%I M3913 N1607#253 2024年2月5日10:50:48

%S 1,5,21,843301287500519448755822939301144066445740017383860，

%电话：67863915265182525103715832040599289501590536871062359143990，

%电话：24466267020096056691822037736557501483389769422658343356817424229591913401900

%N二项式系数C（2n+1，N-1）。

%Ca（n）=S_{n+2}中正好包含一个312模式的置换数。例如，S_3的a_1=1置换恰好包含一个312模式，而S_4的a_2=5置换正好包含一个321模式，即1423、2413、3124、3142和4231。如果312被132、213或231中的任何一个替换（但不是123或321，请参见A003517），则此注释也是正确的。【意见由N.J.A.Sloane修订，2022年11月26日】

%C半长n+1的所有Dyck路径中的谷数。示例：a（2）=5，因为UD*UD*UD，UD*UUDD，UUDD*UD_Emeric Deutsch，2003年12月5日

%C半长n+1的所有Dyck路径中的UU数（双上升）。示例：a（2）=5，因为UDUDUD、UDU*UDD、U*UDDUD、U*UDUDD、U*U*UDDD，双升幅用*.-表示_Emeric Deutsch，2003年12月5日

%C在半长n+1的所有Dyck路径中，高于一级的峰值数（高峰值）。示例：a（2）=5，因为UDUDUD，UDUU*DD，UU*DDUD，UU*DU*DD，UUU*DDD，高峰用*.-表示_Emeric Deutsch，2003年12月5日

%C凸（n+3）-边到n个区域的对角剖分数。形状（n，n，1）的标准表格数量（见斯坦利参考）_Emeric Deutsch_，2004年5月20日

%C通过非交叉对角线将凸（n+3）-边剖分为多个区域的次数，其中n-1个区域为三角形。示例：a（2）=5，因为凸五边形ABCDE被任何对角线AC、BD、CE、DA、EB剖分为正好包含1个三角形的区域_Emeric Deutsch_，2004年5月31日

%C具有n+1个内部节点的所有完整二叉树中的跳转数。在完整二叉树的预序遍历中，从较深级别的节点到严格较高级别的节点的任何转换都称为跳跃_Emeric Deutsch_，2007年1月18日

%C a（n）是半长n的所有Dyck路径（A000108）中非空Dyck子路径的总数。例如，Dyck路UUDUUDDD的Dyck个子路径延伸到位置1-8（整个路径）、2-3、2-7、4-7、5-6，因此对a（4）的贡献为5_David Callan，2008年7月25日

%C a（n+1）是避免模式132的所有n个排列集合中的上升总数。例如，a（2）=5，因为集合123、213、231、312、321中有5个上升_Cheyne Homberg_，2013年10月25日

%C具有最大条目2n+1的形状（n+1，n+1）递增表的数量。递增表是一个半标准表，其中的行和列严格递增，条目集是正整数的初始段。示例：a（2）=5计算五个表（124）（235）、（123）（245）、（124”（345）、“（134）（244）”、“（123）”（245_Oliver Pechenik，2014年5月2日

%C a（n）是2n+1的非交叉分区数，分成大小为2的n-1块和大小为3的1块_Oliver Pechenik，2014年5月2日

%C半平面中的路径数x>=0，从（0,0）到（2n+1,3），由步骤U=（1,1）和D=（1，-1）组成。例如，对于n=2，我们有5条路径：UUUUD、UUUDU、UUDUU、UDUUU、DUUUU_何塞·路易斯·拉米雷斯·拉米雷斯，2015年4月19日

%C来自Gus Wiseman_，2021年8月20日：（开始）

%C还有2n+2位的二进制数和两个大于1的0的二进制数。例如，a（2）=5个二进制数为：100001、100010、100100、101000、110000，十进制值为33、34、36、40、48。允许第一个数字为0表示A001791，由A345910/A345912排名。

%C还有2n+2的整数组合数，其中序列（y_1，…，y_k）的交替和是sum_i（-1）^（i-1）y_i。例如，a（3）=21的组合是：

%C（35）（152）（1124）（11141）（111113）

%C（251）（1223）（12131）（111212）

%C（1322）（13121）（111311）

%公元1421年（14111年）（121112年）

%丙（2114）（121211）

%C（2213）（131111）

%C（2312）

%C（2411）

%C以下与这些成分有关：

%C-无序版本为A344741。

%C-按A345924排名（反向：A345923）。

%C-A345197按长度和交替求和计算成分。

%C-A345925使用交替和2（反面：A345922）对成分进行排序。

%C（结束）

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%F a（n）=和{j=0..n-1}二项式（2*j，j）*二项式Yong Kong（ykong（AT）curagen.com），2000年12月26日

%F G.F.：z*C^4/（2-C），其中C=[1-sqrt（1-4z）]/（2z）是加泰罗尼亚函数_Emeric Deutsch，2003年7月5日

%F From_Wolfdieter Lang_，2004年1月9日：（开始）

%F a（n）=二项式（2*n+1，n-1）=n*C（n+1）/2，C（n）=A000108（n）（加泰罗尼亚语）。

%F G.F.：（1-2*x-（1-3*x）*c（x））/（x*（1-4*x）），带有A000108的G.F.c（x）。（结束）

%F G.F.：z*C（z）^3/（1-2*z*C_何塞·路易斯·拉米雷斯·拉米雷斯，2015年4月19日

%光纤：2F1（5/2，2；4；4*x）_R.J.Mathar，2015年8月9日

%带递归的F D-有限：a（n+1）=a（n）*（2*n+3）*（2*n+2）/（n*（n+3_Chai Wah Wu_，2016年1月26日

%F From _Ilya Gutkovskiy_，2016年8月30日：（开始）

%F例如：（贝塞尔I（0,2*x）+（1-1/x）*BesselI（1,2*x。

%F a（n）~2^（2*n+1）/sqrt（Pi*n）。（结束）

%F a（n）=（1/（n+1））*和{i=0..n-1}（n+1-i）*二项式（2n+2，i），n>=1.-_Taras Goy_，2018年8月9日

%固定资产：（x-1+（1-3*x）/sqrt（1-4*x））/（2*x^2）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2021年7月28日

%F From _Amiram Eldar_，2022年1月24日：（开始）

%F Sum_｛n＞=1｝1/a（n）=5/3-2*Pi/（9*sqrt（3））。

%F总和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=52*log（phi）/（5*sqrt（5））-7/5，其中phi是黄金比率（A001622）。（结束）

%F a（n）=A001405（2*n+1）-A000108（n+1），n>=1（来自Eremin链接，第7页）_Gennady Eremin，2023年9月5日

%F G.F.：x/（1-4*x）^2*c（-x/（1-4*x））^3，其中c（x）=（1-sqrt（1-4*x））/（2*x）是加泰罗尼亚数字A000108的G.F.。-_Peter Bala_，2024年2月3日

%e.G.f.=x+5*x^2+21*x^3+84*x^4+330*x^5+1287*x^6+5005*x^7+。。。

%p with（combstruct）：序列（（count（Composition（2*n+2），size=n）），n=1..24）；#_零入侵拉霍斯，2007年5月3日

%t系数列表[系列[8/（（Sqrt[1-4x]+1）^3）*Sqrt[1-4x]），{x，0,22}]，x]（*_Robert G.Wilson v_，2011年8月8日*）

%t a[n]：=二项式[2 n+1，n-1]；（*迈克尔·索莫斯，2014年4月25日*）

%o（PARI）{a（n）=二项式（2*n+1，n-1）}；

%o（岩浆）[二项式（2*n+1，n-1）：n in[1..30]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2015年4月20日

%o（Python）

%o来自__future_import部门

%o A002054_列表，b=[]，1

%o表示范围（1,10**3）内的n：

%o A002054_list.append（b）

%o b=b*（2*n+2）*（2*n+3）//（n*（n+3

%o（GAP）列表（[1..25]，n->二项式（2*n+1，n-1））；#_Muniru A Asiru_，2018年8月9日

%o（Sage）[（1..25）中n的二项式（2*n+1，n-1）]#_G.C.Greubel_，2019年3月22日

%三角形A100257的Y对角线4。也是A033282的对角线。

%Y等于（1/2）A024483（n+2）。A037951和A037955的二分之一。

%Y参考A001263。

%A263771的Y列k=1。

%Y对A031445中的2n+2位二进制项进行计数。

%Y参见A000097、A000346、A000984、A001622、A001700、A007318、A008549、A031444、A058622、P097805、A116406、A138364、A163493、A202736。

%K nonn，简单

%O 1,2号机组

%A _N.J.A.斯隆_