%I M1249 N1385#126 2024年4月10日22:01:01

%S 1,2,4,11,31,8322761616744550123673361791380248397675214，

%电话18354214989191135620273686541210021058127240060070461601，

%电话：20127833155471312310148725688314042783359610984245429298723530401812014744422

%N最小k，使得H（k）>N，其中H（k”）是调和数Sum_{i=1..k}1/i。

%C发件人_Dean Hickerson_，2003年4月19日：（开始）

%C对于k>=1，log（k+1/2）+gamma<H（k）<log（k+1/2）+gamma+1/（24k^2），其中gamma是欧拉常数（A00162）。对于所有k>=2，上限和下限可能具有相同的下限，在这种情况下，对于所有n>=0，a（n）=下限（exp（n-gamma）+1/2）。

%C这句话是基于一个简单的启发式论证。上界和下界相差1/（24k^2），所以在这两个界之间有一个整数的概率是1/（24 k^ 2）。对所有k>=2求和，得到k的期望值数量，其中在边界之间有一个整数。这个和等于Pi^2/144-1/24~0.02687。这远远小于1，所以k不太可能有这样的值。

%C（结束）

%C参考A118050和A118051，使用H（x）逆的渐近级数的几个项，我们可以得到一个表达式，其可能性比上面提到的更大，对于所有n>=0，应该给出一个（n）。例如，使用由_Dean Hickerson_给出的相同类型的启发式参数，可以表明，在概率>99.995%的情况下，对于所有n>=0，a（n）=floor（u+1/2-1/（24u）+3/（640u^3）），其中u=e^（n-gamma）大卫·W·坎特雷尔（DWCantrell（AT）sigmaxi.net）

%对于k>1，H（k）永远不是整数。因此，除前两项外，该序列与A004080一致_尼克·霍布森（Nick Hobson），2006年11月25日

%D John H.Conway和R.K.Guy，《数字之书》，哥白尼出版社，斯普林格出版社，纽约，1996年，第258-259页。

%D J.-M.De Konink，《法定法西斯》，条目83，第28页，《椭圆》，巴黎，2008年。

%D Ronald Lewis Graham、Donald Ervin Knuth和Oren Patashnik，“具体数学，计算机科学的基础”，Addison-Wesley出版公司，马萨诸塞州雷丁，1989年，第258-264页，第438页。

%D H.P.Robinson，致N.J.A.Sloane的信，1973年10月23日。

%D W.Sierpiánski，《理性的苏尔分解》，《欧夫莱斯选择》，波兰华沙波兰科学院，1974年，第181页。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列百科全书》中序列M4299（=A007340）的图解（与Simon Plouffe合著），学术出版社，1995年。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%D I.Stewart，《普通大学》，第54页，《Belin-Pour La Science》，巴黎，2000年。

%H Robert G.Wilson v，n表，n=0..2303的a（n）

%H John V.Baxley，<a href=“http://www.jstor.org/stable/2691241“>欧拉常数、泰勒公式和缓慢收敛级数，《数学杂志》65（1992），302-313。（给出n=24的项。）

%H R.P.Boas，调和级数的部分和，II，Mimeography手稿，无日期。

%H R.P.Boas，Jr.和J.W.W.Wrench，Jr..，<a href=“http://www.jstor.org/stable/2316476“>调和级数的部分和</a>，《美国数学月刊》，78（1971），864-870。（给出n=20的条件。）

%H Nick Hobson，<a href=“https://web.archive.org/web/2016080295036/http://www.qbyte.org/puzzles/p034s.html“>谜题34的解决方案：谐波和2。

%H H.P.Robinson，致N.J.a.Sloane的信，1973年10月28日。

%H H.P.Robinson，致N.J.a.Sloane的信，1981年10月</a>

%H H.P.Robinson，致N.J.a.Sloane的信，1983年12月20日</a>

%H John A.Rochowicz，Jr.，<A href=“http://epublications.bond.edu.au/ejsie/vol8/iss2/4“>调和数：见解、近似和应用，教育电子表格（eJSiE）（2015），第8卷：第2期，第4条。

%H R.G.Wilson，给N.J.a.Sloane的信及其附件，1989年1月（附件中提到A006509）

%H R.G.Wilson v，致N.J.a.Sloane的信，1993年10月12日</a>

%H J.W.W.Wrench，Jr.，《谐波级数的选定部分和》，手稿，无日期[带注释的扫描件]

%注意，条件收敛级数Sum_{k>=1}（-1）^（k+1）/k=log2（A002162）。

%F Limit_{n->oo}a（n+1）/a（n）=e.-Robert G.Wilson v_，2001年12月7日

%F假设，对于n>1，a（n）=地板（exp（n-gamma）+1/2）_Benoit Cloitre_，2002年10月23日

%t fh[0]＝0；fh[1]=1；fh[k_]：=模块[{tmp}，如果[Floor[tmp=Log[k+1/2]+EulerGamma]==楼层[tmp+1/（24k^2）]，楼层[tmp]，未知]]；a[0]=1；a[1]=2；a[n_]：=模块[{val}，val=圆形[Exp[n-EulerGamma]]；如果[fh[val]==n&&fh[val-1]==n-1，val，UNKNOWN]]；（*fh[k]是楼层（H（k））或未知*）

%t f[n]：=k/。FindRoot[HarmonicNumber[k]==n，{k，Exp[n]}，工作精度->100]//上限；f[0]=1；数组[f，28，0]（*_Robert G.Wilson v_，2017年1月24日，在A014537*中的_Jean-François Alcover_之后）

%o（PARI）a（n）=如果（n，my（k=exp（n-Euler））；ceil（求解（x=k-1.5，k+.5，intnum（y=0,1，（1-y^x）/（1-y））-n）），1）\\查尔斯·格里塔斯IV，2012年6月13日

%o（哈斯克尔）

%o a002387 n=a002387_列表！！n个

%o a002387_list=f 0 1其中

%o f x k=如果hs！！k>来自积分x

%o则k:f（x+1）（k+1），否则f x（k+1）

%o其中hs=扫描（+）0$map接收[1..]

%o——Reinhard Zumkeller，2014年8月4日

%Y除初始条款外，与A004080相同。

%Y参见A006509、A055980、A115515、A242654。

%K nonn很好

%O 0,2

%A _N.J.A.斯隆_

%E由_Eric W.Weisstein_计算的n>=13的术语；由James R.Buddenhagen和_Eric W.Weisstein于2001年2月18日更正

%E编辑：Dean Hickerson，2003年4月19日