%I M3096#106 2023年10月11日11:45:10

%S 1,3226243369198428140872800928256660678410251201984，

%电话：457527111603222564990849126412187240730230528715392567595403520，

%电话：45349581052869924352308751672777099982896224691760916830871873536

%N具有N个节点的带标签的根Greg树的数量。

%C有根的Greg树可以描述为具有2个彩色节点的有根树，其中只对黑色节点进行计数和标记，而白色节点至少有2个子节点_Christian G.Bower，1999年11月15日

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H Robert Israel，n的表，n=1..358的a（n）</a>

%H D.Dominici，<a href=“http://arxiv.org/abs/math/0501052“>嵌套导数：计算反函数级数展开式的简单方法。arXiv:math/0501052v2[math.CA]，2005。

%H J.Felsenstein，<a href=“http://www.jstor.org/stable/2412810“>进化树的数量</a>，《系统动物学》，27（1978），27-33。

%H J.Felsenstein，进化树的数量，系统动物学，27（1978），27-33。（带注释的扫描副本）

%H C.航班，<a href=“http://dx.doi.org/10.1484/J.MSS3.1335“>有多少根茎数据？</a>，《手稿》，34（1990），122-128。

%H C.航班，<a href=“/A048159/A048159.pdf”>多少个数据</a> 《手稿》，34（1990），122-128。（带注释的扫描副本）

%H.C.Flight，致N.J.a.Sloane的信，1990年11月</a>

%H L.R.Foulds和R.W.Robinson，<a href=“https://doi.org/10.1007/BFb0088905“>《确定系统发育树的渐近数》，《组合数学VII》（纽卡斯尔，1979年8月）第110-126页，R.W.Robinson、G.W.Southern和W.D.Wallis.Lect.Notes in Math.，829。斯普林格，1980年。

%H L.R.Foulds&R.W.Robinson，确定系统发育树的渐近数。，829 (1980), 110-126. （带注释的扫描副本）

%H Armin Hoenen、Steffen Eger和Ralf Gehrke，<a href=“http://aclweb.org/antology/W17-3402.pdf“>有多少根阶为k的速记法？</a>，《第十五届语言数学会议论文集》，2017年11月21日。

%H D.J.Jeffrey、G.A.Kalugin和N.Murdoch，<A href=“https://www.uwo.ca/apmaths/faculty/jeffrey/pdfs/JeffreySYNASC2015paper17.pdf“>拉格朗日反演和Lambert W</a>，预印本，2015年第17届科学计算符号和数值算法国际研讨会（SYNASC）。

%H M.Josuat-Vergès，<a href=“http://arxiv.org/abs/1310.7531“>树函数的导数，arXiv预打印arXiv:1310.7531[math.CO]，2013。

%H Vladimir Kruchinin，<a href=“http://arxiv.org/abs/1211.3244“>获取逆生成函数系数表达式的方法</a>，arXiv:1211.3244[math.CO]，2012。

%H Paul Laubie，<a href=“https://arxiv.org/abs/2309.05552“>共享Lie括号的pre-Lie产品组合</a>，arXiv:2309.05552[math.QA]，2023。见第1、5页。

%H N.J.A.Sloane，转换</a>

%H N.S.Wedd，致N.J.a.Sloane的信</a>

%H<a href=“/index/Res#revert”>系列反转的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Ro#rooted”>与根树相关的序列的索引项</a>

%H<a href=“/index/Tra#trees”>为与树相关的序列索引条目</a>

%F A157142的指数反转，偏移量为1.-_Michael Somos_，2011年3月26日

%F奇数[1,3,5,7,9,11，…]的REVEGF变换是[1，-3，22，-262，4336，-91984，2381408，…]-N.J.A.Sloane_，2017年5月26日

%例如，A（x）=y满足y’=（1+2*y）/（（1-2*y）*（1+x））_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2011年3月26日

%F例如，A（x）满足（1+x）*exp（A（x。

%F From _Peter Bala，2011年9月8日：（开始）

%F A（x）满足A（0）=0的可分离微分方程A'（x）=exp（A（x。因此，反函数A^-1（x）=int{t=0..x}（1-2*t）/exp（t）=exp（-x）*（2*x+1）-1=x-3*x^2/2+5*x^3/3-7*x^4/4！+。。。。A（x）=-1/2-LambertW（-exp（-1/2）*（x+1）/2）。

%F通过使用[Dominici，定理4.1]的方法将上述积分求反，可以得到在x=0时计算的结果A（n）=D^（n-1）（1），其中D表示算子g（x）->D/dx（exp（x）/（1-2*x）*g（x。与[Dominici，示例9]进行比较。

%F（结束）

%F a（n）=总和（k=1..n-1，（n+k-1）*总和（j=1..k，1/（k-j）*总和（l=1..j，1/（l！*（j-l）！）*sum（i=0..n+j-1，（（-1）^（i+l）*l^i*二项式（l，n+j-i-1）*2^（n+j-i-1））/i！））），n> 1，a（1）=1.-_Vladimir Kruchinin，2012年5月4日

%F如果k=0且（n=0或n=1），则设T（n，k）=1；如果k<0或k>n，T（n，k）=0；否则T（n，k）=（n-1）*T（n-1，k-1）+（3*n-k-4）*T（n-1，k）-（k+1）*T（n-1，k+1）。定义多项式p（n，w）=w^n*sum_{k=0..n-1}（T（n，k）*w^k）/（1+w）^（2*n-1），然后a（n）=（-1）^n*p（n），-1/2）_Peter Luschny_，2012年11月10日

%F a（n）~n^（n-1）/（sqrt（2）*exp（n/2）*（2-exp（1/2））^（n-1/2））_瓦茨拉夫·科特索维奇，2013年7月9日

%F例如：-W（-（1+x）*exp（-1/2）/2）-1/2，其中W是Lambert W函数_Robert Israel_，2017年3月28日

%总长度=x+3*x^2+22*x^3+262*x^4+4336*x^5+91984*x^6+2381408*x^7+。。。

%p T:=proc（n，k）选项记忆；如果k=0且（n=0或n=1），则返回（1）fi；如果k<0或k>n，则返回（0）fi；

%p（n-1）*T（n-1，k-1）+（3*n-k-4）*T

%p A005264:=过程（n）加（T（n，k）*（-1）^k*2^（n-k-1），k=0..n-1）结束；

%p序列（A005264（n），n=1..17）；#_Peter Luschny_，2012年11月10日

%t最大值=17；f[x_]：=-1/2-产品日志[-E^（-1/2）*（x+1）/2]；Rest[系数列表[系列[f[x]，｛x，0，max｝]，x]*范围[0，max]！]（*_Jean-François Alcover_，2012年5月23日，以Peter Bala命名*）

%t a[n_]：=如果[n<1，0，n！SeriesCoefficient[Inverse Series[Series[Exp[-x]（1+2 x）-1，{x，0，n}]]，n]]；（*迈克尔·索莫斯，2012年6月7日*）

%o（PARI）{a（n）=局部（a）；如果（n<1，0，for（k=1，n，a+=x*o（x^k）；a=截断（（1+x）*exp（a）-1-a））；n！*polcoff（a，n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2007年4月2日*/

%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，n！*polcoeff（serreverse（exp（-x+x*o（x^n））*（1+2*x）-1），n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2011年3月26日*/

%o（最大值）a（n）：=如果n=1，则1为其他和（（n+k-1）*总和（1/（k-j）*总和（1/（l！*（j-l）！）*和（（（-1）^（i+l）*l^i*二项式（l，n+j-i-1）*2^（n+j-i-1））/i！，i、 0，n+j-1），l，1，j），j，1，k），k，1，n-1）；/*_Vladimir Kruchinin，2012年5月4日*/

%o（鼠尾草）

%o缓存函数

%o定义T（n，k）：

%o如果k==0且（n==0或n==1）：返回1

%o如果k<0或k>n：返回0

%o返回（n-1）*T（n-1，k-1）+（3*n-k-4）*T

%o A005264=λn：加（T（n，k）*（-1）^k*2^（n-k-1），对于（0..n-1）中的k）

%o【A005264（n）代表（1..17）中的n】#_Peter Luschny_，2012年11月10日

%A005172的Y逆Stirling变换（因此进行了修正和扩展）_约翰·莱曼_

%Y参见A005263、A048159、A048160、A052300、A052301、A052302、A05.2303、A157142。

%K nonn，很好，很容易

%O 1,2号机组

%A _N.J.A.斯隆_