%I M0234#120 2021年5月7日19:54:51

%S 1,1,2,2,2,4,4,4,16,7,7,10,11,15,17,17,22,24,25,32,35,36,44,48,50，

%电话：60,66,68,81,89,9210711712114115315918119720523325262，

%电话：295320332372401417465501520575619645710763

%N将N划分为非零三角形数的次数。

%C递减整数序列的个数l（1）>=l（2）>=1（3）>=。。0使得总和（'i*l（i）'，'i'=1..无穷大）=n。

%C a（n）也是n的分区数，如果i<=j，那么#{parts等于i}>=#{partes等于j}。

%C也是n的分区数（必须分成不同的部分），其中部分大小单调递减（包括最后一部分，即最后一部分和大小为0的“部分”之间的差异）。这些分区是分区与大小为i的部分数量增加时的共轭分区_Franklin T.Adams-Waters_，2008年4月8日

%C也使用A179255中的条件进行分区，此外，如果有多个部分，则第一个差异>=第一部分：例如，a（10）=7，因为有7个10的分区：1+2+3+4=1+2+6=1+9=2+8=3+7=10-_Joerg Arndt_，2011年3月22日

%C具有n的bigomega值的A181818的成员数量（参见A001222）。-_Matthew Vandermast，2012年5月19日

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H T.D.Noe和Vaclav Kotesovec，n表，n=0..10000的a（n）

%H Gert Almkvist，<a href=“https://arxiv.org/abs/math/0612446“>各种分区的渐近性</a>，arXiv:math/0612446[math.NT]，2006。

%H G.E.安德鲁斯，<a href=“https://dx.doi.org/10.1007/PL00001284“>MacMahon的分区分析II：基本定理，《组合数学年鉴》，4（2000），327-338。

%H N.A.Brigham，<A href=“https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1950-0034409-3“>配分函数的一般渐近公式，Proc.Amer.Math.Soc.，第1卷（1950年），第191页。

%H Jorge A.Campos-Gonzalez-Angulo、Raphael F.Ribeiro和Joel Yuen-Zhou，<A href=“https://arxiv.org/abs/2101.09475“>多层非简谐系统Tavis-Cummings模型的推广</a>，arXiv:2101.09475[物理学.光学]，2021。

%H Zhicheng Gao、Andrew MacFie和Daniel Panario，<a href=“http://www.combinatics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v18i1p143“>根据某些模式的出现次数统计单词，《组合数学电子期刊》，18（2011），#P143。

%H Igor Pak，<a href=“https://arxiv.org/abs/1803.06636“>枚举组合数学中的复杂性问题</a>，arXiv:1803.06636[math.CO]，2018。

%H James A.Sellers，<A href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL7/Sellers/sellers58.html“>Partitions Excluded Specific Polygonal Numbers As Parts</a>，Journal of Integer Sequences，Vol.7（2004），Article 04.2.4《不包括作为部分的特定多边形的分区》，《整数序列杂志》，第7卷（2004）。

%H Jan Snellman和Michael Paulsen，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL7/Snellman/snellman2.html“>凹整数分区的枚举</a>，整数序列杂志，2004年第7卷。

%H Gus Wiseman，<a href=“/A325325/A325325.txt”>序列根据连续部分的差异对整数分区进行计数和排序</a>

%F G.F.：1/Product_{k>=2}（1-z^二项式（k，2））。

%F对于n>0：a（n）=b（n，1），其中b（n、k）=如果n>k*（k+1）/2，则b（n-k*（k+1）/2、k）+b（n和k+1）else（如果n=k*（k+1）/2则1 else 0）_Reinhard Zumkeller，2003年8月26日

%F对于n>0，a（n）是[1,0,1,0,0,1,0,0,10,00,0:0,0,1，…]的欧拉变换，即A010054，n>0.-_Benedict W.J.Irwin，2016年7月29日

%F a（n）~exp（3*Pi^（1/3）*Zeta（3/2）^（2/3）*n^（1/3）/2）*Zeta（3/2_Vaclav Kotesovec_，2016年12月31日

%F G.F.：和{i>=0}x ^（i*（i+1）/2）/产品{j=1..i}（1-x^（j*（j+1）/2））_伊利亚·古特科夫斯基，2017年5月7日

%e 6=3+3=3+1+1=1=1+1+1+1+1，所以a（6）=4。

%e a（7）=4：上述四个序列是（7,0，..），（5,1,0，…），（3,2,0，….），（2,1,1,0，……）。它们对应于七个分区中的分区1^7、21^5、2^2 1^3、3 2 1^2，或者在主要描述中对应于分区1^ 7、31^4、3^2 1、6 1。

%e来自Gus Wiseman_，2019年5月3日：（开始）

%e使用非零三角形数的a（1）=1到a（9）=6分区如下。这些分区的Heinz数由A325363给出。

%电子邮箱：1 11 3 31 311 6 61 611 63

%电子111 1111 11111 33 331 3311 333

%电话：3111 31111 311111 6111

%电子111111 1111111 11111111 33111

%电话：3111111

%电子111111111

%e多重数弱减的a（1）=1到a（10）=7分区如下。与Matthew Vandermast的评论等效，这些分区的Heinz数由A025487（基本数的乘积）给出。

%电子邮箱：1 11 21 211 2111 321 3211 32211 4321

%电子111 1111 11111 2211 22111 221111 221111 322111

%电子21111 211111 2111111 321111 22211111

%电子111111 1111111 11111111 2211111 32111111

%电子21111111 22111111

%电子111111111 211111111

%电子1111111111

%e具有弱递增差异的a（1）=1到a（11）=7个分区（其中最后一部分取为零）如下。这些分区的Heinz数由A325362给出（A=10，B=11）。

%e（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（A）（B）

%e（21）（31）（41）（42）（52）（62）（63）（73）（83）

%e（51）（61）（71）（72）（82）（92）

%e（321）（421）（521）（81）（91）（A1）

%e（531）（631）（731）

%e（621）（721）（821）

%e（4321）（5321）

%e（结束）

%p b:=proc（n，i）选项记忆；

%p如果n<0，则为0

%p elif n=0，然后为1

%p elif i=0，然后为0

%p其他b（n，i-1）+b（n-i*（i+1）/2，i）

%功率因数

%p端：

%pa:=n->b（n，楼层（平方米（2*n））：

%p序列（a（n），n=0..100）；#_Alois P.Heinz，2011年3月22日

%p是非decrP:=过程（L）slp:=差异（DIFF（L））；最小值（op（%））>=0；结束进程：

%p A007294:=程序（n）局部a，p；a:=0；如果n=0，则返回1；结束条件：；对于组合[分区]（n）中的p，如果nops（p）=nops（convert（p，set）），那么如果是NondecrP（p），那么，如果nobs（p）=1，那么a:=a+1；elif op（2，p）>=2*op（1，p）则a:=a+1；结束条件：；结束条件：；结束条件：；末端do；a；结束进程：

%p序列（A007294（n），n=0..30）；#_R.J.Mathar，2011年1月7日

%t系数列表[系列[1/乘积[1-x^（i（i+1）/2），{i，1，50}]，{x，0，70}]，x]

%t（*也*）

%t t=表[n（n+1）/2，{n，1200}]；p[n_]：=整数分区[n，All，t]；表[p[n]，{n，0，12}]（*显示分区*）

%t a[n]：=长度@p@n；a/@范围[0,80]

%t（*_百灵金伯利，2014年3月9日*）

%tb[n_，i_]：=b[n，i]=其中[n<0，0，n==0，1，i==0、0，真，b[n、i-1]+b[n-i*（i+1）/2，i]]；a[n_]：=b[n，楼层[Sqrt[2*n]]]；表[a[n]，{n，0100}]（*_Jean-François Alcover_，2014年4月9日，在_Alois P.Heinz_*之后）

%t表[Length[Select[Integer Partitions[n]，OrderedQ[Differences[Append[#，0]]&]]，{n，0,30}]（*_Gus Wiseman_，2019年5月3日*）

%t最大值=58；t=表格[多边形编号[n]，{n，nmax}]；

%t表格[计数[整数分区@n，x_/；子集Q[t，x]]，{n，0，nmax}]（*_罗巴特价格_，2020年8月2日*）

%o（鼠尾草）

%o定义A007294（n）：

%o has_nondecreasing_diffs=lambda x：min（差值（x，2））>=0

%o特殊=λx：（x[1]-x[0]）>=x[0]

%o允许=λx：（len（x）<2或特殊（x））和（len

%o return len（[1 for x in Partitions（n，max_slope=-1）if allowed（x[：：-1]）]）#_D.S.McNeil_，2011年1月6日

%o（PARI）N=66；Vec（1/prod（k=1，N，1-x^（k*（k+1）\2））+O（x^N））\_Joerg Arndt_2013年4月14日

%o（哈斯克尔）

%o a007294=p$tail a000217_list，其中

%o p _ 0=1

%o p ks’@（k:ks）m=如果m<k，则0，否则p ks'（m-k）+p ks m

%o——Reinhard Zumkeller，2013年6月28日

%Y参见A000217、A051533、A000294。

%Y参考A102462。

%数组A176723和三角形A176724的Y行和_Wolfdieter Lang，2010年7月19日

%Y参考A179255（仅针对差异的条件），A179269（零件严格增加而非非减少）_Joerg Arndt_，2011年3月22日

%Y参考A024940、A280366。

%Y行A319797的总和。

%Y参考A007862、A025487、A240026、A320509、A325324、A325354、A323356、A325362和A325363。

%K nonn公司

%0、4

%A _N.J.A.Sloane，_Mira Bernstein_

%E 2001年6月17日，罗兰·巴赫的补充评论