F a（n）=（n^2/2）*（对数n+对数n-3/2+（对数n-3）/对数n+（2（对数n）^2-14对数n+27）/（4对数^2 n）+O（（对数n/对数n））[辛哈]_Charles R Greathouse IV_，2015年6月11日

%F G.F:（x*b（x））/（1-x），其中b（x_Mario C.Enriquez_，2016年12月10日

%F a（n）=A008472（A002110（n）），对于n>0.-_米歇尔·马库斯，2020年7月16日

%p s1：=[2]；对于从2到1000的n，做s1:=[op（s1），s1[n-1]+ithprime（n）]；od:s1；

%p A007504:=程序（n）

%p加（ithprime（i），i=1..n）；

%结束程序：#R.J.Mathar_，2015年9月20日

%t累计[Prime[范围[100]]]（*_Zak Seidov，2011年4月10日*）

%t primeRunSum=0；表[primeRunSum=primeRunSam+Prime[k]，{k，100}]（*_Zak Seidov_，2011年4月16日*）

%o（PARI）A007504（n）=总和（k=1，n，质数（k））\\迈克尔·波特，2010年2月26日

%o（PARI）a（n）=向量（素数（n））；\\_米歇尔·马库斯，2021年2月6日

%o（岩浆）[0]cat[&+[NthPrime（k）：k in[1..n]]：n in[1..50]]；//_Bruno Berselli，2011年4月11日

%o（哈斯克尔）

%o a007504 n=a007504_列表！！n个

%o a007504_list=扫描（+）0 a000040_list

%o--Reinhard Zumkeller_，2014年10月1日，2011年10月3日

%o（间隙）P:=已过滤（[1..250]，IsPrime）；；

%o a：=串联（[0]，列表（[1..长度（P）]，i->总和（[1..i]，k->P[k]））；#_Muniru A Asiru_，2018年10月7日

%o（Python）

%o从itertools导入累加、计数、岛屿

%o来自sympy import prime

%o def A007504_gen（）：返回累加（prime（n）if n>0，else 0 for n in count（0））

%o A007504_list=list（岛屿（A007504-gen（），20））#_Chai Wah Wu_，2022年2月23日

%Y参见A000041、A034386、A111287、A013916、A013918（底漆）、A045345、A050247、A05024.8、A068873、A073619、A03438、A014148、A014150、A178138、A254784、A254858。

%Y Sum_｛n>=1｝1/a（n）的值见A122989。

%Y参考A008472、A002110、A038107。

%K nonn，不错，改了

%0、2

%A _N.J.A.Sloane_，_Robert G.Wilson v_

%E更多条款，来自斯特凡·斯坦纳伯格，2006年4月11日

%E a（0）=0，由M.F.Hasler_于2014年3月5日编制