%I M4596 N1961#145 2024年9月3日00:58:32

%S 9,8,6,9,6,0,4,4,0,1,0,8,9,3,5,8,61,8,8,3,4,9,0,9,9,8,1,5,1，

%温度1,3,5,3,1,3,6,9,9,4,0,7,2,4,0,1,7,9,0,6,6,2,6,4,1,33,4,9,3,7,6,2,0,0，

%U 4,4,8,2,4,1,9,2,0,5,2,4,3,0,0,1,7,3,4,0,3,7,1,8,5,5,2,3,1,82,4,0,1

%N Pi^2的十进制展开式。

%C也等于正弦或余弦曲线在一个完整周期内的旋转体积，Integral_{x=0..2*Pi}sin（x）^2 dx.-_Robert G.Wilson v_，2005年12月15日

%C等于Sum_{n>0}20/A026424（n）^2，其中A026424是整数，素数除数（以重数计算）是奇数_Michel Lagneau，2015年10月23日

%D W.E.Mansell，自然对数和普通对数表。皇家学会数学表，第8卷，剑桥大学出版社，1964年，第18页。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%D David Wells，《企鹅奇趣数字词典》。企鹅出版社，纽约，1986年，1987年修订版。见第76页。

%H Harry J.Smith，n表，n=1..20000的a（n）</a>

%H Mohammad K.Azarian，<a href=“http://projecteuclid.org/euclid.mjms/1312233136“>Al-Risala Al-Muhitiyya:A Summary（关于周长的论文），《密苏里数学科学杂志》，2010年第22卷第2期，第64-85页。

%H D.H.Bailey和J.M.Borwein，<a href=“http://www.ams.org/notices/200505/fea-borwein.pdf“>《实验数学：示例、方法和含义》，AMS通告，52（2005年第5期），502-514。

%H David H.Bailey、Jonathan M.Borwein、Andrew Mattingly和Glenn Wightwick，<a href=“http://www.ams.org/notices/201307/rnoti-p844.pdf“>（Pi）^2和加泰罗尼亚常量之前不可访问数字的计算，AMS通告，60（2013年7月），844-854。

%H N.D.Elkies，<a href=“http://www.math.harvard.edu/~elkies/Misc/pi10.pdf“>为什么（Pi）^2如此接近10</a>

%H Melissa Larson，<a href=“https://www.d.umn.edu/~jgreene/masters_reports/BBP%20Paper%20final.pdf“>验证和发现BBP类型的公式</a>，2008年。

%H西蒙·普劳夫，<a href=“https://web.archive.org/web/2015091212749/http://www.worldwideshool.org/library/books/sci/math/MiscellaneousMathematicalConstants/chap75.html“>Pi^2到10000位</a>。

%H Simon Plouffe，普劳夫逆变器，<a href=“http://www.plouffe.fr/simon/constants/pipi.txt“>Pi^2到10000位</a>。

%H维基百科，<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Bailey%E2%80%93Borwein%E2%80%93Plouffe_formula“>Bailey-Borwein-Plouffe配方奶粉。

%H Herbert S.Wilf，<a href=“https://doi.org/10.46298/dmtcs.265“>通用常数的加速级数，采用WZ方法，《离散数学和理论计算机科学》，第3卷，第4期（1999年）。

%H<a href=“/index/Ph#Pi314”>与数字Pi相关的序列的索引条目。

%H<a href=“/index/Tra#超越数”>超越数的索引条目</a>。

%F Pi^2=11/2+16*和{k>=2}（1+k-k^3）/（1-k^2）^3_亚历山大·波沃洛茨基，2009年5月4日

%F Pi^2=3*（和{n>=1}（（2*n+1）^2/和{k=1..n}k^3）/4-1）.-_Alexander R.Povolotsky，2011年1月14日

%F Pi^2=（3/2）*（和{n>=1}（（7*n^2+2*n-2）/（2*n^2-1）/14*EulerGamma）_Alexander R.Povolotsky，2011年8月13日

%F也等于32*Integral_{x=0..1}反弧（x）/（1+x^2）dx.-_Jean-François Alcover，2013年3月25日

%F From _Peter Bala，2015年2月5日：（开始）

%F Pi^2=20*Integral_{x=0..log（phi）}x*coth（x）dx，其中phi=（1/2）*（1+sqrt（5））是黄金比率。

%F Pi^2=10*Sum_{k>=0}二项式（2*k，k）*（1/（2*k+1）^2）*（-1/16）^k。Pi/3（见A019670）和（7*/216）*Pi^3（见A091925）也有类似的级数展开式。

%F整数序列A（n）：=2^n*（2*n+1）^2/n！和B（n）：=A（n）*（和{k=0..n}二项式（2*k，k）*1/（2*k+1）^2*（-1/16）^k）都满足二阶递推方程u（n）=（24*n^3+44*n^2+2*n+1）*u（n-1）+8*（n-1。从这个观察结果中，我们可以得到连续分式展开式Pi^2/10=1-1/（72+8*3^5/（373+8*2*5^5/…（1051+…+8*（n-1）*（2*n-1）^5/）（（24*n^3+44*n^2+2*n+1）+…））。参见A093954。（结束）

%F Pi^2=A304656*A093602=（伽玛（0，1/6）-伽玛（0，5/6））*（伽玛（0，2/6）-伽玛（0，4/6）），其中伽玛（n，x）是广义Stieltjes常数。这个公式也可以用多膜函数表示_Peter Luschny_，2018年5月16日

%F等于8+和{k>=1}1/（k^2-1/4）^2=-8+和{k>=0}1/_Amiram Eldar，2020年8月21日

%F From _Peter Bala，2021年12月10日：（开始）

%F Pi^2=（2^6）*Sum_{n>=1}n^2/（4*n^2-1）^2=2）^2）。

%更一般地说，对于k>=0，我们有Pi^2=（2*k+1）*2^（4*k+6）*（2*k）^4/（4*k）！*和{n>=1}n^2/（（4*n^2-1）^2**（4*n^2-（2*k+1）^2）^2）。

%F对于k>=0，我们还有Pi^2=（-1）^k*2^（6*k+8）*（2*k+1）^3/（6*k+1）*（（2*k）^6*（3*k）！）/（k！^3*（6*k）！）*和{n>=1}n^2/（（4*n^2-1）^3**（4*n^2-（2*k+1）^2）^3）。（结束）

%F From _Peter Bala，20232年10月27日：（开始）

%F Pi^2=10-和{n>=1}1/（n*（n+1））^3。

%F Pi^2=6217/630+（648/35）*Sum_{n>=1}1/（n*（n+1）*（n+2）*（n+3））^3。

%F一般结果（使用WZ方法验证-见Wilf）为：对于n>=0，

%F Pi^2=A（n）+（-1）^（n+1）*B（n）*Sum_{k>=1}1/（k*（k+1）**（k+2*n+1））^3，其中A（n）=10-和{i=1..n}（-1）^（i+1）*（56*i^2+24*i+3）*（2*i）^3*（3*i）/（2*i^2*（2*i+1）*（6*i+1）*我^3） 且B（n）=（2*n+1）^6*（3*n）！/（2*n+1）*（6*n+1）*不^3 ).

%F让n->oo给出快速收敛的交替级数

%F Pi^2=10-和{i>=1}（-1）^（i+1）*（56*i^2+24*i+3）*（2*i）^3*（3*i）/（2i^2*（2i+1）*（6i+1）*我^3). 级数的第i个和渐近于（14/3）*1/（i^2*27^i），因此取级数的70项，Pi^2的值精确到100个小数位以上。

%F级数表示Pi^2=3*Sum_{k>=1}（2*k）/k^3可以加速以得到更快收敛的级数

%F Pi^2=99/10-（8/5）*和{k>=1}（2*k+2）/（k*（k+1）*（k+2

%F Pi^2=54715/5544+（41472/385）*Sum_{k>=1}（2*k+4）/（k*（k+1）*（k+2）*（k+3）*。

%F一般结果是：对于n>=1，Pi^2=C（n）+（-1）^n*D（n）*Sum_{k>=1}（2*k+2*n）/（k*（k+1）**（k+2*n））^3，其中C（n）=A（n）-10*（-1）^n*（3*n）*（2*n）^3/（（2*n+1）*n^3*（6*n+1）！）且D（n）=（2*n）^6*（3*n）！/（2*n*（6*n-1）*不^3 ). （结束）

%电子邮箱9.869604401089358618834490999987615113531369940724079062641334937620044。。。

%p位数：=100:evalf（Pi^2）；#_韦斯利·伊万·赫特，2014年7月13日

%t真实数字[Pi^2，10111][[1]]（*RobertG.Wilson v_，2005年12月15日*）

%o（PARI）默认值（realprecision，20080）；x=Pi^2；对于（n=120000，d=楼层（x）；x=（x-d）*10；写入（“b002388.txt”，n，“”，d）；\\_Harry J.Smith，2009年5月31日

%o（岩浆）R:=RealField（100）；圆周率（R）^2；//_G.C.Greubel，2018年3月8日

%o（Python）#计算时使用一些保护数字。

%o#BBP公式（9/8）P（2，64，6，（16，-24，-8，-6，1，0））。

%o从decimal导入decimal as dec，getcontext

%o定义BBPpi2（n:int）->dec:

%o getcontext（）.prec=n

%o s=dec（0）；f=下降（1）；g=下降（64）

%o对于范围内的k（int（n*0.5536546824812272）+1）：

%o六k=十进制（6*k）

%o s+=f*（十进制（16）/（六进制+1）**2-十进制（24）/（六进制+2）**2

%o-十进制（8）/（六进制+3）**2-十进制

%o+十进制（1）/（六进制+5）**2）

%o f/=克

%o返回（s*dec（9））/dec（8）

%o打印（BBPpi2（200））#_Peter Luschny_，2023年11月3日

%Y参见A102753、A058284、A019670、A091925、A093954、A093602、A304656。

%K nonn，cons公司

%O 1,1号机组

%A _N.J.A.斯隆_

%E更多条款，摘自_Robert G.Wilson v_，2005年12月15日