%I#200 2024年3月23日21:11:29

%S 0,2,12,30,56,901321822403063804625526507568709921122，

%电话：1260140615601722189220702256245026522862308033063540，

%电话：3782403242904556483051125400060066320664269727310765680108372

%N a（N）=2*N*（2*N-1）。

%C写0,1,2，。。。呈螺旋状；序列在四条对角线中的一条上给出数字（参见示例部分）。

%C对于n>1，这是cosh（1）的Engel展开式，A118239_Benoit Cloitre_，2002年3月3日

%对于n>0.-，C a（n）=A125199（n，n）_Reinhard Zumkeller，2006年11月24日

%C A195437中三角形的中心项：a（n+1）=A195436（2*n，n）_Reinhard Zumkeller_，2011年11月23日

%C对于n>2，这些项表示斜边（H）比最长边（L）长一个单位或H=L+1的原始勾股三元组的和_理查德·福伯格（Richard R.Forberg），2015年6月9日

%C对于n>1，a（n）是具有奇数边2*n-1的毕达哥拉斯三角形的周长_Agola Kisira Odero，2016年4月26日

%C来自Rigoberto Florez，2020年11月7日：（开始）

%C A338109（n）/a（n+1）是n个顶点上两个完全图的不交并与n+1个顶点上的空图的并的Kirchhoff指数。

%等价地，图可以描述为3*n+1个顶点上的图，标签为0..3*n，且i和j相邻iff为i+j>0 mod 3。

%C A338588（n）/a（n+1）是n和n+1顶点上的两个完全图与n+1顶点的空图的不相交并的Kirchhoff指数。

%等价地，图可以描述为3*n+2个顶点上的图，标签为0..3*n+1，i和j相邻，当i+j>0 mod 3。

%这些图是有向图。（完）

%C a（n），n>=1，是从原点到Z^n中尺寸为2的十字多面体的最小长度（长度=2）的路径数（A371064中的第2列）_Shel Kaphan，2024年3月9日

%D R.L.Graham、D E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，Reading，MA，第二版，1994年，第99页。

%H Vincenzo Librandi，n的表，n=0..10000的a（n）</a>

%H H-Y.Ching、R.Florez和A.Mukherjee，<A href=“https://arxiv.org/abs/2009.02770“>三角阵列内的积分余图族，arXiv:2009.02770[math.CO]，2020。

%H A.M.Nemirovsky等人，<A href=“http://dx.doi.org/10.1007/BF01049010“>精确枚举法和1/d展开法的结合：稀聚合物的晶格模型，J.Statist.Phys.，67（1992），1083-1108。

%H R.Tijdeman，<a href=“网址：http://www.math.leidenuniv.nl/~tijdeman/tij1.ps“>丢番图近似的一些应用</a>，《数论调查》（乌尔班纳，2000年5月21日）第261-284页，M.a.Bennett等人编，彼得斯，2003年。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/Kirchhoff索引.html“>基尔霍夫指数</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_03”>具有常系数的线性重复出现的索引条目，签名（3，-3,1）。

%F和{n>=1}1/a（n）=log（2）（比照Tijdeman）。

%F对数（2）=和{n>=1}（（1-1/2）+（1/3-1/4）+（1/5-1/6）+（1.7-1/8）+…）=和{n>=0}（-1）^n/（n+1）。对数（2）=积分{x=0..1}1/（1+x）dx.-_Gary W.Adamson_，2003年6月22日

%F a（n）=A000384（n）*2.-_Omar E.Pol_，2008年5月14日

%F来自R.J.Mathar_，2009年4月23日：（开始）

%F a（n）=3*a（n-1）-3*a（n-2）+a（n-3）。

%固定长度：2*x*（1+3*x）/（1-x）^3。（完）

%F a（n）=a（n-1）+8*n-6（a（0）=0）_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2010年11月12日

%F a（n）=A118729（8n+1）_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2013年3月26日

%F乘积_｛k=1..n｝a（k）=（2n）！=A010050（n）.-_Tony Foster III_，2015年9月6日

%F例如：2*x*（1+2*x）*exp（x）.-_伊利亚·古特科夫斯基，2016年4月29日

%2017年1月28日Z.-Michael Somos_中所有n的F a（n）=A002943（-n）

%2017年1月28日，Z.-Michael Somos_中所有n的F 0=12+a（n）*（-8+a（n）-2*a（n+1））

%F和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=Pi/4-对数（2）/2.-_Amiram Eldar，2020年7月31日

%总资产=2*x+12*x^2+30*x^3+56*x^4+90*x^5+132*x^6+182*x^7+240*x^8+。。。

%e在正方形格子上，将非负整数放置在形成螺旋的格子点上，如下所示：将“0”放置在原点；然后向四个基本方向中的任何一个方向移动一步，并将“1”放置在到达的晶格点处；然后向任一方向旋转90度，并在下一个晶格点处放置一个“2”；然后沿同一方向再转动90度，并在点阵点处放置一个“3”；序列的项将沿着对角线之一，如下面的例子所示：

%e、。

%e 99 64--65--66--67--68--69--70--71--72

%电子|||

%e 98 63 36-37--38--39--40-41--42 73

%电子|||||

%e 97 62 35 16--17--18--19--20 43 74

%e||||||

%e 96 61 34 15 4--5--6 21 44 75

%e ||||| | | ||

%电子邮箱95 60 33 14 3*0*7 22 45 76

%e ||||| | | | ||||

%e 94 59 32 13*2*--1 8 23 46 77

%e ||||| | | ||

%e 93 58 31*12*-11--10---9 24 47 78

%e ||||||

%e 92 57*30*-29--28--27--26--25 48 79

%电子||||

%e 91*56*-55--54--53--52--51--51--50-49 80

%电子||

%e*90*-89--88--87--86--85--84--83--82--81

%e、。

%e【Jon e.Schoenfield_编辑，2017年1月1日】

%p A002939:=n->2*n*（2*n-1）：序列（A002939（n），n=0..100）；#_韦斯利·伊万·赫特，2017年1月28日

%t表[2*n*（2*n-1），{n，0，50}]（*_Vladimir Joseph Stephan Orlovsky_，2008年10月25日*）

%t 2#（2#-1）&/@范围[0,50]（*Harvey P.Dale_，2011年3月6日*）

%o（PARI）a（n）=2*二项式（2*n，2）\\查尔斯·格里特豪斯IV，2011年7月25日

%o（岩浆）[2*n*（2*n-1）：[0..50]]中的n；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2011年7月26日

%o（哈斯克尔）

%o a002939 n=（*2）。a000384号

%o a002939_list=扫描1（+）a017089_list

%o--_Reinhard Zumkeller_，2015年6月8日

%o（Python）a=lambda n:2*n*（2*n-1）#_Indranil Ghosh，2017年1月1日

%螺旋的Y序列：A001107、A002939、A007742、A033951-A033953、A03395%、A033989-A033991、A002943、A033 996、A033 988。

%方形螺旋四轴上的Y序列：从0:A001107、A033991、A007742、A033954开始；从1:A054552、A054556、A054567、A033951开始。

%方形螺旋四条对角线上的Y序列：从0:A002939=2*A000384、A016742=4*A000290、A002943=2*A014105、A033996=8*A000217开始；从1:A054554、A053755、A054569、A016754开始。

%通过读取X轴和Y轴上的交替项以及方形螺旋线的两条主对角线获得的Y序列：从0:A035608、A156859、A002378=2*A000217、A137932=4*A002620开始；从1:A317186、A267682、A002061、A080335开始。

%Y参见A016789、A017041、A017485、A125202。

%Y参考A226488中列出的形式n*（n*k-k+4））/2的数字（此序列是k=8的情况）_Bruno Berselli，2013年6月10日

%Y参见A017089（第一个差异）、A268684（部分总和）、A010050（部分乘积）。

%Y参考A371064。

%K nonn，很好，很容易

%O 0,2

%A·N·J·A·斯隆_