%I M3539#192 2024年2月5日10:51:24

%S 1,4,17,763541704842142508213181137400599693831940792，

%电话：1716059569289312805061593709277398332281528095065828456470616，

%电话：469912691542226209721959614668152112124482342982805936

%N在xy平面上开始和结束且从未低于xy平面的立方晶格上行走的次数。

%C此外，n X n网格中从（0,0）到（n，0）的路径数仅使用东北、东部和东南台阶，东部台阶有四种颜色_Emeric Deutsch，2002年11月3日

%C半长n+1的斜Dyck路径数，左边的步骤有两种颜色_David Scambler_，2013年6月21日

%C从（0,0）到（2n+2,0）的双色Schroeder路径的数目，在偶数级上没有级步长H=（2,0）。有两种方法可以在奇数级别为H阶跃着色。例如：a（1）=4，因为我们有UUDD、UHD（2个选项）和UDUD_何塞·路易斯·拉米雷斯·拉米雷斯，2015年4月27日

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H T.D.Noe，n表，n=0..200时的a（n）</a>

%H R.De Castro、A.L.Ramírez和J.L.Raírex，<A href=“http://arxiv.org/abs/1310.2449“>在无穷加权自动机和图的枚举组合数学中的应用，arXiv预印本arXiv:1310.2449[cs.DM]，2013。

%H Y.Cha，<a href=“https://www.math.fsu.edu/~hoeij/papers/J/Cha_Y_Dissertation_2011.pdf“>差分方程的闭式解</a>，（2011）博士论文，佛罗里达州立大学，示例5.1.2。

%H Isaac DeJager、Madeleine Naquin和Frank Seidl，<a href=“https://www.valpo.edu/mathematics-statistics/files/2019/08/Drube2019.pdf“>高阶彩色莫茨金路径，VERUM 2019。

%H Nachum Dershowitz，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL20/Dershowitz/dersh3.html“>Touchard的醉汉</a>，《整数序列杂志》，第20卷（2017年），#17.1.5。

%H Rigoberto Flórez、Leandro Junes和JoséL.Ramírez，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL21/Florez/florez4.html“>关于n维立方格中路径的进一步结果，《整数序列杂志》，第21卷（2018年），第18.1.2条。

%H R.K.Guy，给N.J.a.Sloane的信，1990年5月</a>

%H R.K.盖伊，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL3/GUY/catwalks.html“>猫道、沙阶和帕斯卡金字塔，J.Integer Sequences，第3卷（2000年），第00.1.6条。

%H P.-Y.Huang、S.-C.Liu和Y.-N.Yeh，<a href=“https://doi.org/10.37236/3693“>某些生成函数中系数的有限和的同余</a>，组合数学电子期刊，21（2014），#P2.45。

%H INRIA算法项目，<a href=“http://ecs.inria.fr/services/structure？nbr=153“>组合结构百科全书153</a>

%H J.W.Layman，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL4/LAYMAN/hankel.html“>The Hankel Transform and Some of its Properties（汉克尔变换及其一些属性）</a>，J.Integer Sequences，4（2001），#01.1.5。

%H Lily L.Liu，<a href=“https://doi.org/10.37236/329“>三项重复序列的阳性率</a>，《电子组合数学杂志》，17（2010），#R57。

%刘瑞丽和赵凤珍，<a href=“https://www.emis.de/journals/JIS/VOL21/Liu/liu19.html“>对数平衡的新充分条件，及其在组合序列中的应用</a>，《国际期刊》，第21卷（2018），第18.5.7条。

%H N.J.A.Sloane，转换</a>

%H R.A.Sulanke，<A href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL3/SULANKE/SULANKE.html“>广义Motzkin路径的矩</a>，J.整数序列，第3卷（2000），#00.1。

%H E.X.W.Xia和O.X.M.Yao，<a href=“https://doi.org/10.37236/3412“>组合序列对数凸性的一个准则，组合数学电子杂志，20（2013），#P3。

%生成函数A（x）满足1+（xA）^2=A-4xA。

%F a（0）=1，当n>0时，a（n）=4a（n-1）+和{i=1..n-1}a（i-1）*a（n-i-1）.-_John W.Layman，2000年1月7日

%总建筑面积：（1-4*x-sqrt（1-8*x+12*x^2））/（2*x*2）。

%带递推的F D-有限：a（n）=（（2*n+1）*a（n-1）-3*（n-1”*a（n-2））*4/（n+2），n>0。

%F a（m+n）=和{k>=0}A052179_菲利普·德雷厄姆，2005年9月15日

%F a（n）=4a（n-1）+A052177（n-1_Henry Bottomley，2001年8月23日

%F a（n）=总和{k=0..n}A097610（n，k）*4^k.-Philippe Deléham，2009年12月3日

%设A（x）为g.F.，则B（x）=1+x*A（x）=1+1*x+4*x^2+17*x^3+…=1/（1-z/（1-z:（1-z[（…）））），其中z=x/（1-2*x）（连分数）；更一般地说，B（x）=C（x/（1-2*x）），其中C（x）是加泰罗尼亚数字的g.f.（A000108）_Joerg Arndt_，2011年3月18日

%F From _Gary W.Adamson_，2011年7月21日：（开始）

%F a（n）=M^n顶行项之和，M=无限平方生产矩阵，如下所示：

%F 3、1、0、0。。。

%F 1、3、1、0。。。

%F 1、1、3、1。。。

%F 1、1、1和3。。。

%F。。。（结束）

%F a（n）~3*6^（n+1/2）/（n^（3/2）*sqrt（Pi））_瓦茨拉夫·科特索维奇，2012年10月5日

%F a（n）=和{k=0..floor（n/2）}二项式（n，2*k）*二项式_Max Alekseyev_，2015年2月2日

%F来自_Paul D.Hanna_，2015年2月2日：（开始）

%F a（n）=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*2^（n-k）*binominal（2*k+2，k）/（k+1）。

%F a（n）=和{k=0..n}二项式（n，k）*2^（n-k）*A000108（k+1）。

%F a（n）=[x^n]（1+4*x+x^2）^（n+1）/（n+1）。

%F G.F.：（1/x）*系列_翻转（x/（1+4*x+x^2））。（结束）

%F a（n）=2^n*超几何（[3/2，-n]，[3]，-2）_Peter Luschny_，2015年2月3日

%F a（n）=4^n*超几何（[-n/2，（1-n）/2]，[2]，1/4）_罗伯特·伊斯雷尔（Robert Israel），2015年2月4日

%F a（n）=和{k=0..n}A108198（n，k）*2^（n-k）.-_Peter Luschny_，2015年2月5日

%F a（n）=2*（12^（n/2））*（n！/（n+2）！）*GegenbauerC（n，3/2,2/sqrt（3）），其中GegenbaurerC是Maple表示法中的Gegenbaue多项式。这是罗贝尔·伊斯雷尔公式的结果_Karol A.Penson，2015年2月20日

%F a（n）=（2^（n+1）*3^（（n+1_彼得·卢施尼，2015年2月24日

%F a（n）=-6^（n+1）*sqrt（3）*积分{t=0..Pi}（cos（t）*（2+cos（t））^（-n-2））/（Pi*（n+2））.-_Peter Luschny_，2015年2月24日

%F摘自Karol A.Penson和Wojciech Mlotkowski，2015年3月16日：（开始）

%F积分表示为段x=[2,6]上定义的正函数的第n个矩。这个函数是Wigner的半圆分布向右移动了4。这种表示是独特的。在Maple表示法中，

%F a（n）=int（x^n*sqrt（4-（x-4）^2）/（2*Pi），x=2..6），

%F a（n）=2*6^n*Pochhammer（3/2，n）*超几何（[-n，3/2]，[-n-1/2]，1/3）/（n+2）！

%F（结束）

%F a（n）=GegenbauerC（n，-n-1，-2）/（n+1）_Peter Luschny_，2016年5月9日

%例如：exp（4*x）*BesselI（1,2*x）/x.-Ilya Gutkovskiy_，2020年6月1日

%F From _Peter Bala，2021年8月18日：（开始）

%F G.F.A（x）=1/（1-2*x）*c（x/（1-2**x））^2，其中c（x）＝（1-sqrt（1-4*x））/（2**）是加泰罗尼亚数字A000108的G.F。参见A129400。

%F猜想：除了形式2*（2^k-1）的n外，a（n）是偶数。【2月3日补充：猜想来自于上述公式a（n）=和{k=0..n}2^（n-k）*二项式（n，k）*加泰罗尼亚语（k+1）。】（结束）

%F From _Peter Bala，2024年2月3日：（开始）

%F G.F.：1/（1-2*x）*c（x/（1-2*x））^2=1/（1-6*x）*c（-x/（1-6*x。

%F a（n）=6^n*和{k=0..n}（-6）^（-k）*二项式（n，k）*加泰罗尼亚语（k+1）。

%F a（n）=6^n*超几何（[-n，3/2]，[3]，2/3）。（结束）

%e a（3）=76=M^3顶行项之和；即（37+29+9+1）。

%p a:=n->简化（2^n*超几何（[3/2，-n]，[3]，-2）：

%p序列（a（n），n=0..21）；#_Peter Luschny_，2015年2月3日

%p a:=n->简化（GegenbauerC（n，-n-1，-2））/（n+1）：

%p序列（a（n），n=0..21）；#_Peter Luschny_，2016年5月9日

%t循环表[{a[0]==1，a[1]==4，a[n]==（（2n+1）a[n-1]-3（n-1）a[n-2]）4/（n+2）}，a[n]，{n，30}]（*H arvey P.Dale_，2011年10月4日*）

%t a[n_]：=如果[n==0,1，系数[（1+4x+x^2）^（n+1），x^n]/（n+1）]

%t表[a[n]，{n，0,40}]（*_Emanuele Munarini_，2012年4月6日*）

%o（PARI）a（n）=波尔科夫（（1-4*x-sqrt（1-8*x+12*x^2+x^3*o（x^n））/2，n+2）

%o（PARI）{A005572（n）=总和（k=0，n\2，二项式（n，2*k）*二项式*/

%o（PARI）{a（n）=和（k=0，n，二项式（n，k）*2^（n-k）*二项式（2*k+2，k）/（k+1））}

%o代表（n=0,30，打印1（a（n），“，”）\\保罗·D·汉纳，2015年2月2日

%o（最大值）a（n）：=系数（展开（（1+4*x+x^2）^（n+1）），x^n）/（n+1；名单（a（n），n，0,12）；/*_伊曼纽尔·穆纳里尼（Emanuele Munarini），2012年4月6日*/

%o（鼠尾草）

%o定义A005572（n）：

%o A108198=λn，k:（-1）^k*加泰罗尼亚数（k+1）*风险_阶乘（-n，k）/阶乘（k）

%o返回和（A108198（n，k）*2^（n-k）for k in（0..n））

%o[A005572（n）表示范围（22）内的n]#_Peter Luschny_，2015年2月5日

%A0002212的Y二项式变换。两次右移的序列是A025228。

%Y参考A001006、A025228、A025230、A108198、A129400、A182401。

%不，走路，轻松，好

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_

%E迈克尔·索莫斯（Michael Somos）的补充意见，2000年6月10日