%I M3196#366 2024年7月20日08:17:56

%S 0,0,1,1,4,1,5,12,6,7,1,16,1,9,8,32,1,21,1,24,13,1,44,10,15,27，

%电话：32,1,31,1,80,14,19,12,60,1,21,16,68,1,41,14,38,39,25,1112,14,45,20，

%U 56,1,81,16,92,22,31,1,92,1,33,51192,18,61,1,72,26,59,1156,1,39,55,80,18,71

%N a（N）=N’=N的算术导数：a（0）=a（1）=0，a（素数）=1，a（m*N）=m*a（N”）+N*a（m）。

%通过定义a（-n）=-a（n），C可以扩展为负数。

%C基于函数微分的乘积规则：对于函数f（x）和g（x），（fg）'=f'g+fg'。对于数字，（ab）'=a'b+ab'。这意味着1'=0.-_Kerry Mitchell_，2004年3月18日

%C数x对素数p的导数为“dx/dp”=（x-x^p）/p，根据费马小定理，这是一个整数Alexandru Buium，2004年3月18日

%C关系式（ab）'=a'b+ab'意味着1'=0，但它不意味着p'a素数的p'=1。事实上，定义在素数上的任何函数f都可以唯一地扩展为满足此关系的整数上的函数：f（Product_i p_i^e_i）=（Product_ip_i*i*f（p_i）/p_i）_富兰克林·亚当斯·沃特斯，2006年11月7日

%C有关记录值及其出现位置，请参见A131116和A131117_Reinhard Zumkeller_，2007年6月17日

%C设n是k素数的多集P的乘积。考虑一个k维盒子，它的边是P的元素，那么这个盒子的（k-1）维曲面是2*a（n）。例如，2*a（25）=20，即5 X 5正方形的周长。类似地，2*a（18）=42，2 X 3 X 3盒子的表面积_David W.Wilson，2011年3月11日

%C 1911年6月，西班牙数学家若泽·明戈特·雪莱（JoséMingot Shelly）首次引入算术导数n’，其作品《Una cuestión de la teoría de los nümeros》发表于“格拉纳达州国家议会第三次会议（Tercer Congreso Nacional para el Progreso de las Ciencias）”，参见Zentralblatt MATH上的摘要链接，以及L.E.Dickson，数字理论史_乔治·巴尔扎罗蒂（Giorgio Balzarotti），2013年10月19日

%C a（A235991（n））奇数；a（A235992（n））偶数_Reinhard Zumkeller，2014年3月11日

%C序列A157037列出了具有素数算术导数的数字，即该序列中素数的索引_M.F.Hasler，2015年4月7日

%C也许算术导数最简单的“自然延拓”，本着_Franklin T.Adams-Waters_（2006）上述评论的精神，是基于π的版本，其中f（p）=素数π（p），参见序列A258851。当f被选为单位映射（在素数上）时，我们得到A066959_M.F.Hasler，2015年7月13日

%C当n是复合的时，a（n）的下界为2*sqrt（n），当n是素数的平方时，a的上界为（n/2）*log_2（n）_Daniel Forgues_，2016年6月22日

%C如果n=p1*p2*p3*。。。其中p1、p2、p3。。。是n的所有素因子（不一定是不同的），h是一个实数（我们假设h非负且<1），n的算术导数等价于n’=lim{h->0}（（p1+h）*（p2+h）x（p3+h）*…-（p1*p2*p3*…））/h。也可以得出素数的算术导数是1。我们可以假设h=1/N，其中N是一个整数；然后限制变为{N->oo}。注意n=1不是素数，它起着常数的作用_乔治·巴尔扎罗蒂（Giorgio Balzarotti），2023年5月1日

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%H维基百科，<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_derivative“>算术导数</a>

%F如果n=乘积p_i^e_i，a（n）=n*总和（e_i/p_i）。

%F a（m*p^p）=（m+a（m））*p^p，p素数：a（m*A051674（k））=A129283（m）*A051675（k）_Reinhard Zumkeller_，2007年4月7日

%F对于n>1:a（n）=a（A032742（n））*A020639（n）+A032742（n）。-_Reinhard Zumkeller_2011年5月9日

%F a（n）=n*和{p|n}v_p（n）/p，其中v_p

%F对于n>=2，求和{k=2..n}层（1/a（k））=pi（n）=A000720（n）（见k.T.Atanassov文章）_Ivan N.Ianakiev，2019年3月22日

%F From _A.H.M.Smeets_，2020年1月17日：（开始）

%F极限{n->oo}（1/n^2）*Sum_{i=1..n}a（i）=A136141/2。

%F极限{n->oo}（1/n）*和{i=1..n}a（i）/i=A136141。

%F a（n）=n当且仅当n=p^p，其中p是质数。（结束）

%F Dirichlet g.F.：zeta（s-1）*Sum_{p prime}1/（p^s-p），见A136141（s=2），A369632（s=3）[Haukkanen、Merikoski和Tossavainen]_塞巴斯蒂安·卡尔松，2021年11月25日

%F From_Antti Karttune_，2021年11月25日：（开始）

%F a（n）=和{d|n}d*A349394（n/d）。

%F对于所有n>=1，A322582（n）<=a（n）≤A348507（n）。

%如果n不是素数，那么a（n）>=2*sqrt（n），或者换句话说，对于A002620（n）+k不是素数的所有k>=1，我们有一个（A002620-（n）+k）>n

%F（结束）

%e 6'=（2*3）'=2'*3+2*3'=1*3+2*1=5。

%e注意，例如，2'+3'=1+1=2，（2+3）'=5'=1。所以'不是线性的。

%e G.f.=x^2+x^3+4*x^4+x^5+5*x^6+x^7+12*x^8+6*x^9+7*x^10+。。。

%p A003415:=程序（n）局部B，m，i，t1，t2，t3；B:=1000000000039；如果n<=1，则返回（0）；fi；如果是质数（n），则返回（1）；fi；t1:=系数（B*n）；m：=nops（t1）；t2:=0；对于i从1到m做t3：=op（i，t1）；如果nops（t3）=1，则t2：=t2+1/op（t2）；否则t2：=t2+op（2，t3）/op（op（1，t2））；fiod:t2:=t2-1/B；n*t2；结束；

%p A003415:=程序（n）

%p局部a，f；

%p a：=0；

%ifactors（n）[2]do中f的p

%pa:=a+op（2，f）/op（1，f）；

%p端do；

%pn*a；

%p结束程序：#_R.J.Mathar_，2012年4月5日

%t a[n_]：=如果[Abs@n<2，0，n总计[#2/#1&@@@FactorInteger[Abs@n]]]；（*迈克尔·索莫斯，2011年4月12日*）

%t dn[0]=0；dn[1]=0；dn[n_？阴性]：=-dn[-n]；dn[n_]：=模[{f=Transpose[FactorInteger[n]]}，如果[PrimeQ[n]，1，Total[n*f[[2]]/f[[1]]]]；表[dn[n]，{n，0，100}]（*_T.D.Noe_，2012年9月28日*）

%o（PARI）A003415（n）={局部（fac）；如果（n<1,0，fac=因子（n）；总和（i=1，矩阵大小（fac，[1]，n*fac[i，2]/fac[i，1]）}/*_Michael B.Porter_，2009年11月25日*/

%o（PARI）适用（A003415（n）=vecsum（[n/f[1]*f[2]|f<-系数（n+！n）~]），[0.99]）\\M.f.Hasler_，2013年9月25日，2019年11月27日更新

%o（PARI）A003415（n）={my（s=0，m=1，spf）；而（n>1，spf=A020639（n）；n/=spf；s+=m*n；m*=spf），（s）；}；\\_Antti Karttunen，2021年3月10日

%o（PARI）a（n）=我的（f=系数（n），r=[1/（e+！e）|e<-f[，1]]，c=f[，2]）；n*r*c；\\_路德·范托尔，2023年9月3日

%o（哈斯克尔）

%o a003415 0=0

%o a003415 n=ad n a000040_list，其中

%o ad 1 _=0

%o ad n ps'@（p:ps）

%o | n<p*p=1

%o | r>0=ad n ps

%o|否则=n'+p*ad n'ps'，其中

%o（n’，r）=divMod n p

%o--_Reinhard Zumkeller_2011年5月9日

%o（岩浆）Ad:=func<h|h*（&+[分解（h）[i][2]/分解（h；[n le 1选择0 else Ad（n）：n in[0..80]]；//_Bruno Berselli，2013年10月22日

%o（Python）

%o来自sympy进口保理商

%o定义A003415（n）：

%o如果n>1，则返回和（[int（n*e/p）for p，e in factorint（n）.items（）]），否则为0

%o#_Chai Wah Wu_，2014年8月21日

%o（鼠尾草）

%o定义A003415（n）：

%o F=[]，如果n==0，其他系数（n）

%o返回n*sum（f为g/f，f为g）

%o[A003415（n）代表范围（79）内的n]#_Peter Luschny_，2014年8月23日

%o（间隙）

%o A003415:=连接（[0,0]，列表（列表（[2..10^3]，因子），

%o i->乘积（i）*总和（i，j->1/j））；#_Muniru A Asiru_，2017年8月31日

%o（APL，Dyalog方言）A003415←{（0 1 2）⋄≤1:⊃⍺0=（3 \9082'）|⍵：（（\9082]+（2 \9082；）×（\9077]÷3 2024年2月18日

%Y参考A086134（n’的最小素因子）。

%Y参考A086131（n’的最大素因子）。

%Y参考A068719（2n的衍生物）。

%Y参考A068720（n^2的导数）。

%Y参考A068721（n^3的导数）。

%Y参考A001787（2^n的导数）。

%Y参考A027471（3^（n-1）的导数）。

%Y参考A085708（10^n的导数）。

%Y参考A068327（n ^n的导数）。

%Y参考A024451（p#的导数）。

%Y参考A068237（1/n导数的分子）。

%Y参考A068238（1/n导数的分母）。

%Y参考A068328（平方折射数的导数）。

%Y参考A068311（n！的导数）。

%Y参考A168386（n！！的导数）。

%Y参考A260619（超阶乘（n）的导数）。

%Y参见A260620（超因子（n）的衍生物）。

%Y参考A068312（三角形数的导数）。

%Y参考A068329（斐波那契（n）的导数）。

%Y参考A096371（分区数的导数）。

%Y参考A099301（d（n）的导数）。

%Y参考A099310（φ（n）的导数）。

%Y参考A342925（σ（n）的导数）。

%Y参考A349905（质心位移的导数）。

%Y参考A327860（基本经验函数的导数）。

%Y参见A369252（三个奇素数乘积的导数），A369251（相同排序）。

%Y参考A068346（n的二阶导数）。

%Y参考A099306（n的三阶导数）。

%Y参考A258644（n的四阶导数）。

%Y参考A258645（n的五阶导数）。

%Y参考A258646（n的六阶导数）。

%Y参考A258647（n的七阶导数）。

%Y参考A258648（n的八阶导数）。

%Y参考A258649（n的九阶导数）。

%Y参考A258650（n的十阶导数）。

%Y参考A185232（n的n阶导数）。

%Y参考A258651（A（n，k）＝n的第k个算术导数）。

%Y参考A085731（gcd（n，n’）），A083345（n’/gcd（n，n'）），对于k>1，参考A057521（gcd（n，（n’）^k）。

%Y参考A342014（n’mod n），A369049（n mod n’）。

%Y参考A341998（A003557（n'）），A342001（n'/A003557（n））。

%Y参考A098699（最小x，使得x’=n，n的反除菌剂）。

%Y参考A098700（n使得x'=n没有整数解）。

%Y参考A099302（x’=n的解的数量）。

%Y参考A099303（最大x，即x'=n）。

%Y参考A051674（n，因此n’=n）。

%Y参考A083347（n，因此n’<n）。

%Y参考A083348（n，因此n’>n）。

%Y参考A099304（最小k，即（n+k）'=n'+k'）。

%Y参考A099305（（n+k）'=n'+k'的解数）。

%Y参考A328235（最小k>0，即对于某些自然数u，（n+k）'=u*n'）。

%Y参考A328236（最小m>1，使得（m*n）'=u*n'对于某个自然数u）。

%Y参考A099307（最小k，使n的第k个算术导数为零）。

%Y参考A099308（对于某些k，n的第k次算术导数为零）。

%Y参考A099309（n的第k个算术导数对于所有k都是非零的）。

%Y参考A129150（2^3的n阶导数）。

%Y参考A129151（3^4的n阶导数）。

%Y参考A129152（5^6的n阶导数）。

%Y参考A189481（x'=n有唯一的解决方案）。

%Y参见A190121（部分总和）。

%Y参见A258057（第一个差异）。

%Y参考A229501（n除以第n个部分和）。

%Y参考A165560（奇偶校验）。

%Y参考A235991（n'为奇数），A235992（n'是偶数）。

%Y参见A327863、A327864和A327865（n’是3、4、5的倍数）。

%Y参考A157037（n'是质数）、A192192（n''是质数，A328239（n''为质数）。

%Y参考A328393（n'无平方），A328234（无平方且大于1）。

%Y参考A328244（n’’是无平方的），A328246（n’‘是无平方）。

%Y参考A328303（n'不是无平方的），A328252（n'是无平方的，但n不是）。

%Y参考A328248（最小k，使得n的（k-1）次导数无平方）。

%Y参考A328251（对于任何k>=0，第k次算术导数都不是平方自由的）。

%Y参考A256750（最小k，使k阶导数为0或具有系数p^p）。

%Y参考A327928（不同素数p的数量，使得p^p除以n'）。

%Y参考A342003（任何除n'的素数幂p^k的最大指数k）。

%Y参考A327929（n'至少有一个p^p形式的除数）。

%Y参考A327978（n'是一元数>1）。

%Y参考A328243（n’是一个大于一的初等数的部分和）。

%Y参考A328310（n’的最大素数指数减去n的最大素性指数）。

%Y参考A328320（n’的最大素数指数小于n）。

%Y参考A328321（n'的最大素数指数>=n的素数指数）。

%Y参考A328383（最小k，使得n的k阶导数是n的倍数或除数，但不是两者）。

%Y参见A263111（a的序数变换）。

%Y参见A300251、A319684（莫比乌斯变换和逆莫比乌s变换）。

%Y参考A305809（Dirichlet卷积平方）。

%Y请参阅A349133、A349173、A34.9394、A349380、A34618、A349619、A349620和A349621（用于其他Dirichlet卷积）。

%Y参考A069359（同意无平方数的类似公式）。

%Y参见A258851（n的基于pi的算术导数）。

%Y参见A328768、A328769（n的基于初等函数的算术导数）。

%Y参见A328845、A328846（n的基于斐波那契的算术导数）。

%Y参考A302055、A327963、A327965、A328099（用于其他变体和修改）。

%Y参考A038554（另一个序列名称中使用“导数”，但涉及n的二进制展开）。

%Y参见A322582、A348507（下限和上限），以及A002620。

%K nonn，放松，好，听，看

%0、5

%A.N.J.A.Sloane，R.K.盖伊_

%E 2001年4月11日，米歇尔·腾·沃德的更多术语