%I M1589 N0619#169 2024年5月1日12:06:01

%S 1,2,6,12,60，20140280252025202772027720360360360360360，

%电话：720720122522404084080775975201551950451731685173168118982864，

%电话：3569485928922371480089237148008031343320080313433200232908956280023290896280072201776446800

%N个调和数H（N）的分母=和{i=1..N}1/i。

%C H（n）/2是一堆n张牌在不倾倒的情况下可以伸出桌子边缘的最大距离。

%如果n不在{1，2，6}中，那么a（n）至少有一个素因子，而不是2或5。例如，a（5）=60有一个素因子3，a（7）=140有一个素数因子7。这意味着每个H（n）=A001008（n）/A002805（n），n不是来自{1,2,6}，都有一个无限小数表示。有关证明，请参阅J.Havil参考_Wolfdieter Lang，2007年6月29日

%C a（n）=A213999（n，n-1）_Reinhard Zumkeller，2012年7月3日

%C From _Wolfdieter Lang，2015年4月16日：（开始）

%C a（n）/A001008（n）=1/H（n）是以下经典水箱和管道问题的解。一个蓄水池与n条不同的水管相连。对于第k根管道，填满空水箱需要k个时间单位（比如说，天），因为k=1，2。。。，n根管子合在一起需要多长时间才能装满空水箱？1/H（n）给出了作为时间单位的分数的答案。

%C一般来说，如果第k条管道需要d（k）天才能填满空水箱，那么所有管道加在一起需要1/Sum_{k=1..n}1/d（k）=HM（d（1）。。。，d（n））/n天，其中HM表示谐波平均值HM。对于所述问题，HM（1，2，…，n）/n=A102928（n）/（n*A175441（n）]=1/H（n）。

%C关于经典蓄水池和管道问题，参见A256101中给出的Hunger-Vogel参考（希腊语和德语），问题27，第29页，其中n=3，d（1）、d（2）和d（3）分别为6天、4天和3天。在这篇参考文献的第97页上，人们可以找到关于此类问题历史的评论（在德语中称为“Brunnenaufgabe”）。（结束）

%C From _Wolfdieter Lang，2015年4月17日：（开始）

%上述蓄水池和管道问题的一个例子出现在《九本算术书》第六卷第26题中。数字有1/2、1、5/2、3和5（天），结果是15/75（天。见第68页的参考（德语）。

%C关于此类蓄水池问题的历史记载见约翰内斯·特罗普夫克参考文献，见A256101，第4.2.1.2节《齐斯特恩问题》（Leistungsprobleme），第578-579页。

%C在斐波纳契的《利伯·阿巴奇》（Liber Abaci）中，这种问题出现在L.E.Sigler译本的第281页和第284页。（结束）

%C所有大于1的项都是偶数，而相应的分子（A001008）都是奇数（Pólya和Szegő的证明）_伯纳德·肖特，2021年12月24日

%D Chiu Chang Suan Shu，Neun Bücher arithmetischer Technik，由Kurt Vogel，Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften，Band 4，Friedr翻译和评论。Vieweg&Sohn，布伦瑞克，1968年，第68页。

%D R.L.Graham、D E.Knuth和O.Patashnik，《具体数学》。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1990年，第259页。

%D J.Havil，Gamma（德语），施普林格出版社，2007年，第35-6页；《伽玛：探索欧拉常数》，普林斯顿大学出版社，2003年。

%D D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》。Addison-Wesley，雷丁，马萨诸塞州，第1卷，第615页。

%D G.Pólya和G.Szegő，《分析中的问题和定理》，第二卷，施普林格，1976年版重印，1998年，第251期，第154页。

%D L.E.Sigler，斐波纳契的《解放阿巴奇》，斯普林格出版社，2003年，第281、284页。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H Kenny Lau，n的表，n=1..2308的a（n）

%H R.M.Dickau，<a href=“http://mathforum.org/advanced/robertd/harmonic.html“>谐波数和书籍堆叠问题</a>。

%H Haight、Frank A.和Robert B.Jones<a href=“/A025529/A025529.pdf”>“定性数据的概率处理，特别是单词联想测试。”《数学心理学杂志》11.3（1974）：237-244。[带注释的扫描副本]

%H Frank Haight和N.J.A.Sloane，通信，1975年。

%H Antal Iványi，<a href=“http://www.emis.de/journals/AUSM/C5-1/math51-5.pdf“>同步网络中的领导者选举，Acta Univ.Sapientiae，Mathematica，5，2（2013）54-82。

%H Fredrik Johansson，<a href=“http://fredrik-j.blogspot.de/2009/02/how-not-to-compute-harmonic-numbers.html“>如何（不）计算谐波数</a>，2009年2月21日。

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%F a（n）=分母（和{k=1..n}（2*k-1）/k）.-_Gary Detlefs，2011年7月18日

%F a（n）=n！/gcd（斯特林1（n+1，2），n！）=否！/gcd（A000254（n），n！）.-_Max Alekseyev_，2018年3月1日

%F a（n）=连分数1/（1-1 ^2/（3-2 ^2/）（5-3 ^2/_彼得·巴拉（Peter Bala），2024年2月18日

%e H（n）=[1，3/2，11/6，25/12，137/60，49/20，363/140，761/280，7129/2520，…]=A001008/A002805。

%p seq（denom（总和（（2*k-1）/k，k=1..n），n=1..30）；#_Gary Detlefs，2011年7月18日

%pf:=n->分母（相加（1/k，k=1..n））；#_N.J.A.Sloane，2013年11月15日

%t分母[Drop[FoldList[#1+1/#2&，0，Range[30]]，1]]（*哈维·P·戴尔，2000年2月9日*）

%t表[分母[谐波数[n]]，{n，1，40}]（*_Stefan Steinerberger_2006年4月20日*）

%t分母[累计[1/范围[25]]]（*_Alonso del Arte_，2018年11月21日*）

%o（PARI）a（n）=分母（总和（k=2，n，1/k））

%o（哈斯克尔）

%o导入数据。比率（%），分母）

%o a002805=分母。总和。地图（1%）。枚举从到1

%o a002805_list=映射分母$scanl1（+）$map（1%）[1..]

%o——_ Inhard Zumkeller_，2012年7月3日

%o（圣人）

%o def谐波（a，b）：#参见F.Johansson链接。

%o如果b-a==1：返回1，a

%o m=（a+b）//2

%o p，q=谐波（a，m）

%o r，s=谐波（m，b）

%o返回p*s+q*r，q*s

%o定义A002805（n）：H=谐波（1，n+1）；返回分母（H[0]/H[1]）

%o[A002805（n）代表（1..29）中的n]#_Peter Luschny_，2012年9月1日

%o（岩浆）[分母（谐波数（n））：[1..40]]中的n；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2015年4月16日

%o（GAP）列表（[1..30]，n->DenominatorRat（总和（[1..n]，i->1/i））；#_Muniru A Asiru_，2018年12月20日

%o（Python）

%o从分数导入分数

%o定义a（n）：返回和（范围（1，n+1）中i的分数（1，i））。分母

%o打印（[a（n）代表范围（1,30）中的n）]#_Michael S.Branicky_，2021年12月24日

%Y参见A001008（分子）、A075135、A025529、A203810、A20381、A203822。

%Y部分和：A027612/A027611=1，5/2，13/3，77/12，87/10，223/20，。。。

%Y以下分数都相互关联：总和1/n:A001008/A002805，总和1/prime（n）:A024451/A002110和A106830/A034386，总和1/non-prime（m）:A282511/A282512，总和1/composite（n）：A250133/A296358，总和1/n^2:A007406/A007407，总和1/n ^3:A007408/A007409。

%K nonn，放松，压裂，很好

%O 1,2号机组

%A _N.J.A.斯隆_

%E定义由_Daniel Forgues_编辑，2010年5月19日