%I M0012 N0001#173 2024年6月1日05:42:44
%S 1,1,1,2,0,0,1,1,2,0,2,0,1,2,1,0,0,1,2,0,12,0,1,0,2,2,0,0，2,2,0,10,2，
%T 0,1,2,0,0,2,0,1,0,0,1,3,0,2,0,0，0,2,0，0,1,4,0,2，
%U 0,0,0,1,2,0,0_0,0,0，0,02,2,0,0
%N将N写成最多两个非零平方和的方法的数量，其中顺序很重要；此外（形式4m+1的n除数）-（形式4m+3的除数）。
%C Glaisher将此称为E（n）或E_0（n）_N.J.A.Sloane，2018年11月24日
%C与Z X Z相似的索引n的Z X Z的子格数；范数n的Z[i]（主）理想的个数。
%C a（n）也是n=x^2+y^2的整数解数量的四分之一（顺序和符号很重要，0（没有符号）是允许的）。a（n）=n（n）/4，其中n（n）来自Niven-Zuckermann参考文献第147页。另见定理5.12，p.150，它定义了一个（强）乘法函数h（n），该函数与A056594（n-1）一致，n>=1，n（n）/4=和（h（d），d除以n）_Wolfdieter Lang，2013年4月19日
%C a（2+8*N）=A008441_Wolfdieter Lang，2017年1月12日
%判别式-4的二次数域的Dedekind zeta函数的系数。公式和Maple代码见A002324_N.J.A.Sloane，2022年3月22日
%D J.M.Borwein、D.H.Bailey和R.Girgensohn，《数学实验》，A K Peters有限公司，马萨诸塞州纳蒂克，2004年。x+357页，见第194页。
%D George Chrystal，《代数：中学高年级和大学的初级教科书》，第6版，切尔西出版公司，纽约，1959年，第二部分，第346页，练习二十一（17）。MR0121327（22#12066）
%D Emil Grosswald，《整数表示为平方和》。Springer-Verlag，纽约州，1985年，第15页。
%D Ivan Niven和Herbert S.Zuckerman，《数论导论》，纽约：John Wiley，1980年，第147和150页。
%D Günter Scheja和Uwe Storch，Lehrbuch der Algebra，Tuebner，1988年，第251页。
%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
%D J.V.Uspensky和M.A.Heaslet，初等数论，纽约州麦格劳-希尔，1939年，第340页。
%H T.D.Noe，n的表格，n的a（n）=1..10000</a>
%H Michael Baake，《d≤4维重合问题的求解》，R.V.Moody主编，《长范围非周期秩序的数学》，Kluwer 1997年，第9-44页；arXiv:<a href=“https://arxiv.org/abs/math/0605222“>math/0605222</a>[math.MG]，2006年。
%H Michael Baake和Uwe Grimm，<a href=“http://www.ma.utexas.edu/mp_arc-bin/mpa？yn=02-392“>准晶体组合学，2002年。
%H Shai Covo，<a href=“https://cms.math.ca/publications/crux/issue？volume=36&issue=7“>问题3586，Crux Mathematicorum，第36卷，第7期（2010年），第461和463页https://cms.math.ca/publications/crux/issue？volume=37&issue=7“>提案人对问题3586的解决方案，同上，第37卷，第7期（2011年），第477-479页。
%H J.W.L.Glaisher，<a href=“http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/loader/img/？PID=PPN600494829_0020%7CLOG_0017“>关于函数chi（n）</a>，《纯粹与应用数学季刊》，第20卷（1884年），第97-167页。
%H J.W.L.Glaisher，关于函数chi（n），《纯粹与应用数学季刊》，第20卷（1884年），第97-167页。[带注释的扫描副本]
%H J.W.L.Glaisher，<a href=“https://doi.org/10.112/plms/s1-15.1.104“>关于表示数字的（4m+1）除数和（4m+3）除数之差的函数，《伦敦数学学会学报》，第15卷（1884年），第104-122页。
%H J.W.L.Glaisher，<a href=“/A002654/A002654.pdf”>关于表示数字的（4m+1）除数和（4m+3）除数之差的函数，Proc。伦敦数学。Soc.，第15卷（1884年），第104-122页。[仅第104-107页的注释扫描副本]
%H J.W.L.Glaisher，<a href=“https://books.google.com/books？id=bLs9AQAAMAAAJ&pg=RA1-PA1“>关于数字表示为二、四、六、八、十和十二平方和的问题，夸特·J·数学，第38卷（1907年），第1-62页（见第4页和第8页）。
%H Vaclav Kotesovic，<a href=“/A002654/A002654.jpg”>图-Sum_｛k=1..n｝a（k）^2的渐近比</a>
%H Stephen C.Milne，<a href=“http://dx.doi.org/10.1023/A:1014865816981“>精确平方和公式的无限族，雅可比椭圆函数，连分式和舒尔函数，Ramanujan J.，第6卷（2002年），第7-149页。
%H Srinivasa Ramanujan，<a href=“http://ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published/ram17.html“>数论分析中的一些公式，数学信使，XLV，1916，81-84，第（K）节。
%H John S.Rutherford，<a href=“http://dx.doi.org/10.107/S010876730804333X“>子晶格枚举。IV.按父Patterson对称性和色晶格群类型划分的平面子晶格的等价类，Acta Cryst（2009）。A65，156-163。[见表1]发件人：N.J.A.Sloane，2009年2月23日
%H<a href=“/index/Su#ssq”>与平方和相关的序列的索引条目。
%H<a href=“/index/Su#subatts”>与子格相关的序列的索引条目</a>。
%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目。
%H<a href=“/index/Ge#Glaisher”>为Glaisher</a>提到的序列索引条目。
%F Dirichlet级数：（1-2^（-s））^。
%对于m=-16，Dirichlet级数乘积_p（1-（Kronecker（m，p）+1）*p^（-s）+Kronecker（m，p）*p^（-2s））^（-1）展开的F系数。
%F如果n=2^k*u*v，其中u是素数4m+1的乘积，v是素数4+3的乘积；那么a（n）=0，除非v是一个正方形，在这种情况下，α（n）=u（Jacobi）的除数。
%F与a（p^e）相乘，如果p=2；e+1，如果p==1（mod 4）；如果p==3（mod 4），则为（e+1）mod 2_David W.Wilson，2001年9月1日
%F G.F.A（x）满足0=F（A（x，A（x^2），A（x^4）），其中F（u，v，w）=（u-v）^2-（v-w）*（4*w+1）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2004年7月19日
%F G.F.：总和｛n>=1｝（（-1）^楼层（n/2）*x^（（n^2+n）/2）/（1+（-x）^n））。-_Vladeta Jovovic_，2004年9月15日
%F（eta（q^2）^10/（eta。
%计算公式：和{k>0}x^k/（1+x^（2*k））=和{k>0}-（-1）^k*x^_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2005年8月17日
%F a（4*n+3）=a（9*n+3）=a“9*n+6”=0。a（9*n）=a（2*n）=a（n）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2006年11月1日
%F a（4*n+1）=A008441（n）。a（3*n+1）=A122865（n）。a（3*n+2）=A122856（n）。a（12*n+1）=A002175（n）。a（12*n+5）=2*A121444（n）。4*a（n）=A004018（n），除非n=0。
%F a（n）=和{k=1..n}A010052（k）*A010052。a（A022544（n））=0；a（A0001481（n））>0。
%F-Reinhard Zumkeller，2008年9月27日
%F a（n）=A001826（n）-A001842（n）.-_R.J.Mathar，2011年3月23日
%F a（n）=和{d|n}A056594（d-1），n>=1。参见Niven-Zuckerman参考中A056594（d-1）=h（d）的上述注释_Wolfdieter Lang，2013年4月19日
%F Dirichlet g.F.：zeta（s）*β=zeta（s）*L（chi_2（4），s）_Ralf Stephan，2015年3月27日
%F G.F.：（theta_3（x）^2-1）/4，其中theta_（）是雅可比θ函数_伊利亚·古特科夫斯基，2018年4月17日
%F a（n）=总和{m:m^2|n}A000089（n/m^2）_Andrey Zabolotskiy_，2018年5月7日
%F a（n）=A053866（n）+2*A025441（n）.-_Andrey Zabolotskiy_，2019年4月23日
%F a（n）=Im（总和i^d）_Ridouane Oudra，2020年2月2日
%F a（n）=Sum_{d|n}sin（（1/2）*d*Pi）_Ridouane Oudra，2021年1月22日
%F总和{n>=1}（-1）^n*a（n）/n=Pi*log（2）/4（Covo，2010）_Amiram Eldar，2022年4月7日
%F渐近平均值：极限{m->oo}（1/m）*和{k=1..m}a（k）=Pi/4=0.785398…（A003881）_Amiram Eldar_，2022年10月11日
%F From _Vaclav Kotesovec_，2023年3月10日：（开始）
%F和{k=1..n}a（k）^2~n*（log（n）+C）/4，其中C=A241011=
%F 4*伽马-1+对数（2）/3-2*对数（Pi）+8*对数（伽马（3/4））-12*泽塔'（2）/Pi^2=2.016621545733408115279685971511542645018417752364748061。。。
%F Ramanujan（1916年，公式（22））发布的常数C，4*gamma-1+log（2）/3-log（Pi）+4*log（gamma（3/4））-12*Zeta'（2）/Pi^2=2.3482276258576……是错误的！（结束）
%e4=2^2，所以a（4）=1；5=1^2+2^2=2^2+1^2，所以a（5）=2。
%e x+x ^2+x ^4+2*x ^5+x ^8+x ^9+2*x ^10+2*x^13+x ^16+2**x ^17+x ^18+。。。
%e 2=（+1）^2+（+1）*^2=（+1）*^2+（-1）*^2=（-1）^2+（+1）*1^2=。因此有4个整数解，在Niven-Zuckerman参考中称为N（2），a（2）=N（2”/4=1。4 = 0^1 + (+2)^2 = (+2)^2 + 0^2 = 0^2 + (-2)^2 = (-2)^2 + 0^2. 因此，N（4）=4，a（4）=N（四）/4=1。N（5）=8，a（5）=2.-_Wolfdieter Lang，2013年4月19日
%p（数字理论）：
%p A002654:=程序（n）
%p局部计数1，计数3，d；
%p计数1:=0：
%p计数3:=0：
%数理论中d的p（除数）（n）do
%p如果d mod 4=1，则
%p计数1:=计数1+1
%p elif d mod 4=3那么
%p计数3:=计数3+1
%p fi:
%p端do：
%p计数1-计数3；
%p端程序：
%p#第二个Maple程序：
%p a:=n->加（`if`（d:：奇数，（-1）^（（d-1）/2），0），d=numtheory[除数]（n））：
%p序列（a（n），n=1..100）；#_阿洛伊斯·海因茨，2020年2月4日
%t a[n_]：=计数[除数[n]，d_/；Mod[d，4]==1]-计数[除数[n]，d_/；模态[d，4]==3]；a/@Range[105]（*Jean-François Alcover，2011年4月6日，继R.J.Mathar之后）
%t QP=Q手锤；系数表[（1/q）*（QP[q^2]^10/（QP[q]*QP[q ^4]）^4-1）/4+O[q]^100，q]（*_Jean-François Alcover_，2015年11月24日*）
%tf[2，e_]：=1；f[p_，e_]：=如果[Mod[p，4]==1，e+1，Mod[e+1，2]；a[1]=1；a[n_]：=倍@@f@@FactorInteger[n]；阵列[a，100]（*_Amiram Eldar_，2020年9月19日*）
%t静止[系数列表[系列[椭圆θ[3，0，q]^2/4，{q，0，100}]，q]]（*_Vaclav Kotesovec_，2023年3月10日*）
%o（PARI）方向（p=2101,1/（1-X）/（1-kronecker（-4，p）*X））
%o（PARI）{a（n）=polcoeff（和（k=1，n，x^k/（1+x^（2*k）），x*o（x^n）），n）}
%o（PARI）{a（n）=汇总（n，d，（d%4==1）-（d%4==3））}
%o（PARI）{a（n）=局部（a）；a=x*o（x^n）；polcoeff（eta（x^2+a）^10/（eta
%o（PARI）a（n）=我的（f=因子（n>>估值（n，2）））；prod（i=1，#f~，if（f[i，1]%4==1，f[i、2]+1，（f[i，2]+1）%2））\\_Charles R Greathouse IV_，2014年9月9日
%o（PARI）my（B=bnfinit（x^2+1））；向量（100，n，#bnfisintnorm（B，n））\\_Joerg Arndt_，2024年6月1日
%o（哈斯克尔）
%o a002654 n=产品$zipWith f（a027748_row m）（a12410_row m），其中
%o f p e |p`mod`4==1=e+1
%o|否则=（e+1）`mod`2
%o m=a000265牛顿
%o--_Reinhard Zumkeller，2013年3月18日
%o（Python）
%o来自math导入prod
%o来自sympy进口保理商
%o def A002654（n）：为因子（n）.items（）中的p，e返回prod（1 if p==2else（e+1 if p%4==1else（e+1）%2）#_Chai Wah Wu_，2022年5月9日
%Y参考A000161、A001481、A003881。
%Y等于A004018的1/4。部分金额为A014200。
%Y参见A002175、A008441、A121444、A122856、A122865、A022544、A143574、A000265、A027748、A124010、A025426（两个正方形，顺序无关紧要）、A120630（Dirichlet逆）、A101455（Mobius变换）、A000089、A241011。
%如果只读取Glaisher PLMS 1884中的表格，其中省略了零项，则会得到A213408。
%判别式-3、-4、-7、-8、-11、-15、-19、-20的虚二次数域的Y Dedekind zeta函数分别为A002324、A002654、A035182、A002325、A035179、A035175、A05171、A035170。
%判别式5、8、12、13、17、21、24、28、29、33、37、40的实二次数域的Y Dedekind zeta函数分别为A035187、A035185、A035.94、A035195、A05199、A035203、A03.588、A035210、A035211、A035 215、A035219、A035192。
%K核，容易，不，好，多
%O 1,5型
%A _N.J.A.斯隆_
