%I M2400#431 2024年4月24日03:03:36

%S 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45,47，

%电话：49,51,53,55,57,59,61,63,65,67,69,71,73,75,77,79,81,83,85,87,89,91,93，

%电话：95,97,99101103105107111115117119121123125127129131

%奇数：a（N）=2*N+1。

%C莱布尼茨级数：Pi/4=Sum_{n>=0}（-1）^n/（2n+1）（参见A072172）。

%C Sharkovski定理中使用的自然数排序的开始-参见Cielsielski-Pogoda论文。

%C Sharkovski排序从奇数>=3开始，然后是这些数字的两倍，然后是它们的4倍，再是它们的8倍，以此类推，最后是2的幂，以降序结束，最后是2^0=1。

%C除了初始项外，Gamma_0（6）的2n权空间的维数也是尖点形式。

%C也是coth（1）的续分数（A073747是十进制扩展）。-_Rick L.Shepherd_，2002年8月7日

%Ca（1）=1；a（n）是最小的数，使得a（n）+a（i）对于所有i＝1到n-1都是复合的_Amarnath Murthy，2003年7月14日

%C大于n的最小数，不是n的倍数，但包含在二进制表示中_Reinhard Zumkeller，2003年10月6日

%C数字n，使得phi（2n）=phi（n），其中phi是Euler的totient（A000010）_Lekraj Beedassy，2004年8月27日

%CPi*sqrt（2）/4=Sum_{n>=0}（-1）^floor（n/2）/（2n+1）=1+1/3-1/5-1/7+1/9+1/11。。。[由于周期f（x）=x over-Pi<x<Pi=2（sin（x）/1-sin（2x）/2+sin（3x）/3-…），使用x=Pi/4（Maor）]。-_Gerald McGarvey，2005年2月4日

%对于n>1，数字有2作为反除数_Alexandre Wajnberg，2005年10月2日

%C a（n）=所有完整三角形的最短边a，边a<=b<=C，内径n>=1。

%C平方第一差（A000290）。-_Lekraj Beedassy，2006年7月15日

%C当假设算法“合并排序”可以在恒定的单位时间内合并时，奇数是最简单递归的解决方案，即T（1）：=1，T（n）：=T（floor（n/2））+T（caption（n/2））+1。-Peter C.Heinig（算法（AT）gmx.de），2006年10月14日

%C2n-5计算S_n中模式312的零次出现和模式123的一次出现的排列David Hoek（David.hok（AT）telia.com），2007年2月28日

%C对于n>0：任意无平方半素数（n-1）次幂的除数：a（n）=A000005（A001248（k）^（n-1；a（n）=A000005（A000302（n-1））=A0000005（A001019（n-1_Reinhard Zumkeller_，2007年3月4日

%C对于n>2，a（n-1）是最小整数，而不是<n个n次方数字的和（允许为0）_Jonathan Sondow，2007年7月1日

%C A134451（a（n））=abs（A134452（a（n）））=1；A134453和A134454的接头。-_Reinhard Zumkeller_，2007年10月27日

%C编号n，使σ（2n）=3*σ（n）_Farideh Firozbakht，2008年2月26日

%C a（n）=A139391（A016825（n））=A006370（A016825n））_Reinhard Zumkeller_，2008年4月17日

%C n>0时4^（n-1）的除数_J.Lowell，2008年8月30日

%C等于A078050的INVERT转换（签名-参见注释）；和三角形A144106的行和_Gary W.Adamson_，2008年9月11日

%C奇数（n）=2*n+1=平方金字塔数（3*n+1）/三角数（3xn+1）_Pierre CAMI_，2008年9月27日

%C A000035（a（n））=1，A059841（a（n））=0_Reinhard Zumkeller，2008年9月29日

%C A065091.-的乘法闭包_Reinhard Zumkeller_，2008年10月14日

%C a（n）也是同一平面上n+2个点可以确定的最大三角形数。3个点确定最大1个三角形；4个点可以得到3个三角形；5分等于5分；6分可以得到7分等-Carmine Suriano，2009年6月8日

%A130706的C二项式变换，A001787的逆二项式转换（无初始值0）_菲利普·德雷厄姆，2009年9月17日

%C还有3个粗略数：没有素因子小于3的正整数_迈克尔·波特，2009年10月8日

%C或n没有2作为素因子_Juri-Stepan Gerasimov，2009年11月19日

%C给定图G的L（2,1）标号L，设k是L指定的最大标号。G的所有L（2,L）标号上可能的最小k用lambda（G）表示。对于n>0，这个序列给出了lambda（K{n+1}），其中K{n+1}是n+1顶点上的完整图_K.V.Iyer，2009年12月19日

%C A176271=奇数被视为行读取的三角形：a（n）=A17627一（A002024（n+1），A002260（n+1_Reinhard Zumkeller_，2010年4月13日

%C对于n>=1，a（n-1）=数字k，使得前k个正整数的算术平均数是整数。A040001（a（n-1））=1。参见A145051和A040001_雅罗斯拉夫·克里泽克，2010年5月28日

%C A179084和A179085的联合。-_Reinhard Zumkeller_，2010年6月28日

%C对于n>0，连分式[1,1，n]=（n+1）/a（n）；例如，[1,1,7]=8/15.-_Gary W.Adamson，2010年7月15日

%C是两个连续整数之和的数字_Dominick Cancilla，2010年8月9日

%C参考A113801中的Gary Detlefs描述的属性：更一般地说，这些数字的形式是（2*h*n+（h-4）*（-1）^n-h）/4（A000027中的h和n），因此（2*h*n+；在这种情况下，a（n）^2-1==0（mod 4）。同时a（n）^2-1==0（mod 8）。-_布鲁诺·贝塞利（Bruno Berselli），2010年11月17日

%C A004767=a（a（n））_Reinhard Zumkeller，2011年6月27日

%C A001227（a（n））=A000005（a（n））；A048272（a（n））<0.-_Reinhard Zumkeller，2012年1月21日

%C a（n）是一枚公平硬币所需的最小投掷次数，因此超过n个硬币的概率至少为1/2。事实上，Sum_{k=n+1..2n+1}Pr（k头|2n+1抛掷）=1/2.-_Dennis P.Walsh_，2012年4月4日

%C A007814（a（n））=0；A037227（a（n））=1.-_Reinhard Zumkeller_，2012年6月30日

%C 1/N（即1/1，1/2，1/3，…）=和{j=1,3,5，…，无穷}k^j，其中k是常数1/exp.ArcSinh（N/2）=收敛于barover（N）。收敛到barover（1）或[1,1,1，…]=1/phi=0.6180339…，而cf-barover（2）收敛到0.414213…，依此类推。因此，当k=1/phi时，我们得到1=k^1+k^3+k^5+。。。，通过k=0.414213…=（sqrt（2）-1），我们得到1/2=k^1+k^3+k^5+。。。。同样，当收敛到barover（3）=0.302775…=k时，我们得到1/3=k^1+k^3+k^5+。。。，等-加里·W·亚当森，2012年7月1日

%C关于具有一个coach的素数（A216371）与奇整数有关的猜想：如果一个整数在A216371中（具有一个形式为4q-1或4q+1的coach（q>0）的素数）；其coach的顶行由前q个奇数整数的置换组成。例如：素数19（q=5）在其coach的每行中有5个术语：19:[1，9，5，7，3]。。。[1, 1, 1, 2, 4]. 这被解释为：（19-1）=（2^1*9），（19-9）=（2%1*5），（19-5）=（2_1-7），（19.7）=（2,2*3），（十九-3）=（2-4*1）_Gary W.Adamson，2012年9月9日

%C A005408是Rydberg公式中项（1/m^2-1/n^2）=（2n-1）/（mn）^2，n=m+1，m>0的分子2n-1，而A035287是分母（锰）^2。因此，商a（A005408）/a（A035287）模拟了所有类氢元素的氢光谱序列_Freimut Marschner_，2013年8月10日

%这个序列有唯一的因子分解。基本元素是奇数素数（A065091）。（序列的每个项都可以表示为序列项的乘积。原始元素只有平凡因子分解。如果序列项的乘积总是在序列中，并且每个元素都有一个唯一的因子分解为原始元素，我们说序列有唯一的因子分解。所以，例如复合数没有唯一的因子分解，因为例如36=4*9=6*6有两个不同的因子分解。）-_富兰克林·亚当斯·沃特斯，2013年9月28日

%这些也是数字k，所以（k^k+1）/（k+1）是一个整数_Derek Orr_，2014年5月22日

%C a（n-1）给出了直接和{1,2,3，…，n}+{1,2,3,..，n}中不同和的数目。例如，{1}+{1}只有一个可能的和，因此a（0）=1。{1,2}+{1,2,}有三个不同的可能和{2,3,4}，因此a（1）=3。{1,2,3}+{1,2,3+有5个不同的可能和{2,3,4,5,6}，因此a（2）=5_德里克·奥尔，2014年11月22日

%C将4*n划分为最多2个部分的分区数_科林·巴克（Colin Barker），2015年3月31日

%C a（n）可表示为两个但不少于两个连续非负整数的和，例如，1=0+1、3=1+2、5=2+3等（参见A138591）_Martin Renner，2016年3月14日

%C互补方程a（n）=a（n-1）^2-a（n-2）*b（n-1_克拉克·金伯利（Clark Kimberling），2017年11月21日

%C也是n-蜈蚣图中最大和最大团的数目_Eric W.Weisstein_，2017年12月1日

%C词法上最早的不同正整数序列，因此任何连续项的平均值总是一个整数。（对面物业见A042963。）-Ivan Neretin_，2017年12月21日

%C凸（n+2）-边顶点之间不相交线段的最大数量_Christoph B.Kassir，2022年10月21日

%C a（n）是大小为n+1的停车功能的数量，避免了模式123、132和231。-_劳拉·普德维尔，2023年4月10日

%D T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第2页。

%D T.Dantzig，《科学语言》，第4版（1954年），第276页。

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%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html“>毕达哥拉斯三重</a>

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%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_02”>具有常系数的线性重复出现的索引条目，签名（2，-1）。

%F a（n）=2*n+1。a（-1-n）=-a（n）。a（n+1）=a（n）+2。

%固定资产：（1+x）/（1-x）^2。

%F例如：（1+2*x）*exp（x）。

%带插值零点的F G.F:（x^3+x）/（（1-x）^2*（1+x）^2）；例如，带插值零的f.：x*（exp（x）+exp（-x））/2.-_Geoffrey Critzer，2012年8月25日

%F a（n）=L（n，-2）*（-1）^n，其中L的定义如A108299所示_Reinhard Zumkeller_，2005年6月1日

%长度2序列的F Euler变换[3，-1]_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2007年3月30日

%F G.F.A（x）满足0=F（A（x，A（x^2）），其中F（u，v）=v*（1+2*u）*（1-2*u+16*v）-（u-4*v）^2*（1+2*u+2*u^2）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2007年3月30日

%F a（n）=b（2*n+1），其中，如果n是奇数，则b（n）=n是乘法的。[这似乎表明A000027是乘法的？-R.J.Mathar_，2011年9月23日]

%F摘自《费舍尔黄杨》，2007年5月25日：（开始）

%F a（n）=（n+1）^2-n^2。

%F G.F.G（x）=总和{k>=0}x ^楼层（sqrt（k））=总和_{k>=0}x^A000196（k）。（结束）

%F a（0）=1，a（1）=3，a（n）=2*a（n-1）-a（n-2）_Jaume Oliver Lafont_，2008年5月7日

%F a（n）=A0000330（A016777（n））/A000217（A016777（n））。-_Pierre CAMI_，2008年9月27日

%F a（n）=A034856（n+1）-A000217（n）=A005843（n）+A000124（n）-A0002117（n_雅罗斯拉夫·克里泽克，2009年9月5日

%F a（n）=（n-1）+n（两个连续整数的和）_Dominick Cancilla，2010年8月9日

%F a（n）=4*A000217（n）+1-2*求和{i=1..n-1}a（i）对于n>1.-_布鲁诺·贝塞利（Bruno Berselli），2010年11月17日

%F n*a（2n+1）^2+1=（n+1）*a（2 n）^2；例如，3*15^2+1=4*13^2_Charlie Marion，2010年12月31日

%F arctanh（x）=和{n>=0}x^（2n+1）/a（n）_R.J.Mathar，2011年9月23日

%F a（n）=det（F（i-j+1））_{1<=i，j<=n}，其中F（n）=A113311（n）；对于n<0，我们有f（n）=0.-_Mircea Merca，2012年6月23日

%F G.F.:Q（0），其中Q（k）=1+2*（k+1）*x/（1-1/（1+2*（k+1）/Q（k+1；（续分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2013年5月11日

%F a（n）=楼层（平方米（2*A000384（n+1）））_Ivan N.Ianakiev，2013年6月17日

%F a（n）=3*A000330（n）/A000217（n），n>0.-_Ivan N.Ianakiev，2013年7月12日

%F a（n）=产品{k=1..2*n}2*sin（Pi*k/（2*n+1）。参见A000027中2013年10月9日的配方奶粉供款及参考_Wolfdieter Lang，2013年10月10日

%注意，作为n->infinity，sqrt（n^2+n）->n+1/2，设F（n）=n+1/2-sqrt（n ^2+n）。那么对于n>0，a（n）=圆（1/f（n））/4_理查德·福伯格（Richard R.Forberg），2014年2月16日

%F a（n）=和{k=0..n+1}二项式（2*n+1,2*k）*4^（k）*bernoulli（2*k_Vladimir Kruchinin，2015年2月24日

%F a（n）=和{k=0..n}二项式（6*n+3,6*k）*Bernoulli（6*k_Michel Marcus，2016年1月11日

%F a（n）=A000225（n+1）-A005803（n+1_Miquel Cerda，2016年11月25日

%F O.g.F.：和{n>=1}φ（2*n-1）*x^（n-1）/（1-x^_Peter Bala，2019年3月22日

%F和{n>=0}1/a（n）^2=Pi^2/8=A111003.-_Bernard Schott_，2020年12月10日

%F和{n>=1}（-1）^n/（a（n）*a（n+1））=Pi/4-1/2=1/（3+（1*3）/（4+（3*5）/（4+…+（4*n^2-1）/（4]…））））。参见A016754.-_Peter Bala_，2024年3月28日

%F a（n）=A055112（n）/长方形（n）=A193218（n+1）/十六进制数（n）。与Pierre CAMI 2008年9月27日的评论相比_克劳斯·普拉斯（Klaus Purath），2024年4月23日

%e G.f.=q+3*q^3+5*q^5+7*q^7+9*q^9+11*q^11+13*q^13+15*qq^15+。。。

%p A005408:=n->2*n+1；

%p A005408:=（1+z）/（z-1）^2；#_西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）1992年论文

%t表[2 n-1，{n，1，50}]（*_Stefan Steinerberger_，2006年4月1日*）

%t范围[1131,2]（*哈维·P·戴尔，2011年4月26日*）

%t 2范围[0，20]+1（*_Eric W.Weisstein_，2017年12月1日*）

%t线性递归[{2，-1}，{1，3}，20]（*_Eric W.Weisstein_，2017年12月1日*）

%t系数表[系列[（1+x）/（-1+x）^2，{x，0，20}]，x]（*_Eric W.Weisstein_，2017年12月1日*）

%o（岩浆）[0..100]]中的[2*n+1:n；

%o（PARI）｛a（n）=2*n+1｝

%o（PARI）first（n）=Vec（（1+x）/（1-x）^2+o（x^n））\\ In Fox，2017年12月29日

%o（哈斯克尔）

%o a005408 n=（+1）。(* 2)

%o a005408_list=[1，3..]--_Reinhard Zumkeller_，2012年2月11日，2011年6月28日

%o（Maxima）标记列表（2*n+1，n，0，30）；/*_Martin Ettl，2012年12月11日*/

%o（Python）a=lambda n:2*n+1#_Indranil Ghosh，2017年1月4日

%o（GAP）列表（[0..100]，n->2*n+1）；#_Muniru A Asiru_，2018年10月16日

%o（Sage）[2*n+1表示n在范围（100）内]#_G.C.Greubel_，2018年11月28日

%Y参考A000027、A005843、A065091。

%Y关于整数内半径n的整数边三角形的序列，请参见A120062。

%Y参见A128200、A000290、A078050、A144106、A109613、A167875。

%Y参考A001651（n=1或2 mod 3），A047209（n=1或4 mod 5）。

%Y参见A003558、A216371、A179480（关于Coach定理）。

%Y参考A000754（boutrophedon变换）。

%K nonn，core，很好，很容易

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_

%E Joerg Arndt_2010年3月11日删除的错误注释和示例

%E外围评论由N.J.A.Sloane删除，2022年5月9日