%I M3500 N1421#274 2024年7月7日13:23:10
%S 0,1,4,15,56210792300144043758167960646624961449657700,
%电话:37442160145422675565722720220396143085974966003357800610,
%电话:131282408400513791607420201261640008078903711139503095769953576115486600363004775151179875952
%N a(N)=二项式系数C(2n,N-1)。
%C半长n+1的所有Dyck路径中偶数级的峰值数。示例:a(2)=4,因为UDUD、UDUU*DD、UU*DDUD、UU*DU*DD和UUUDDD,其中U=(1,1)、D=(1,-1),偶数级的峰值用*.-表示_Emeric Deutsch,2003年12月5日
%C另外,在半长n+1的所有Dyck路径中的长爬坡数(即长度至少为两个的爬坡)。例如:a(2)=4,因为在半长为3的五条Dyck路径中,即UDUDUD、UD(UU)DD、(UU)DDUD、(U)DUDD和(UUU)DDD,我们有四个长上升(显示在括号之间)。这里U=(1,1)和D=(1,-1)。此外,具有n+1条边的所有有序树中的分支节点数(即至少两个超度数的顶点)_Emeric Deutsch,2004年2月22日
%C从(0,0)到(n,n)的晶格路径数,步骤E=(1,0)和n=(0,1),接触或穿过线x-y=1。示例:对于n=2,这些是路径EENN、ENEN、ENNE和NEEN。-_Herbert Kociemba,2004年5月23日
%[1,3,5,7,9,…]=(1,4,15,56,210,…)的C Narayana变换(A001263)。三角形A136534和A136536的行和_Gary W.Adamson_,2008年1月4日
%C起始偏移量1=加泰罗尼亚序列起始(1,2,5,14,…)与A000984卷积:(1,2,6,20,…)。-_Gary W.Adamson_,2009年5月17日
%C所有Dyck n路径中的峰值数加上谷数_David Scambler_,2012年10月8日
%C显然在半长n+2的所有Dyck路径中都计算了UDDUD_David Scambler_,2013年4月22日
%显然,在半长n+1的所有Dyck路径中点的严格左侧的峰值数_David Scambler_,2013年4月30日
%C对于n>0,a(n)是如果允许零作为部分(所谓的“弱”组成),则n最多分成n个部分的组成数。-_L.Edson Jeffery_,2014年7月24日
%C半平面中的路径数x>=0,从(0,0)到(2n,2),由步骤U=(1,1)和D=(1,-1)组成。例如,对于n=2,我们有4条路径:UUUD、UUDU、UDUU、DUUU_何塞·路易斯·拉米雷斯·拉米雷斯,2015年4月19日
%C对于n>1,1/a(n)是当一根棍子在沿其长度独立且均匀地随机选择的n个点处断裂时,n+1块的任意三重块可以形成三角形的概率。至少存在一个三元组的相应概率为A339392(n)/A339393(n)_Amiram Eldar,2020年12月4日
%C a(n)是步长集合{U=(1,1),D=(1,-1)}中2n个步长的晶格路径数,这些步长从原点开始,从不低于x轴,严格高于x轴结束;更简洁地说,Dyck路径的适当左因子。例如,a(2)=4表示UUUU、UUUD、UUDU、UDUU_David Callan和Enmeric Deutsch,2021年1月25日
%C来自Gus Wiseman_,2021年7月21日:(开始)
%C也是2n+1与交替和-1的整数组成的数量,其中序列(y_1,…,y_k)的交替和为sum_i(-1)^(i-1)y_i。例如,a(1)=1到a(3)=15组成为:
%C(1,2)(2,3)(3,4)
%C(1,3,1)(1,4,2)
%C(1,1,2)(2,4,1)
%C(1,2,1,1)(1,1,2,3)
%C(1,2,2,2)
%C(1,3,2,1)
%C(2,1,1,3)
%C(2,2,1,2)
%C(2,3,1,1)
%C(1,1,1,3,1)
%C(1,2,1,2,1)
%C(1,3,1,1)
%C(1,1,1,1,1,2)
%C(1,1,2,1,1)
%C(1,2,1,1,1,1)
%C以下与这些成分有关。
%C-无序版本为A000070。
%C-允许任何负数交替求和得出A000346。
%C-相反(正1)版本为A000984。
%C-反向交替求和的版本也是A001791(此序列)。
%C-取交替求和-2而不是-1得出A002054。
%C-交替和0的移位版本由A088218计数,并由A344619排名。
%C-排名由A345910(背面:A345912)。
%C等价地,a(n)计算2n+1位的二进制数,1比1多0。例如,a(2)=4个二进制数是:10001、10010、10100、11000。
%C(结束)
%C正方形n X n矩阵的对角线,其中第一行的单元格为非负整数,后续行的单元格是前一行直至(包括)n.-Torlach Rush_的单元格之和,2024年4月24日
%C对于n>=1,a(n)是奇图O_{n+1}-的独立数_Miquel A.Fiol_,2024年7月7日
%D M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑,《数学函数手册》,美国国家标准局应用数学。1964年第55辑(以及各种重印本),第828页。
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%H Paul Barry,<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL8/Barry/barry84.html“>整数序列上的加泰罗尼亚变换和相关变换,《整数序列杂志》,第8卷(2005年),第05.4.5条。
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%H Milan Janjic,<a href=“http://www.pmfbl.org/janjic/“>两个枚举函数。
%H米兰·扬基奇和鲍里斯·佩特科维奇,<a href=“http://arxiv.org/abs/1301.4550“>计数函数,arXiv-print arXiv:1301.4550[math.CO],2013。
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%H Jian Zhou,<a href=“https://arxiv.org/abs/1810.03883“>Hermitian One-Matrix模型的脂肪和瘦肉突现几何形状</a>,arXiv:1810.03883[math-ph],2018年。
%F a(n)=n*A000108(n)。
%F G.F.:x*(d/dx)c(x)其中c(x_
%A001700(奇阶中心二项式)和A000108(加泰罗尼亚语)的F卷积:a(n+1)=Sum_{k=0..n}C(k)*二项式(2*(n-k)+1,n-k),C(k_沃尔夫迪特·朗_
%F例如:exp(2x)I_1(2x),其中I_1是贝塞尔函数_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2002年9月8日
%F a(n)=和{k=0..n}C(n,k)*C(n、k+1).-_保罗·巴里,2003年5月15日
%F a(n)=和{i=1..n}二项式(i+n-1,n)。
%固定资产:(1-2x平方(1-4x))/(2x*sqrt(1-4x))_Emeric Deutsch,2003年12月5日
%F a(n)=A092956/(n!).-_Amarnath Murthy,2004年6月16日
%F a(n)=二项式(2n,n)-A000108(n).-_保罗·巴里(Paul Barry),2005年4月21日
%F a(n)=(1/(2*Pi))*Integral_{x=0..4}(x^n*(x-2)/sqrt(x(4-x)))是力矩序列表示_Paul Barry,2007年1月11日
%F从(1、4、15、56、210…)开始的三角形A132812的行和_Gary W.Adamson_,2007年9月1日
%F起始(1,4,15,56,210,…)给出了A025566起始(1、3,8,22,61,171,…)的二项式变换_Gary W.Adamson_,2007年9月1日
%F对于n>=1,a(2^n)=2^(n+1)*A001795(2^(n-1))。-_Vladimir Shevelev,2010年9月5日
%具有递归的F D-有限:(n-1)*(n+1)*a(n)=2*n*(2n-1)*a_R.J.Mathar,2011年12月17日
%F From _Sergei N.Gladkovskii,2012年7月7日:(开始)
%F G.F:-1/(2*x)-G(0),其中G(k)=1-1/(2*x-8*x ^3*(2*k+1)/(4*x ^2*(2*k+1)-(k+1)/G(k+1;(连分式,第3类,3步);
%例如:BesselI(1,2*x)*exp(2*x;(连分数,第3类,3步)。
%F(结束)
%F G.F.:c(x)^3/(2-c(x_Cheyne Homberger,2014年5月5日
%F G.F.:z*C(z)^2/(1-2*z*C(z)),其中C(z)是加泰罗尼亚语数字的G.F.。-_何塞·路易斯·拉米雷斯·拉米雷斯,2015年4月19日
%光纤:x*2F1(3/2,2;3;4x)_R.J.Mathar,2015年8月9日
%F a(n)=和{i=1..n}二项式(2*i-2,i-1)*二项式_Vladimir Kruchinin,2015年9月7日
%F L.g.F:1/(1-x/(1-x/(1-x/(1-x2/(1-x1/(1-…))))=Sum_{n>=1}a(n)*x^n/n.-Ilya Gutkovskiy_,2017年5月10日
%F和{n>=1}1/a(n)=1/3+5*Pi/(9*sqrt(3))_Amiram Eldar,2020年12月4日
%F和{n>=1}(-1)^(n+1)/a(n)=1/5+14*sqrt(5)*log(phi)/25,其中log(φ)=A002390.-_Amiram Eldar,2021年2月20日
%F a(n)=产品{i=1..(n-1)}(((4*i+6)*i+2)/((i+2_Neven Sajko,2021年10月10日
%t表[二项式[2n,n-1],{n,0,30}](*哈维·P·戴尔,2012年7月12日*)
%t系数列表[系列[(1-2x-Sqrt[1-4x])/(2x*Sqrt[1-4x]),{x,0,26}],x](*_Robert G.Wilson v_,2018年8月10日*)
%o(PARI)a(n)=如果(n<1,0,(2*n)/(n+1)/(n-1)!)
%o(最大值)A001791(n):=二项式(2*n,n-1)$
%o清单(A001791(n),n,0,30);/*_Martin Ettl,2012年11月5日*/
%o(岩浆)[二项式(2*n,n-1):n in[0..30]];//_文森佐·利班迪(Vincenzo Librandi),2015年4月20日
%o(GAP)列表([0..30],n->二项式(2*n,n-1));#_Muniru A Asiru_,2018年8月9日
%三角形A100257的Y对角线3。
%Y第一个差异在A076540中。
%Y参考A00018、A000984、A002378、A002390、A025566、A132812。
%Y A345197通过长度和交替求和对组合物进行计数。
%Y参见A000070、A000302、A000346、A002054、A008549、A032443、A088218、A097805、A163493、A202736、A345910。
%不,简单,好
%0、3
%A _N.J.A.斯隆_