%I M2330#217 2023年10月29日21:06:35

%S 0,1,3,4,7,8,10,11,15,16,18,19,22,23,25,26,31,32,34,35,38,39,41,42,46，

%电话：47,49,50,53,54,56,57,63,64,66,67,70,71,73,74,78,79,81,82,85,86,88,89，

%电话：94,95,97,98101102104105109110112113116119120127128

%N a（N）=a（楼层（N/2））+N；1/sqrt（1-x）展开式中的分母也是2^a（n）；也就是2n——2n二进制展开中的1个数。

%C也是2除以（2n）的最大幂的指数！（A010050）和（2n）！！（A000165）。

%C以二进制形式写入n：1ab。。yz，则a（n）=1ab。。yz+…+1ab+1a+1.-_Ralf Stephan，2003年8月27日

%C也是将数划分为不同的梅森数>0的数；A079559（a（n））=1；A055938.-的补充_Reinhard Zumkeller_，2009年3月18日

%C维基百科关于“惠特尼浸入定理”的文章提到，a（n）维球体产生于1985年拉尔夫·科恩证明的浸入猜想_Jonathan Vos Post，2010年1月25日

%C对于n>0，具有o.g.f.1/sqrt（1-tx+x^2）的勒让德多项式的连续整数分子多项式对L（n+1，x）的分母_汤姆·科普兰，2016年2月4日

%C a（n）是完全跳过列表的前n个元素中的指针总数_Alois P.Heinz，2017年12月14日

%C a（n）是第n个a（从0开始索引）在态射a->aab，b->b.-_Jeffrey Shallit_，2020年12月24日的不动点中的位置

%D N.J.A.斯隆和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H N.J.A.斯隆，<A href=“/A0051187/b005187.txt”>N，A（N）表，N=0...20000</A>（T.D.Noe的前1000个术语）

%H J.-P.Allouche、J.Betrema和J.Shallit，<a href=“https://doi.org/10.1051/ita/1989230302351“>Sur des points fixes de morphismes d'un mono ie de libre（点修复了自由的形态）</a>，RAIRO-Theor.Inf.Appl.23（1989），235-249。

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%H Sung-Hyuk Cha，<a href=“http://naun.org/multimedia/UPress/ami/16-125.pdf“>关于完全和大小平衡的k元树整数序列，国际应用数学和信息学杂志，2012年第6卷第2期，第67-75页发件人：N.J.A.Sloane，2012年12月24日

%H Ralph L.Cohen，<a href=“http://www.jstor.org/stable/1971304“>可微流形的浸入猜想，数学年鉴，1985:237-328。

%HXIEN-Kuei Hwang、Svante Janson和Tsung-Hsi Tsai，<a href=“网址：http://www2.math.uu.se/~svante/papers/sj315.pdf“>递归f（n）=f（floor（n/2））+f（capility（n/2，））+g（n）的精确解和渐近解：理论和应用，预印本，2016年。

%HXIEN-Kuei Hwang、Svante Janson和Tsung-Hsi Tsai，<a href=“https://doi.org/10.1145/3127585“>分治递归二分法的精确解和渐近解：理论和应用，ACM算法汇刊，13:4（2017），#47；DOI:10.1145/3127585。

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%H Ralf Stephan，一些分治序列</a>

%H Ralf Stephan，生成函数表</a>

%H维基百科，<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Witney_immersion_theorem“>Whitney浸入定理。

%H Allan Wilks，电子邮件至N.J.a.Sloane，1988年7月7日。

%F a（n）=A011371（2n+1）=A011571（n）+n，n>=0。

%F A046161（n）=2^a（n）。

%F对于m>0，设q=地板（log_2（m））；a（2m+1）=2^q+3m+总和{k>=1}层（（m-2^q）/2^k）；a（2m）=a（2m+1）-1.-_伦·斯迈利_

%F a（n）=总和{k>=0}楼层（n/2^k）=n+A011371（n）.-_Henry Bottomley，2001年7月3日

%F G.F.:A（x）=和{k>=0}x ^（2^k）/（（1-x）*（1-x^（2 ^k））_Ralf Stephan，2002年12月24日

%F a（n）=Sum_{k=1..n}A001511（k），截至n.-_Gary W.Adamson_的连续整数之间的二进制汉明距离之和，2003年6月15日

%F猜想：a（n）=2n+O（log（n））_Benoit Cloitre_，2003年10月7日[真实为a（n）=2*n-hamming_weight（2*n）._Joerg Arndt_，2019年6月10日]

%F和{n=2^k..2^（k+1）-1}a（n）=3*4^k-（k+4）*2^（k-1）=A085354（k）.-_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2004年2月19日

%F摘自2007年8月14日《费舍尔黄杨》：（开始）

%F重现期：a（n）=n+a（楼层（n/2））；a（2n）=2n+a（n）；a（n*2^m）=2*n*（2^m-1）+a（n）。

%F a（2^m）=2^（m+1）-1，m>=0。

%F渐近行为：a（n）=2n+O（log（n）），a（n+1）-a（n；这源于下面的不等式。

%F a（n）<=2n-1；2的权力是平等的。

%F a（n）>=2n-1层（log_2（n））；等式适用于n=2^m-1，m>0。

%F lim-inf（2n-a（n））=1，对于n-->oo。

%对于n-->oo，F lim-sup（2n-log_2（n）-a（n））=0。

%对于n-->oo，F lim sup（a（n+1）-a（n）-log_2（n））=1。（结束）

%F a（n）=2n-A000120（n）.-_Paul Barry，2007年10月26日

%F PURRS演示结果：初始条件a（1）=1:a（n）>=-2+2*n-log（n）*log（2）^（-1），a（n_Alexander R.Povolotsky，2008年4月6日

%F如果n=2^a_1+2^a_2+…+2^a_k，则a（n）=n-k。这可以用来证明2^n最大除（2n！）/n！.-_Jon Perry_，2009年7月16日

%F a（n）=和{k>=0}A030308（n，k）*A000225（k+1）_菲利普·德雷厄姆，2011年10月16日

%F a（n）=log_2（分母（二项式（-1/2，n）））_Peter Luschny_，2011年11月25日

%F a（2n+1）=a（2n）+1.-_M.F.Hasler，2015年1月24日

%F a（n）=A004134（n）-n.-_Cyril Damme_，2015年8月4日

%计算公式：（1/（1-x））*Sum_{k>=0}（2^（k+1）-1）*x^（2|k）/（1+x^_伊利亚·古特科夫斯基，2017年7月23日

%e G.f.=x+3*x^2+4*x^3+7*x^4+8*x^5+10*x^6+11*x^7+15*x^8+。。。

%p A005187:=n->2*n-加（i，i=转换（n，基数，2））：

%p序列（A005187（n），n=0..65）；#_Peter Luschny_，2014年4月8日

%ta[0]=0；a[n_]：=a[n]=a[楼层[n/2]]+n；表[a[n]，{n，0，50}]（*或*）

%t表[IntegerExponent[（2n）！，2]，{n，0，65}]（*_Robert G.Wilson v_，2006年4月19日*）

%t表[2n-数字计数[2n，2,1]，{n，0,70}]（*哈维·P·戴尔，2014年5月24日*）

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，赋值（（2*n）！，2））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2002年10月24日*/

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，和（k=1，n，（2*n）\2^k））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2002年10月24日*/

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，0，2*n-子集（Pol（二进制（n），x，1））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2007年8月28日*/

%o（PARI）a（n）=我的（s=n）；而（n>>=1，s+=n）；2012年4月7日，夏尔斯R Greathouse IV

%o（PARI）a（n）=2*n-hammingweight（n）\\-Charles R Greathouse IV_，2013年1月7日

%o（哈斯克尔）

%o a005187 n=a005187_列表！！n个

%o a005187_list=0:zipWith（+）[1..]（映射（a005187.（`div`2））[1..]）

%o——2011年11月7日，2011年10月5日

%o（鼠尾草）

%o@CachedFunction

%o定义A005187（n）：如果n>0，则返回A005187（n//2）+n，否则为0

%o[A005187（n）代表范围（66）内的n]#_Peter Luschny_，2012年12月13日

%o（岩浆）[n+估值（因子（n），2）:n in[0..70]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2019年6月11日

%o（Python）

%o def A005187（n）：返回2*n-bin（n）.count（'1'）#_Chai Wah Wu_，2021年6月3日

%Y参见A001790、A011371、A067080、A098844、A132027、A004128、A054899、A046161。

%Y参见A001511（第一个差异），A122247（部分总和）。

%Y参考A004134、A010050、A000165。

%不，简单，好

%0、3

%A _N.J.A.Sloane，1991年5月20日_Allan Wilks，1999年12月11日