%I M3801#146 2024年8月2日06:53:58

%S 1,1,5,10,29，57126232440750128220523260495074401082415581，

%电话：218793041541470560217450398254127920165288211276262228，

%电话：33741642185652326064545679070496379311676451408185

%N带有8颗红色珠子和N-8颗黑色珠子的N珠手镯（翻转项链）的数量。

%C摘自_Vladimir Shevelev，2011年4月23日：（开始）

%C还有8个珠子的非等效项链，每个珠子涂有n种颜色中的一种。

%C序列解决了在k=8的情况下关于凸k-gons的所谓Reis问题（参见我们在A032279的评论）。（结束）

%C From _Petros Hadjicostas，2018年7月14日：（开始）

%设（C（n）：n>=1）是一个非负整数序列，C（x）=Sum_{n>=1}C（n）*x^n是它的g.f。设k是一个正整数。设a_k=（a_k（n）：n>=1）为序列的DIK[k]变换的输出序列（c（n）:n>=1。可以证明，当k为偶数时，A_k（x）=（（1/k）*Sum_{d|k}φ（d）*C（x^d）^（k/d）+（1/2）*C。

%对于该序列，k=8，对于所有n>=1，C（n）=1，并且C（x）=x/（1-x）。因此，对于所有n>=1，a（n）=a_8（n）。由于对于1<=n<=k-1，a_k（n）=0，因此该序列的偏移量为n=k=8。应用（c（n）：n>=1）的DIK[8]的g.f.公式，其中c（x）=x/（1-x）和k=8，我们得到了_Herbert Kociemba_的公式。

%C这里，a（n）被定义为两种颜色的n珠子手镯的数量，有8个红色珠子和n-8个黑色珠子。但它也是n的八分之二面体组成数。（这句话相当于维拉迪米尔·舍维列夫（_Vladimir Shevelev）在上文中的说法，即a（n）是“由8个珠子组成的非等效项链的数量，每个珠子由n种颜色中的一种涂成。”“项链”的意思是“周转项链”。见他2004年在《印度纯粹与应用数学杂志》上发表的论文第2节第2段。）

%C n的两个循环组成（k=8部分）属于相同的等价类，对应于n的二面体组成，当且仅当其中一个可以通过旋转或颠倒顺序从另一个获得时。（结束）

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%D N.Zagaglia Salvi，自行车和项链的有序分区和着色，公牛。仪表组合应用。，27 (1999), 37-40.

%H Andrew Howroyd，n表，n=8..1000的a（n）</a>

%H Christian G.Bower，转换（2）</a>

%H S.J.Cyvin、B.N.Cyven、J.Brunvoll、I.Gutman、陈荣思、S.El-Basil和张富士，<a href=“http://zfn.mpdl.mpg.de/data/Reihe_A/52/ZNA-1997-52a-0867.pdf“>包括珊瑚烯和珊瑚烯同系物的多边形系统：Pólya定理的新应用，Z.Naturforsch.，52a（1997），867-873。

%H Hansraj Gupta，<a href=“https://web.archive.org/web/2020806162943/https://www.insa.nic.in/writeraddata/UpLoadedFiles/IJPAM/20005a66_964.pdf“>不一致循环k-gons的枚举，印度J.Pure和Appl.Math.，10（1979），第8期，964-999。

%H W.D.Hoskins和Anne Penfold街http://dx.doi.org/10.1017/S146788700017547“>给定数量线束上的斜纹</a>，J.Austral.Math.Soc.Ser.a 33（1982），第1期，第1-15页。

%H W.D.Hoskins和A.P.Street，澳大利亚J。数学。Soc.（系列A），33（1982），1-15。（带注释的扫描件）

%H Richard H.Reis，<a href=“https://web.archive.org/web/2020803213425/https://www.insa.nic.in/writeraddata/UpLoadedFiles/IJPAM/20005a66_1000.pdf“>古普塔论文中的C（T）公式，印度J.Pure和应用数学，10（1979），第8期，1000-1001。

%H Frank Ruskey，<a href=“http://combos.org/项链“>项链、林登文字、De Bruijn序列等</a>

%H Frank Ruskey，项链、Lyndon单词、De Bruijn序列等

%H Vladimir Shevelev，<a href=“https://web.archive.org/web/20200722171019/http://www.insa.nic.in/writeraddata/UpLoadedFiles/IJPAM/2000c4e8_629.pdf“>项链和凸面k-gons，印度J.Pure和应用数学，35（2004），第5期，629-638。

%H Vladimir Shevelev，<a href=“https://www.math.bgu.ac.il网站/~shevelev/shevelev_Neclaces.pdf“>项链和凸k-gons。

%H Vladimir Shevelev，<a href=“http://arxiv.org/abs/1104.4051“>Lambda_n^3和Lambda_n（α、β、γ）中的永久值及其极值的光谱</a>，arXiv:104.4051[math.CO]，2011。（参见第5节）。

%H A.P.街，致N.J.A.Sloane的信</a>

%H<a href=“/index/Br#手镯”>手镯相关序列的索引条目</a>

%F S.J.Cyvin等人（1997）给出了一个g.F.（参见他们论文第870页的方程式（18））。除了额外的x^8外，他们的g.f.与V.Jovovic给出的相同。）-_ Petros Hadjicostas，2018年7月14日

%传真：（x^8/16）*（1/（1-x）^8+4/（1-x^8）+5/（1-x2）^4+2/（1-x^4）^2+4/（1-x）^2/^8/（1+x）^4/（1+x^2）^2/（1+x^4）。-_Vladeta Jovovic_，2002年7月17日

%F a（n）=（（n+4）/32）*s（n，0,8）+（（n-4）/32；a（n）=（48*C（n-1,7）+（n-1）*（n-3）*（n-5）*（7-7））/768，如果n奇数>=8，其中s（n，k，d）=1，如果n==k（mod d），否则为0_Vladimir Shevelev，2011年4月23日

%F G.F.：k=8，x^k*（（1/k）*和{d|k}φ（d）*（1-x^d）^（-k/d）+（1+x）/（1-x*2）^楼层（k+2）/2）。-_Herbert Kociemba，2016年11月5日[由_Petros Hadjicostas编辑，2018年7月18日]

%F From _Petros Hadjicostas，2018年7月14日：（开始）

%F a（n）=（A032193（n）+A119963（n，8））/2=（A03193（n）+C（楼层（n/2），4））/2，对于n>=8。

%F序列（a（n）：n>=8）是鲍尔的“DIK[8]”（手镯，模糊，未标记，8部分）变换的输出序列，1，1。。。

%F（完）

%e摘自2018年7月14日的Patros Hadjicostas：（开始）

%e每个双色n珠子手镯（其中8个珠子为红色，n-8为黑色）可以通过以下方式转化为n的二面体组成，其中有8个部分。从一个R珠子开始，朝一个方向（顺时针方向）移动，直到到达下一个R珠。继续此过程，直到回到原来的R胎圈。

%e让b_i是从R珠子i到R珠子i+1（或R珠子1）之前的最后一个b珠子的珠子数。这里，b_i=1，如果R珠i和R珠i+1（或R珠8和R珠1）之间没有b珠。然后是b_1+b_2+…+b_8＝n，我们得到了n的二面体组成。（当然，b_2+b_3+…+b_8+b_1和b_8+b_7+…+b_1属于二面体组成b_1+…+b_8的同一等价类。）

%例如，a（10）=5，我们有以下带有8个R珠子和2个B珠子的手镯。在手镯旁边，我们列出了n的相应二面体组成，k=8部分（必须在圆上查看）：

%e RRRRRRRR BB<->1+1+1+1+1+1+3

%e RRRRRRR BRB<->1+1+1+1+1+2

%e RRRRRR BRRB<->1+1+1+1+2

%e RRRRR BRRRB<->1+1+1+2+1+2

%e RRRRBRRRRB<->1+1+1+2+1+1+2

%e（结束）

%t k=8；表[（应用[Plus，Map[EulerPhi[#]二项式[n/#，k/#]&，除数[GCD[n，k]]]/n+二项式[Cf[OddQ[n]，n-1，n-If[OdQ[k]，2，0]]/2，If[OddQ[k]，k-1，k]/2]）/2，{n，k，50}]（*_Robert A.Russell_，2004年9月27日*）

%t k=8；系数列表[系列[x^k*（1/k Plus@@（EulerPhi[#]（1-x^#）^（-（k/#））和/@除数[k]）+（1+x）/（1-x*2）^楼层[（k+2）/2]，{x，0,50}]，x]（*_Herbert Kociemba_，2016年11月4日*）

%A052307的Y列k=8。

%Y参见A008805、A032193、A032279、A032280、A022281、A032282、A119963、A292906。

%不，简单，好

%O 8,3号机组

%A _N.J.A.斯隆_

%克里斯蒂安·G·鲍尔对E序列的扩展和描述的修正_

%E名称由_Petros Hadjicostas编辑，2018年7月20日