%I M4384 N1844#181 2024年3月23日08:14:50

%S 1,7,25,6312923137758331159156120472625330340894991，

%电话：60177175847399191152113287152251734319649221512485727775，

%电话：309133427937881417274582550183548095971164897703757615382239

%N居中八面体数（立方晶格的水晶球序列）。

%C距离原点最多n步的简单立方晶格中的点数。

%C如果X是一个n集，并且Y_i（i=1,2,3）是X的互不相交的2个子集，那么a（n-6）等于X的6个子集的数目，这些子集与每个Y_i相交（i=12,3）_米兰Janjic_，2007年8月26日

%C等于[1,6,12,8,0,0,0，…]的二项式变换，其中（1,6,12,8）=切比雪夫三角形A013609的第3行_Gary W.Adamson，2008年7月19日

%C设A是n阶Hessenberg矩阵，定义为：A[1，j]=1，A[i，i]：=2，（i>1），A[i，i-1]=-1，否则A[i、j]=0。然后，对于n>=4，a（n-2）=-系数（charpoly（a，x），x^（n-3））_米兰Janjic_，2010年1月26日

%Ca（n）=A005408（n）*A097080（n-1）/3.-_Reinhard Zumkeller_，2013年12月15日

%C a（n）=D（3，n），其中D是Delannoy数（A008288）。因此，a（n）给出了从（0,0）到（3，n）的网格路径数，使用将一个单元向北、向东或向东北移动的步骤_David Eppstein，2014年9月7日

%C上述第一条注释可以重新表述和概括如下：a（n）是Z^3中距离任何给定点的L1（曼哈顿）距离<=n的点数。等效地，由于Delannoy数字数组（A008288）中更容易看到的对称性，作为_Dmitry Zaitsev 2015年12月10日对A008288_的评论的特例，a（n）是Z^n中距离任何给定点的L1（曼哈顿）距离<=3的点数_Shel Kaphan_，2023年1月2日

%D L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第81页。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H T.D.Noe，n表，n=0..1000时的a（n）</a>

%H Luciano Ancora，<a href=“https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9c/FigurateN.pdf“>方形金字塔数和其他数字</a>，ch.4。

%H Bela Bajnok，<a href=“https://arxiv.org/abs/1705.07444“>加法组合数学：研究问题菜单</A>，arXiv:11705.07444[math.NT]，2017年5月。见第2.3节。

%H D.Bump、K.Choi、P.Kurlberg和J.Vaaler，<a href=“网址：http://www.cecm.sfu.ca/~choi/paper/lrh.pdf“>局部黎曼假说，I</A>第16页和第17页

%H J.H.Conway和N.J.A.Sloane，<A href=“https://doi.org/10.1098/rspa.1997.0126“>低维晶格VII：配位序列，伦敦皇家学会学报，A453（1997），2369-2389（<a href=”http://neilsloane.com/doc/Me220.pdf“>pdf）。

%H米兰Janjic，<a href=“http://www.pmfbl.org/janjic/“>两个枚举函数</a>

%H米兰Janjic，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL13/Janjic/janjic33.html“>Hessenberg矩阵和整数序列，J.Int.Seq.13（2010）#10.7.8。

%H Milan Janjić，<a href=“https://arxiv.org/abs/1905.04465“>关于受限制的三元单词和插入语，arXiv:1905.04465[math.CO]，2019。

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%H G.Kreweras，《细分市场研究》，巴黎大学统计研究所，第20期（1973年）。（带注释的扫描副本）

%H T.P.Martin，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/0370-1573（95）00083-6“>原子壳，《物理报告》，273（1996），199-241，等式（10）。

%H西蒙·普劳夫，<a href=“https://arxiv.org/abs/0911.4975“>Approximations de séries génératrices et quelques consuggestures”，魁北克大学论文，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。

%H Simon Plouffe，1031生成函数，论文附录，蒙特利尔，1992年

%H R.G.Stanton和D.D.Cowan，<a href=“http://dx.doi.org/10.1137/1012049“>关于“方形”函数方程的注释，SIAM Rev.，12（1970），277-279。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/HauyConstruction.html“>哈维建筑</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/OctahedralNumber.html“>八面体数</a>

%H<a href=“/index/Cor#crystal_ball”>水晶球序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_04”>具有常系数的线性重复出现的索引条目，签名（4，-6,4，-1）。

%传真：（1+x）^3/（1-x）^4。[西蒙·普劳夫在1992年的论文中（正确地）推测]

%F a（n）=（2*n+1）*（2*n ^2+2*n+3）/3。

%F A014820（n）的第一个差异_Alexander Adamchuk_，2006年5月23日

%F a（n）=a（n-1）+4*n^2+2，a（0）=1.-_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2011年3月27日

%F a（n）=4*a（n-1）-6*a（n-2）+4*a（n-3）-a（n-4），其中a（0）=1，a（1）=7，a（2）=25，a（3）=63_Harvey P.Dale_，2013年6月5日

%F a（n）=和{k=0..min（3，n）}2^k*二项式（3，k）*二项法（n，k）。参见Bump等人——Tom Copeland_，2014年9月5日

%F From _Luciano Ancora_，2015年1月8日：（开始）

%F a（n）=2*A000330（n）+A000330。

%F a（n）=A005900（n）+A005900。

%F a（n）=A005900（n）+A000330（n）+0000330（n+1）。

%F a（n）=A000330（n-1）+A000330。（结束）

%对于n>0，F a（n）=A002412（n+1）+A016061（n-1）_Bruce J.Nicholson，2017年11月12日

%例如：exp（x）*（3+18*x+18*x^2+4*x^3）/3.-_斯特凡诺·斯佩齐亚（Stefano Spezia），2024年3月14日

%F和{n>=1}（-1）^（n+1）/（n*a（n-1）*a（n））=5/6-对数（2）=（1-1/2+1/3）-log（2）_彼得·巴拉（Peter Bala），2024年3月21日

%t表[（4n^3-6n^2+8n-3）/3，{n，100}]（*_Vladimir Joseph Stephan Orlovsky_，2011年1月15日*）

%t线性递归[{4，-6，4，-1}，{1，7，25，63}，40]（*哈维·P·戴尔，2013年6月5日*）

%t系数列表[系列[（1+x）^3/（-1+x）*4，{x，0，20}]，x]（*_Eric W.Weisstein_，2017年9月27日*）

%o（PARI）a（n）=（2*n+1）*（2*n ^2+2*n+3）/3\\查尔斯·格里特豪斯四世，2011年12月6日

%o（哈斯克尔）

%o a001845 n=（2*n+1）*（2*n ^2+2*n+3）`div`3

%o--_Reinhard Zumkeller_，2013年12月15日

%Y两个连续项之和表示A008412。

%Y（1/12）*t*（2*n^3-3*n^2+n）+2*n-1表示t=2，4，6。。。给出A049480、A005894、A063488、A001845、A06348、A00589、A063490、A057813、A06349、A005902、A0634.92、A005917、A0631493、A063、494、A063和495、A063。

%Y A005899的部分金额。

%Y参见A001846、A001847、A00184等、A014820、A013609。

%Y另请参阅A240876、A002412、A016061、A005899。

%Y 28个统一的3D tilings：驾驶室：A299266、A299267；crs:A299268、A299269；fcu:A005901、A005902；费用：A299259、A299265；flu-e:A299272、A299273；fst:A299258、A299264；哈尔语：A299274，A299275；hcp:A007899、A007202；十六进制：A005897、A005898；卡格：A299256、A299262；lta:A008137，A299276；pcu:A005899、A001845；pcu-i:A299277、A299278；reo:A299279、A299280；修订版：A299281、A299282；rho:A008137，A299276；草皮：A005893、A005894；型号：A299255、A299261；svh:A299283、A299284；svj:A299254、A299260；svk:A010001、A063489；tca:A299285、A299286；tcd:A299287、A299288；tfs：A005899、A001845；tsi:A299289、A299290；ttw:A299257、A299263；ubt:A299291、A299292；编号：A007899、A007202。有关概述，请参阅A299266中的Proserpio链接。

%A008288的Y行/列3。

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