%I M3463#390 2024年1月31日09:10:20

%S 0,1,4,13,40121364109332809841295248885732657207971612391484，

%电话：717445321523360645700811937124458113073317433922005230176601，

%电话：1569052980447071589413141214768240423644304721270932914164

%N a（N）=（3^N-1）/2。

%C A000244的部分金额。1的以3为基数的字符串的值。

%C a（n）=（3^n-1）/2也是由n维超立方体中的一对顶点决定的不同非平行线的数目。示例：当n=2时，正方形有4个顶点，然后相关的线是：x=0，y=0，x=1，y=1，y=x，y=1-x，当我们确定平行线时，只剩下4条：x=O，y=O，y=x，y=1-x所以a（2）=4Noam Katz（noamkj（AT）hotmail.com），2001年2月11日

%C一个n集的3块双覆盖数（如果偏移量为1，请参阅A059443）_Vladeta Jovovic_，2001年2月14日

%C3^a（n）是3除（3^n）的最高幂！.-_Benoit Cloitre_，2002年2月4日

%C除a（0）和a（1）术语外，可通过n次称重识别较轻或较重假币（但不一定标记为较重或较轻）的最大硬币数量_Tom Verhoeff_，2002年6月22日，2017年3月23日更新

%C n使得A001764（n）不可被3整除_Benoit Cloitre_，2003年1月14日

%考虑映射f（a/b）=（a+2b）/（2a+b）。从a=1，b=2开始，在每个新的（约化的）有理数上重复进行映射，得到序列1/2，4/5，13/14，40/41。。。收敛到1。序列包含分子=（3^n-1）/2。N的相同映射，即f（a/b）=（a+Nb）/（a+b）给出了收敛到N^（1/2）的分数_Amarnath Murthy，2003年3月22日

%A000079的C二项式变换（带前导零）_Paul Barry，2003年4月11日

%C带前导零，A006095的二项式逆变换_保罗·巴里，2003年8月19日

%C路径图P_5中从一端到另一端的长度为2*n+2的行走次数。示例：a（2）=4，因为在路径ABCDE中，我们有ABAABCDE、ABCABCDE、CDE和EDE。-_Emeric Deutsch，2004年4月2日

%C塞尔皮因斯基三角形中n个铭文后所有大小的三角形的数量（不包括孔）Lee Reeves（leereeves（AT）fastmail.fm），2004年5月10日

%C数量（s（0），s（1）。。。，s（2n+1）），使得0＜s（i）＜6并且|s（i）-s（i-1）|＝1对于i＝1，2。。。，2*n+1，s（0）=1，s（2n+1）=4.-_Herbert Kociemba，2004年6月10日

%C非退化直角非协调积分边Heron三角形的数目，其周长是n个形状为4k+1的不同素数的乘积_Alex Fink和R.K.Guy，2005年8月18日

%C也是3的前n次幂倒数之和的分子，A000244是分母序列。除n<2外，a（n）的十进制数字根始终为4。在基数3中，a（n）的数字根与n.-Alonso del Arte的数字根相同，2006年1月24日

%序列3*a（n），n>=1，给出了Hanoi图H_3^{n}的边数_Daniele Parisse，2006年7月28日

%A028491={3，7，13，71，103，541，1091，…}中列出了以a（n）为素数的数字n。对于m>0，2^（m+1）除以a（2^m*k）。5除以a（4k）。5^2除以a（20k）。7除以a（6k）。7^2除以a（42k）。11^2除以a（5k）。13除以a（3k）。17除以a（16k）。19除以a（18k）。1093除以a（7k）。41除以a（8k）。p为素数p={41，431，491，661，761，1021，1051，1091，1171，…}除以a（（p-1）/5）。p为素数p={13，109，181，193，229，277，313，421，433，541，…}除以a（（p-1）/4）。p为素数p={61，67，73，103，151，193，271，307，367，…}=A014753，3和-3都是立方体（一个暗示另一个）mod这些素数p=1mod 6。p为素数p={11，13，23，37，47，59，61，71，73，83，97，…}=A097933（n）除以a（（p-1）/2）。p除以素数p>7的a（p-1）。p^2将a（p*（p-1）k）除以除p=3以外的所有素数p。p^3除以素数p=11的a（p*（p-1）*（p-2）k）_Alexander Adamchuk，2007年1月22日

%C设P（A）是n元集A的幂集。然后A（n）=P（A）的元素{x，y}的[无序]对的数目，其中x和y是不相交的[且都是非空的]。维德称这些为“不相交的常见2组合”_Ross La Haye_，2008年1月10日[这是因为{1，2，…，n}的每个元素都可以在第一个子集中，也可以在第二个子集中，或者两者都不在。因为每个元素都有三个选项，所以选项的总数是3^n。然而，由于集合为空不是一个选项，因此我们减去1，因为子集是无序的，所以我们再除以2！（两个物体排列的次数。）因此我们得到（3^n-1）/2=a（n）_Chayim Lowen_，2015年3月3日]

%此外，P（A）仍然是n元集A的幂集，A（n）是P（A）的2元子集{x，y}的数目，使得x和y的并集等于A。参见A341590_Fabio Visoná_，2021年2月20日

%C从偏移量1开始=A003945的二项式变换：（1，3，6，12，24，…）和（1，2，1，2…）的双bt；等于（1，-4，3，0，0，…）的polceoff逆_Gary W.Adamson_，2009年5月28日

%C也是多项式C（x）＝3x+1的常数，通过重复执行此运算并将每一步的结果作为下一步的输入来形成序列Nishant Shukla（n.shukla722（AT）gmail.com），2009年7月11日

%C这似乎是A120444（3^n-1）=A004125（3^n）-A004125。。。，n.-_John W.Layman，2009年7月29日

%C A134025的后续序列；A171960（a（n））=（n）.-_Reinhard Zumkeller_，2010年1月20日

%C设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=3，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。那么，对于n>=1，a（n）=det（a）.-_米兰Janjic_，2010年1月27日

%C这是Gary Detlefs考虑的序列家族[A，b:C，d:k]中的序列A（0，1；2，3；2）=A（0、1；4，-3；0），在下面给出的Wolfdieter Lang链接中被视为A（A，b；C，d；k）_Wolfdieter Lang，2010年10月18日

%C如果s（n）是一阶有理序列，形式为s（0）=0，s（n）=（2*s（n-1）+1）/（s（n-1）+2），n>0，则s（n）=a（n）/（a（n）+1）_Gary Detlefs，2010年11月16日

%C该序列还描述了解决[红色；蓝色；蓝色]或[红色；红色；蓝色]预先着色的河内磁塔拼图的总移动次数（参见A183111-A183125）。

%C来自_Adi Dani_，2011年6月8日：（开始）

%C a（n）是由奇数组成的小于3的n部分的组成数。例如，a（3）=13，并且有13个组成奇数分成3部分<3:

%C1：（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0）；

%C3：（0，1，2），（0，2，1），（1，0，2）；

%C5：（1、2、2）、（2、1、2）和（2、2、1）。

%C（结束）

%C皮萨诺周期长度：1、2、1、2，4、2、6、4、1、4、5、2、3、6、5、8、16、2、18、4_R.J.Mathar，2012年8月10日

%C a（n）是Sierpin ski三角生产第n步后的孔总数（删除的三角形）_Ivan N.Ianakiev，2013年10月29日

%对于某些整数k，给定a（0）=0，并且要求a（n+1）>a（n）最小，C a（n。相应k=3^n.-Richard R.Forberg_，2015年3月11日

%C a（n+1）等于长度n超过{0，1，2，3}的单词数，避免了01，02和03_米兰Janjic_，2015年12月17日

%C对于n>=1，a（n）也是长度为n的单词总数，在由三个字母组成的字母表中，其中一个字母出现奇数次（参见A006516中的4个字母单词，以及Balakrishnan的参考）_Wolfdieter Lang，2017年7月16日

%C此外，n-Apollonian网络中最大团、最大团和大小为4的团的数量。-Andrew Howroyd_，2017年9月2日

%C对于n>1，（n-1）-阿波罗网络中三角形（团大小为3）的数量。-Andrew Howroyd_，2017年9月2日

%C a（n）是平衡三元系中可用n trits表示的最大数。相应地，-a（n）是平衡三元系中可用n trits表示的最小数_托马斯·科尼，2020年4月26日

%C这些形成了Sierpinski嵌套星，它们在3^n+1/2星号A003154上交替排列，基于9^n的方形配置。3^n的部分和根据六边形的几何形状绘制，见链接中的插图。（3*a（n-1）+1）创建Sierpinski-反三角形，表示（n+1）Sierpinski三角形中的孔数（参见插图）_约翰·埃利亚斯，2021年10月18日

%C对于n>1，a（n）是使用CORDIC计算双曲函数所需的迭代次数_Mathias Zechmeister_，2022年7月26日

%C a（n）是最小的数字k，因此A065363（k）=n.-阿米拉姆·埃尔达尔，2022年9月3日

%C对于所有n>=0，求和{k=a（n）+1..a（n+1）}1/k<求和{j=a（n/1）+1..a（n+2）}1/j。这些是将无限调和级数划分为单调递增序列的最小点。当n趋于无穷大时，每个分区从下面近似对数（3）_Joseph Wheat，2023年4月15日

%C a（n）也是n-Dorogovtsev-Goltsev-Mendes图中的3个循环数（使用约定，0-Dorogov tsev-Gol tsev-Mndes图为P_2）_Eric W.Weisstein，2023年12月6日

%D J.G.Mauldon，假币问题的强力解决方案，IBM研究报告RC 7476（#31437）9/15/78，IBM Thomas J.Watson研究中心，P.O.Box 218，Yorktown Heights，N.Y.10598。

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%H<a href=“/index/So#sorting”>与排序相关的序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_02”>常系数线性重复出现的索引条目，签名（4，-3）

%F G.F.:x/（（1-x）*（1-3*x））。

%F a（n）=4*a（n-1）-3*a（n-2），n>1。a（0）=0，a（1）=1。

%F a（n）=3*a（n-1）+1，a（0）=0。

%F例如：（exp（3*x）-exp（x））/2.-_Paul Barry，2003年4月11日

%F a（n+1）=和{k=0..n}二项式（n+1，k+1）*2^k.-Paul Barry，2004年8月20日

%F a（n）=Sum_{i=0..n-1}3^i，对于n>0；a（0）=0。

%对于n>1.-，F a（n）=A125118（n，2）_Reinhard Zumkeller，2006年11月21日

%F a（n）=搅拌S2（n+1，3）+搅拌S2_Ross La Haye_，2008年1月10日

%F a（n）=和{k=0..n}A106566（n，k）*A106233（k）.-_Philippe Deléham，2008年10月30日

%Fa（n）=2*a（n-1）+3*a（n-2）+2，n>1。-_Gary Detlefs，2010年6月21日

%F a（n）=3*a（n-1）+a（n-2）-3*a（n-3）=5*a（-1-）-7*a（-2-）+3*a（v-3），a（0）=0，a（1）=1，a（2）=4。G.Detlefs的观察。请参阅W.Lang的评论和链接_Wolfdieter Lang，2010年10月18日

%F A008344（a（n））=0，对于n>1_Reinhard Zumkeller_，2012年5月9日

%F A085059（a（n））=1，对于n>0.-_Reinhard Zumkeller_，2013年1月31日

%F G.F.：Q（0）/2，其中Q（k）=1-1/（9^k-3*x*81^k/（3*xx9^k-1/（1-1/（3*9^k-27*x*81 ^k/）））；（连分数）。-_Sergei N.Gladkovskii_，2013年4月12日

%F a（n）=A001065（3^n），其中A001065

%F a（n）=A000244（n）-A007051（n）=A007051（n）-1.-_季宇春2018年10月23日

%F Sum_｛n＞=1｝1/a（n）=A321872。-_Amiram Eldar，2020年11月18日

%e一个3-集有4个3-块双覆盖：{{1，2，3}，{1，2}，}，，{1,2，3{，{1,3}、{1,3}和{1,2}、}。

%e三元。。。。。。。。十进制的

%e 0…………..0

%e 1………….1

%e 11…………..4

%e 111…………..13

%e 1111…………..40等-Zerinvary Lajos，2007年1月14日

%e在{a，B，C}上共有a（3）=13个三字母单词，例如a，出现奇数次：AAA；ABC、ACB、ABB、ACC；BAC、CAB、BAB、CAC；BCA、CBA、BBA、CCA_Wolfdieter Lang，2017年7月16日

%p A003462:=n->（3^n-1）/2:seq（A003462（n），n=0..30）；

%p A003462：=1/（3*z-1）/（z-1）；#_西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）1992年论文

%t（3^范围[0,30]-1）/2（*哈维·P·戴尔，2011年7月13日*）

%t线性递归[{4，-3}，{0，1}，30]（*哈维·P·戴尔，2011年7月13日*）

%t累计[3^范围[0,30]]（*_Alonso del Arte_2017年9月10日*）

%t系数列表[系列[x/（1-4x+3x^2），{x，0，30}]，x]（*_Eric W.Weisstein_，2017年9月28日*）

%t表[FromDigits[PadRight[{}，n，1]，3]，{n，0,30}]（*哈维·P·戴尔，2022年6月1日*）

%o（PARI）a（n）=（3^n-1）/2

%o（鼠尾草）[（3^n-1）/2代表范围（0,30）内的n]#_Zerinvary Lajos_，2009年6月5日

%o（哈斯克尔）

%o a003462=（`div`2）。（减去1）。(3 ^)

%o a003462_list=迭代（（+1）。（*3）0——Reinhard Zumkeller，2012年5月9日

%o（最大值）A003462（n）：=（3^n-1）/2$

%o清单（A003462（n），n，0,30）；/*_Martin Ettl，2012年11月5日*/

%o（岩浆）[（3^n-1）/2:n in[0..30]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2015年2月21日

%o（PARI）concat（0，Vec（x/（（1-x）*（1-3*x））+o（x^30）））\\阿尔图·阿尔坎，2015年11月1日

%o（间隙）

%o A003462:=列表（[0..30]，n->（3^n-1）/2）；#_Muniru A Asiru_，2017年9月27日

%用于Shell排序的Y序列：A033622、A003462、A036562、A036564、A036569、A055875。

%Y参考A179526（重复），A113047（特征函数）。

%Y参见A000225、A000392、A004125、A014753、A028491（素数指数）、A059443（k=3列）、A065363、A097933、A120444、A321872（倒数和）。

%Y参考A064099（检测n枚硬币中较轻或较重硬币的最小重量）。

%Y参考A039755（第k列=1）。

%Y参考A006516（二项式变换和特殊的4字母单词）。

%Y参考A341590。

%Y参考A003462（n）（3个循环），A367967（n），（5个循环）和A367968（n）。

%不，简单，好

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_

%E来自_Michael Somos的更多术语_

%E更正了我2008年1月10日的评论_Ross La Haye_，2008年10月29日

%E删除了重复公式的注释_Joerg Arndt_，2010年3月11日