%I M1458#334 2024年5月15日10:44:28

%S 1,2,5,14,4112236510943281984229525885742657217971622391485，

%电话：7174454215233616457008219371024558113073417433922015230176602，

%电话：156905298054707158941414176824142364430472212709329414165381279874249411438396227481

%N a（N）=（3^N+1）/2。

%C具有n条边且高度最多为4的有序树的数量。

%C最多使用三个不同符号的回文结构数_马克斯·内斯特_

%C所有偶数自然数组成n部分的数量<=2（0作为一部分计算），参见示例_Adi Dani_，2011年5月14日

%考虑映射f（a/b）=（a+2*b）/（2*a+b）。从a=1，b=2开始，对每个新的（约化的）有理数重复进行映射，得到序列1/2，4/5，13/14，40/41。。。收敛到1。序列包含分母=（3^n+1）/2。N的相同映射，即f（a/b）=（a+N*b）/（a+b）给出了收敛到N^（1/2）的分数_Amarnath Murthy_，2003年3月22日

%cosh（x）展开式的第二二项式变换_Paul Barry，2003年4月5日

%序列（1，1，2，5，…）=3^n/6+1/2+0^n/3具有二项式变换A007581_保罗·巴里，2003年7月20日

%C数量（s（0），s（1）。。。，s（2n+2）），使得0<s（i）<6和|s（i。。。，2n+2，s（0）=1，s_Herbert Kociemba，2004年6月10日

%C正则语言L在{1,2,3}^*上的密度（即L中长度为n的字符串数）由正则表达式11*+11*2（1+2）*+11x2（1+2）*3（1+2+3）*描述_内尔马·莫雷拉（Nelma Moreira），2004年10月10日

%C A119258中三角形行的总和_Reinhard Zumkeller，2006年5月11日

%C字母表A={A，b，C}中包含偶数个A的n个单词的数量。-冯卓贤（cheokyin_restart（AT）yahoo.com.hk），2006年8月30日

%C设P（A）是n元集A的幂集。然后A（n）=P（A

%C a（n+1）给出了长度为n且基态为<2>的本原周期多重杂耍序列的个数_史蒂夫·巴特勒（Steve Butler），2008年1月21日

%C a（n）也是幂等序保和减序部分变换（n链的）的个数_阿卜杜拉希·乌马尔，2008年10月2日

%C等于三角形A147292的行和。-_Gary W.Adamson_，2008年11月5日

%C等于A071919^3的最左侧列。-_Gary W.Adamson，2009年4月13日

%C A010888（a（n））=5表示n>=2，也就是说，项>=5的数字根等于5_Parthasarathy Nambi，2009年6月3日

%C设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=5，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n-1）=（-1）^n*charpoly（a，2）。-_米兰Janjic_，2010年1月27日

%C设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=6，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=1，a（n）=（-1）^（n-1）*charpoly（a，3）_米兰Janjic_，2010年2月21日

%C如果s（n）是形式s（1）=2，s（n。

%C组成一个数组，其中m（1，n）=1，m（i，j）=Sum_{k=1..i-1}m（k，j）+Sum__{k=1..j-1}m（i、k），这是m（i和j）左边的项加上m（i与j）上面的项之和。反对角线（n-1）中的项之和=a（n）.-_J.M.Bergot，2013年7月16日

%C From _Peter Bala，2013年10月29日：（开始）

%C根据A181565中的定义，Engel展开式为3到基数b:=3/2，相关级数展开式为3=b+b^2/2+b^3/（2*5）+b^4/（2x5*14）+。。。。参见A034472。

%C更一般地说，对于一个n>=3的正整数，序列[1，n-1，n^2-n-1，…，（（n-2）*n^k+1）/（n-1），…]是n/（n-2）到碱基n/（n-1）的恩格尔展开。案例包括A007583（n=4）、A083065（n=5）和A083066（n=6）。（结束）

%C矩阵A^n的对角元素（和一个以上的反对角元素），其中A=（2,1；1,2）_David Neil McGrath_，2014年8月17日

%C来自M.Sinan Kul_2016年9月7日：（开始）

%当x等于n个不同素数的乘积时，C a（n）等于下列方程的整数解数：1/x=1/y+1/z，其中0<x<y<=z。

%如果z=k*y，其中k是一个大于等于1的分数，那么解可以表示为：y=（k+1）/k）*x和z=（k+1*x。

%这里k可以等于x的任何除数，也可以等于两个除数之比。

%C例如，对于x=2*3*5=30（三个不同素数的乘积），k有以下14个值：1、6/5、3/2、5/3、2、5/2、3、10/3、5、6、15/2、10、15、30。

%以k=10/3为例，我们得到y=39，z=130和1/39+1/130=1/30。

%C在这里，找到分数的数量相当于将n个球（不同的素数）分布到两个没有空箱子的箱子（分子和分母）中，而这些箱子可以使用第二类斯特林数找到。（n）的另一个定义是：a（n）=2^n+Sum_{i=2..n}Stirling2（i，2）*二项式（n，i）。

%C（结束）

%C a（n+1）是加泰罗尼亚数字C（i）（参见A000108）可被n>0的3^n整除的最小i。这遵循了_Franklin T.Adams-Waters给出的确定素数除以C（n）的多重性的规则。我们需要找到以3为基数的最小数字才能获得给定的计数。应用于素数3时，1是计数的最小数字，但需要后跟不能在末尾的2才能计数。因此，以3为底的形式1{n-1乘以}20=（3^（n+1）+1）/2+1=a（n+1”）+1的数字是实现计数n的最小数字，这意味着权利要求_Peter Schorn，2020年3月6日

%C设A是n阶Toeplitz矩阵，定义为：A[i，j]=1，如果i<j；如果i>j，A[i，j]=-1；A[i，i]=2。那么，对于n>=1，a（n）=det a.-Dmitry Efimov_，2021年10月28日

%C a（n）是最小的数字k，当n>0时，A065363（k）=-（n-1）_Amiram Eldar，2022年9月3日

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%F a（n）=3*a（n-1）-1。

%切比雪夫系数A011782.-的F二项式变换_保罗·巴里，2003年3月16日

%F From _ Paul Barry，2003年3月16日：（开始）

%当n>1时，F a（n）=4*a（n-1）-3*a（n-2），a（0）=1，a（1）=2。

%联邦政府：（1-2*x）/（1-x）*（1-3*x））。（结束）

%例如：exp（2*x）*cosh（x）。-_Paul Barry_，2003年4月5日

%F a（n）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（n，2*k）*2^（n-2*k_保罗·巴里（Paul Barry），2003年5月8日

%F这个序列也是第二类前3个斯特林数的部分和：对于n>=0，a（n）=S（n+1，1）+S（n+1,2）+S；或者是[n+1]分成3个或更少部分的分区数_Mike Zabrocki，2004年6月21日

%F对于c=3，a（n）=（c^n）/c！+求和{k=1..c-2}（（k^n）/k*（和{j=2..c-k}（（-1）^j）/j！））或=和{k=1..c}g（k，c）*k^n其中g（1，1）=1，g（1、c）=g（1；c-1）+（（-1）^（c-1））/（c-1）！对于c>1，g（k，c）=g（k-1，c-1）/k对于c>1,2<=k<=c

%F序列的第i项是2X2矩阵M=（（2，1），（1，2））的第i次幂的项（1，1）_西蒙·塞韦里尼（Simone Severini），2005年10月15日

%F如果p[i]=fibonacci（2i-3），并且如果A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[i，j]=p[j-i+1]，（i<=j），A[i、j]=-1，（i=j+1），否则A[i和j]=0。那么，对于n>=1，a（n-1）=det a.-Milan Janjic_，2010年5月8日

%A001519的F INVERT变换：[1，1，2，5，13，34，…].-_Gary W.Adamson，2011年6月13日

%F a（n）=M^n*[1,1,1,0,0,0，…]，最左边的列项；其中M=一个无限双对角矩阵，其中所有1都在超对角线中，（1,2,3，…）在主对角线和其余零中_Gary W.Adamson，2011年6月23日

%F a（n）=M^n*{1,1,0,0,0，…]，顶项；其中M是一个无限双对角矩阵，所有1都在超对角线中，（1,2,3，…）为主对角线，其余0为零。-_Gary W.Adamson_，2011年6月24日

%F a（n）=A201730（n，0）_Philippe Deléham，2011年12月5日

%F a（n）=A006342（n）+A006341（n-1）_季宇春，2018年9月19日

%F From _Dmitry Efimov，2021年10月29日：（开始）

%Fa（2*m+1）=Product_{k=-m.m}（2+i*tan（Pi*k/（2*m+1））），

%F a（2*m）=产品{k=-m.m-1}（2+i*tan（Pi*（2*k+1）/（4*m））），

%其中i是虚单位。（结束）

%e来自_Adi Dani_，2011年5月14日：（开始）

%e a（3）=14，因为所有偶数自然数组成的3部分<=2的成分都是

%e代表0：（0,0,0）

%e代表2：（0,1,1），（1,0,1）、（1,1,0）、（0,0,2）、（2,2,0）、

%e代表4：（0,2,2），（2,0.2），（2,2,0），（1,1,2）

%e代表6:（2,2,2）。

%e（结束）

%p ZL:=[S，{S=并集（序列（Z），序列（并集（Z，Z，Z）））}，未标记]：seq（组合结构[计数]（ZL，大小=n）/2，n=0..25）；#_Zerinvary Lajos，2008年6月19日

%t表[（3^n+1）/2，｛n，0，50｝]（*Stefan Steinerberger_，2006年4月8日*）

%t系数列表[系列[（1-2 x）/（（1-x）（1-3 x）），｛x，0，40｝]，x]（*_Harvey P.Dale_，2011年6月20日*）

%t线性递归[{4，-3}，{2，5}，}，[28}]（*_Arkadiusz-Wesolowski_，2012年10月30日*）

%o（PARI）a（n）=（3^n+1）>>2011年6月10日

%o（岩浆）[（3^n+1）/2:n in[0..30]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2015年11月23日

%o（Python）

%o定义A007051（n）：返回3**n+1>>1#_Chai Wah Wu_，2022年11月14日

%Y参见A056449、A064881-A064886、A008277、A007581、A056272、A056270、A000392、A000079、A034472、A147292、A003462、A065363、A071919、A00758、A083065、A08306。

%Y A278984中数组的一行。

%放松，不，很好

%0、2

%A _Colin Mallows_，N.J.A.Sloane，Simon Plouffe，_Robert G.Wilson v_