%I M1141#341 2024年8月4日11:43:57

%S 1,1,2,4,8,17,37,82185423978228335373127353037272832175502，

%电话：424748103200425163476155441151017013715047291618049226460893，

%电话：5609540471392251012346184486225717582151226153745962199134474581374

%N个广义加泰罗尼亚语数：a（N+1）=a（N）+Sum_{k=1.N-1}a（k）*a（N-1-k）。

%C在列举RNA分子的二级结构时产生。图中显示了带有6个核苷酸的17个结构（根据Waterman，1978）。

%C汉克尔变换是周期8序列[1，0，-1，-1，0，1，1，…]（A046980）。

%C枚举长度n的无峰Motzkin路径。例如：a（5）=8，因为我们有HHHHH、HHUHD、HUHDH、HUHHD、UHDHH、UHHHD和UUHDD，其中U=（1,1）、D=（1，-1）和H=（1,0）_Emeric Deutsch，2003年11月19日

%C没有UUU和DDD的半长n-1的Dyck路径数，其中U=（1,1）和D=（1，-1）（n>0）_Emeric Deutsch，2003年11月19日

%C对于n>=1，a（n）=具有严格不相交对角线且与基底没有对角线入射的（n+2）-边的剖分次数。（（n+2）-gon的一侧指定为底面。）-_David Callan，2004年3月23日

%C对于n>=2，a（n-2）=无UU-free Motzkin n-paths的数量=无DU-free Motzkin n-path的数量_David Callan，2004年7月15日

%C a（n）=无UU-free Motzkin n路径的数量，不包含低峰值（低峰值是地面上的UD对，即其移除将创建一对Motzkin路径）。对于n>=1，a（n）=无UU-Motzkin（n-1）-路径数=无DU Motz kin（n-1）-路数。a（n）是渐近的~cn^（-3/2）（1+phi）^n，其中c=1.1043…和phi=（1+sqrt（5））/2.-_David Callan，2004年7月15日。在封闭形式下，c=sqrt（30+14*sqrt）/（4*squart（Pi））=1.104365547309692849…-Vaclav Kotesovec_，2013年9月11日

%C a（n）=所有金字塔尺寸大于等于2的Dyck（n+1）-路径数。金字塔是k个向上步紧跟k个向下步的形式的最大子路径，其大小为k.-David Callan_，2004年10月24日

%C a（n）=无小金字塔的半长n+1的Dyck路径数（n>=1）。金字塔是k Us形式的最大序列，其次是k Ds，k>=1。小金字塔是k=1的金字塔。例如，a（4）=4统计以下Dyck 5路径（用小写字母表示的金字塔，并用竖线分隔）：uuuuu ddddd、Uuudd | uuddD、uudd |uuuddd、uudd | uudd。-_David Callan，2004年10月25日

%C摘自德国电子报，2006年1月8日：（开始）

%C a（n）=长度为n-1的Motzkin路径数，在>=1级没有峰值。例如：a（4）=4，因为我们有HHH、HUD、UDH和UHD，其中U=（1,1）、D=（1，-1）和H=（1,0）。

%C a（n）=长度为n+1的Motzkin路径数，在x轴上没有水平台阶，在水平>=1处没有峰值。例如：a（4）=4，因为我们有UHHD、UHDUD、UDUHD和UUHDD，其中U=（1,1）、D=（1，-1）和H=（1,0）。

%C a（n）=长度为2n且没有偶数长度上升和下降的Dyck路径数。上坡（下坡）是上（下）步的最大序列。例如：a（4）=4，因为我们有UDUDUD、UDUUUDDD、UUUDDUD和UUUDUDD，其中U=（1,1）、D=（1，-1）和H=（1,0）。

%C a（n）=长度为2n的Dyck路径数，其上升长度仅为1或2，且没有UUDD形式的峰值。上坡是一个最大的上步序列。例如：a（4）=4，因为我们有UDUDUD、UDUUDUD和UUDUDD，其中U=（1,1）、D=（1，-1）和H=（1,0）。

%C a（n）=[n+1]中没有单例的非交叉分区数，在每个块中，最左边的两个点的形式为i，i+1。例如：a（4）=4，因为我们有12345、12/345、123/45和125/34；非交叉分区145/23不满足要求，因为1和4不是连续的。

%C a（n）=[n+1]的非交叉分区的数量，其中除了可能的块/1/之外没有单态，并且除了可能的块/1,2/之外没有/i，i+1/形式的块。例如：a（4）=4，因为我们有12345、1/2345、12/345和15/234。

%C（结束）

%Ca（n+1）=[1，1，2，4，8，17，37，…]给出了Narayana三角形A001263的反对角线和_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2006年10月21日

%C a（n）=没有UDU和DUD的Dyck（n+1）路径数。例如，a（4）=4统计UUUU DDDDD、UUUDDUUDDD、UUDDUUUDDD和UUUDDDUUDD_David Callan_，2007年5月8日

%C a（n）也是不含峰谷高度2（mod 3）的半长n的Dyck路径数马军（Majun（AT）math.sinica.edu.tw），2008年11月29日

%a（n+1）的C G.f.为1/（1-x-x^2-x^3/（1-x-x^2-x ^3/）（1-……（连分数）_保罗·巴里（Paul Barry），2009年5月20日

%C Motzkin数A001006:g.f.的Chebyshev变换是（1-x-（1-2x-3x^2）^（1/2））/（2x^2_保罗·巴里（Paul Barry），2010年3月10日

%C对于n>=1，从（0,0）开始，在水平轴上结束，从不低于该轴的权重为n-1的晶格路径数，其步长有以下四种：（1,0）-权重为1的步长，（1,0。路径的权重是其步骤的权重之和。a（4）=4，因为用h（h）表示权重1（2）的（1,0）阶跃，并且u=（1,1），d=（1，-1），我们有以下四条权重3的路径：hH，hH，hhh和ud。（参见Bona-Knopfmacher参考第295页的g.f.C（x）。）

%C From _David Callan，2014年8月27日：（开始）

%C a（n）=具有大小为1或2的所有块且没有形式为/i，i+1/的块的[n]的非交叉分区数。例如：a（4）=4，因为我们有1234、13/2/4、14/2/3和1/24/3。

%C看起来，a（n）=[n]的排列数，避免了三个虚线图案123、132、24-13，并且不包含小跳跃（一个单位的跳跃）。例如，a（4）=4表示3214、3241、4213和4321，但不表示4312，因为12是一个小跳跃。（结束）

%C DU编号_{k} -等效性Łukasiewicz路径的类。Łukasiewicz路径是P-等价的，如果模式P在这些路径中的位置相同_谢尔盖·柯尔吉佐夫，2018年4月8日

%C a（n）也是3412个数，避免了[n]上的对合，并且没有形式（i，i+1）的转置。例如，a（4）=4计算对合1234、1432、3214、4231_Juan B.Gil_，2020年5月23日

%C对于n>=2，a（n）等于具有长度n的气穴的Dyck路径数。具有气穴的Dayck路径是Z^2第一象限中的非空晶格路径，从原点开始，在x轴结束，由向上步U=（1,1）和向下步D_k=（1，-k），k>=1组成，其中两个向下步不能连续。例如，长度为2的唯一路径是UD_1；对于长度3，我们有UU_D2；对于长度4，有2条路径：UUUD_3、UD_1UD_1；对于长度5，我们有4条路径：UUUUD_4、UUD_2UD_1、UD_1UUD_2、UUD_1UD_2_谢尔盖·柯尔吉佐夫，2022年12月15日

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%H N.J.A.Sloane，A（6）=17的插图（摘自Waterman，1978年）。

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%F a（n+1）=a（n）+a（1）*a（n-2）+aa（n-1）*a（0）。

%固定资产：（1-x+x^2-sqrt（1-2*x-x^2-2*x^3+x^4）/（2*x*2）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年7月20日

%F G.F.：（1/z）*（1-C（-z/（1-3*z+z^2）），其中C（z）=（1-sqrt（1-4*z））/（2*z）是加泰罗尼亚函数。-_Emeric Deutsch，2003年11月19日

%F G.F.：1+F（x，x）/x，其中F（x、t）是Narayana数的G.F.：xF^2-（1-x-tx）F+tx=0.-_Emeric Deutsch，2003年11月19日

%F G.F.A（x）满足函数方程：x^2*A（x_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年7月20日

%F g.F.A（x）的序列反转为-A（-x）（如果偏移量为1）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年7月20日

%F a（n）=A088518（2n）+A08851八（2n+1）-A088518（2n+2）_Emeric Deutsch，2003年11月19日

%F a（n）=和{k=上限（（n+1）/2）..n}（二项式（k，n-k）*二项式_Emeric Deutsch_，2003年11月12日该公式计算了（i）按对角线数量计算的不相交对角线剖分，（ii）按上台阶数量计算的无峰Motzkin路径，（iii）按上升次数计算的无UUU和无DDD Dyck路径_David Callan，2004年3月23日

%F a（n）=总和{k=0..层（n/2）}A131198（n-k，k）.-_菲利普·德雷厄姆，2007年11月6日

%F G.F.：1/（1-x/（1-x^2/（1-x/（1-x ^2/_Paul Barry，2008年12月8日

%F G.F.：1/（1-x/（1-x（x-1）-x/_保罗·巴里，2009年5月16日

%F From _Paul D.Hanna，2009年6月26日：（开始）

%设A（x）^m=Sum_{n>=0}A（n，m）*x^n，则

%F a（n，m）=求和{k=0..n}求和{j=0..k}C（n-k+j+m，n-k）*m/（n-k+j+m）*C（n-k，k-j）*C（k-j，j）。

%F（结束）

%F From _ Paul Barry，2010年3月10日：（开始）

%F G.F.：（1/（1+x^2））*M（x/（1+x2）），M（x）Motzkin编号A001006的G.F；

%F G.F.：1/（1-x+x^2-x^2/（1-x+x^2-x ^2/。

%F a（n）=总和{k=0..层（n/2）}（-1）^k*C（n-k，k）*A001006（n-2*k）。（结束）

%F G.F.：1+x*exp（和{n>=1}（x^n/n）*（和{k=0..n}C（n，k）^2*x^k））_Paul D.Hanna，2011年3月15日

%F G.F.:exp（总和{n>=1}A051292（n）*x^n/n），其中A051292

%设g.F.为A（x），则B（x）=（1+x*A（x。。。是以1开头的该序列的g.f；更一般地，B（x）=C（x/（1+x+x^2）），其中C（x）是加泰罗尼亚数字（A00018）的g.f_Joerg Arndt_，2011年3月18日

%带递归的F D-有限：（n+2）*a（n）-（2n+1）*a_R.J.Mathar，2011年12月1日。这种重复出现源于Wilf-Zeilberger（WZ）证明技术，该技术应用于求和{k=上限（（n+1）/2）..n}（二项式（k，n-k）*二项式_T.Amdeberhan，2012年7月23日

%F给定g.F.A（x），则B（x）=x*A（x_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2014年6月5日

%F G.F.：1-x/（x^2-1/（1-x/（x^2-1/（1-x/（x^2…）））））。-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2014年6月5日

%F 0=a（n）*（a（n+1）-5*a（n+2）-4*a如果n>=-1.-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2014年6月5日

%F a（n）=超几何（[-n/2，（1-n）/2，（1-n）/2、1-n/2]，[2，-n，-n+1]，16）_Peter Luschny_，2020年1月25日

%F a（n）=Sum_{k=0..n-1}二项式（n-k，k+1）*n＞0.-_Rigoberto Florez，2023年4月17日

%F a（n）~5^（1/4）*phi^（2*n+2）/（2*sqrt（Pi）*n^（3/2）），其中phi=A001622是黄金比率_瓦茨拉夫·科特索维奇，2023年5月5日

%e G.f=1+x+x^2+2*x^3+4*x^4+8*x^5+17*x^6+37*x*7+82*x^8+185*x^9+432*x^10+。。。

%e检测（[1]）=1，检测（[1，1；1，1]）=0，检测（[1]，1，1，2；1，2，4]）=-1.-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2022年5月12日

%pw：=进程（l）x-1-x ^2*（1-x ^l）/（1-x）结束：

%p S:=进程（l）（-w（l）-sqrt（w（l

%p#S（0）是Motzkin编号A001006的g.f，

%p#S（1）是该序列的g.f，

%p#S（2）是A004149等的g.f。

%ta[0]=1；a[n_Integer]：=a[n]=a[n-1]+和[a[k]*a[n-2-k]，{k，n-2}]；数组[a，35，0]

%t系数列表[系列[（1-x+x^2-Sqrt[x^4-2x^3-x^2-2x+1]）/（2x^2），{x，0,40}]，x]（*哈维·P·戴尔，2011年5月9日*）

%t a[n_]：=级数系数[（1-x+x^2-Sqrt[1-2x-x^2-2x^3+x^4]）/（2x^2），{x，0，n}]；（*迈克尔·索莫斯，2014年6月5日*）

%t a[n_]：=超几何PFQ[{-n/2，（1-n）/2，（1-n）/2，1-n/2}，{2，-n，-n+1}，16]；阵列[a，33，0]（*_Peter Luschny_，2020年1月25日*）

%t表[If[n==0,1，Sum[（二项式[n-k，k+1]二项式[n-k，k]/（n-k）），{k，0，n-1}]]，{n，0,10}]（*_Rigoberto Florez_，2023年4月17日*）

%o（PARI）{a（n）=波尔科夫（（1-x+x^2-sqrt（1-2*x-x^2+x^3*（-2+x+o（x^n）））/2，n+2）}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2003年7月20日*/

%o（PARI）a（n，m=1）=总和（k=0，n，总和（j=0，k，二项式（n-k+j+m，n-k）*m/（n-k+j+m）*二项式

%o（PARI）{a（n）=polcoeff（1+x*exp（总和（m=1，n，总和（k=0，m，二项式（m，k）^2*x^k）*x^m/m）+x*o（x^n）），n）}/*Paul D.Hanna，2011年3月15日*/

%o（PARI）{a（n）=局部（A051292=1+（1-x^2）/sqrt（（1-3*x+x^2）*（1+x+x^2）+x*o（x^n））；polcoeff（exp（sum（m=1，n，polcoeff（A051292，m）*x^m/m）+x*o（x^n）），n）}/*_Paul D.Hanna_，2011年3月15日*/

%o（Maxima）a（n）：=系数（taylor（（1-x+x^2-sqrt（1-2*x-x^2-2*x^3+x^4））/（2*x^2），x，0，n），x，n）；makelist（a（n），n，0,12）；//_伊曼纽尔·穆纳里尼（Emanuele Munarini），2001年7月7日

%o（哈斯克尔）

%o a004148 n=a004148_列表！！n个

%o a004148_list=1:f[1]，其中

%o f xs'@（x:xs）=y:f（y:xs'）其中

%o y=x+总和（zipWith（*）xs$reverse$tail xs）

%o——_Reinhard Zumkeller_，2012年11月13日

%o（PARI）{a（n）=my（a=1+o（x））；对于（k=1，n，a=1-x/（x^2-1/a））；波尔科夫（a，n）}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2014年6月5日*/

%o（岩浆）R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），35）；系数（R！（（1-x+x^2-Sqrt（1-2*x-x^2-2*x^3+x^4））/（2*x^2））；//_G.C.Greubel，2019年12月30日

%o（鼠尾草）

%o定义A004148_list（前c）：

%o P=PowerSeriesRing（ZZ，'x'，prec）

%o x=发电机（）。O（前c）

%o返回（（1-x+x^2-sqrt（1-2*x-x^2-2*x^3+x^4））/（2*x^2））.list（）

%o A004148_list（35）#_G.C.Greubel_，2019年12月30日

%Y A064645的第二行。

%Y参见A000108、A001006、A088518、A051292（lgf）、A004149、A131198。

%Y参考A046980（汉克尔变换）。

%放松，不，很好

%0、4

%A _N.J.A.斯隆_